第4节函数极限的定义与基本理论

1、2.4 函数的极限的定义 与基本理论一、极限的定义.0,sin1时时的的变变化化当当、观观察察函函数数 xxxy问题 :如何用描述?定义4.1 （邻域）称称集集合合,|0|);(00 xxxxuo).(00 xuxo 的的去去心心邻邻域域，或或记记为为为为点点定义4.2（函数极限）的的去去心心邻邻域域，在在点点设设0)(xxf为为一一个个实实数数，若若内内有有定定义义， axuo)(0 时时，有有当当对对 |, , 00 xx， |)(|axf.)(lim,)(,00axfaxfxxxx 记记为为为为极极限限以以时时称称注1：注2：注3：图形完全落在以图形完全落在以函数函数当当)(),;(0

2、xfyxuxo .2,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线 ay .0附近取值有关附近取值有关极限为局部性质，仅和极限为局部性质，仅和 x.有关有关取值和取值和 ;)(0是是否否有有定定义义无无关关在在点点与与xxf几何意义xxysin 例1. 0sinlim xxx证明证明证xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 x取取时恒有时恒有则当则当xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故例2. 211lim21 xxx证明证明证211)(2 xxaxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( ax

3、f要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx定义4.3（极限不存在的定义）为极限：为极限：不以不以在在函数函数axxf0)(, 0, 00 对对.|)(|,|000 axfxxx但但满足满足例2.)0(,0)(处处不连续处处不连续，在在证明证明 qrxqxxxf为有理数，则为有理数，则若若，对任意对任意00),0(xx 证明由实数稠密性，知由实数稠密性，知对对, 0, 0200 x，满足，满足存在无理数存在无理数 x但但,| |00 xx.| ) ()(|00 xxfxf为无理数，为无理数，若若0 x,200 x 对对由实数稠密性，由实数稠密性，, 0200 x ，满足，满足

4、存在有理数存在有理数 x但但,2,| |000 xxxx .| ) ()(|0 xxfxf.所以处处极限不存在所以处处极限不存在二、函数极限的性质.)(lim0存在，则极限必唯一存在，则极限必唯一若若xfxx证明：;|)(| ,| , 0101 axfxx性质4.1.（唯一性）, 0,)(lim,)(lim00 则则若若bxfaxfxxxx;|)(| ,| , 0202 bxfxx则则,|,min021 xx.2|)(|)(|babxfaxfba ，即，即 证明：1.|)(| axf|)(|)(| )(|aaxfaaxfxf .)()( ,)(lim000内有界内有界的邻域的邻域在在则则存在存

5、在xuxxfxfoxx 性质4.2.（局部有界性）时时当当取取 |00,1,0 xx.)()(00内有界内有界的邻域的邻域在在所以所以xuxxfo .|1ma 则则设设,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx 性质4.3. (保序性).ba ,)1(ba 若若).()(xgxf ,),(, 000时时当当 xux 则则时时当当若若),()(,),(, 0)2(00 xgxfxux 证明：由由取取,2ba 知知,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx ;2|)(| ,| , 0101baaxfxx ;2|)(| ,| , 0202babxgxx 则则两两式式同同时时成成立立,|,

6、min021 xx2)(,2)(baxgbaxf 和和即即).()(xgxf 所所以以),0(0,)(lim0 aaaxfxx或或且且若若性质4.4(保号性)证明：则则取取,|0 , 0,20 xxa得得,2|)(|aaxf .23)(20axfa ).0)(0)(,),(, 00 xfxfxuxo或或时时当当则则 .)(有相同的符号有相同的符号在该邻域内与在该邻域内与所以所以axf下下列列函函数数满满足足时时如如果果当当, )( 0 xuxo ),()()()1(xhxfxg ,)(lim,)(lim)2(00axhaxgxxxx . , )(lim 0axfxx且且等等于于存存在在那那么么

7、性质4.5(夹逼定理)证明：;)(,|0,0101 axgaxx时时当当时时当当取取 |0 ),min(021xx;)()()( axhxfxga;)(,|0,0202 axhaxx时时当当.|)(| axf故故, 0 .)(lim 0axfxx 即即ac例3 求.sinlim0 xxxxobd,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxcos1 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx 0解：如

8、图易得 三、极限的四则运算性质. 0,)()(lim)3( bbaxgxf其中其中定理4.1（函数极限四则运算性质）则则设设,)(lim,)(limbxgaxf ;)()(lim)1(baxgxf ;)()(lim)2(baxgxf ,)(lim,)(lim000 xtgaxfttxx 设设 .)(lim)(lim00axftgfxxtt 则则,)()(00 xtgtuo 内内且在且在 定理4.2（复合函数的极限）证明：.|)(| atgf,)(lim0axfxx , 0, 0 ,),(0时时当当 xuxo .|)(| axf, 0 对上述对上述, 0 ,),(0时时当当 tuto ,|)(|

9、0 xtg),()(0 xutgo ,0, 10, 0)(uuufyxxxgu1sin)( , 1)(lim, 0)(lim00 ufxgux.)(lim0不存在不存在xgfx.)()(00不能少不能少内内在在xtgtuo 注： ),()(00 xuxf 定义在定义在设函数设函数定理定理4.3 ( 海涅定理海涅定理) 都有都有,)(0000 xxxxuxnn axfax )(lim则，则，的充分必要条件是：的充分必要条件是：.)(limaxfnn 注注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系 四、海涅定理和柯西定理证：恒有恒有时时使当使当,0, 0, 0

10、0 xxaxfxx )(lim0.0, 0, 00 xxnnnn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( axfn从而有从而有.)(limaxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又.)( axf不成立，不成立，假设假设axfxx )(lim0nxxnn1|0 , , 00*0 存在满足存在满足对对则必则必 但但是是即即找找到到了了一一个个数数列列,|00 xxxxxnnn .)(limaxfnn 该结论可以方便的证明函数极限不存在.注：. 0|)(| 0 axfxnn使得使得，的点的点xy1sin 例4.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证 ,1 nxn取取, 0lim nnx

11、; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n, 0 得证,|0 ,|0,020121 xxxxxx满足，满足，对对.)()(21 xfxf都有都有证明：,)(lim0axfxx .2|)(| ,00 axfxx时时当当则则特别：取特别：取2 , 1,|00 ixxi .22)()()()(2121 axfaxfxfxf,0,0 定理定理4.4 ( 柯西收敛定理柯西收敛定理) ),()(00 xuxf 定义在定义在函数函数axfax )(lim则，则，的

12、充分必要条件是：的充分必要条件是：00, )(lim,00 xxxxxnnnn 满满足足任任取取,n0,* n 对对时时，当当nnm , |00 xxm | )()(|mnxfxf.)(列列是是cauchyxfn.)(lim存在存在xnnlxf ,00 xxn.)(limynnlyf 同理存在同理存在.,2211nnnzyxyxyx组成组成将将,00 xxxxnn 的的数数列列对对任任意意收收敛敛于于.)(limlxfnn 都有都有知知定理定理据据,heine.)(lim0lxfxx ,的的子子列列是是由由于于nnnzyx. lllyx ),(lim00 xzxznnn 且且.)(limlzfnn 左极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时