第一节数项级数的概念及性质38798

1、第七章第七章 无穷级数无穷级数p第一节第一节 数项级数的概念及性质数项级数的概念及性质p第二节第二节 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别p第三节第三节 任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别p第四节第四节 幂级数幂级数p第五节第五节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开第七章第七章 无穷级数无穷级数第一节第一节 数项级数的概念及性质数项级数的概念及性质例如例如:某人现在某人现在元年金元年金,求其应趸交的保费求其应趸交的保费?设银行年利率为设银行年利率为, rx岁的人活过岁的人活过i年的概率年的概率xip,趸交的保费为趸交的保费为xa,则则 xakxp1 r 11k xp2 2)1(1r

2、 岁岁,在生存期内每年获得在生存期内每年获得xk kxnpnr)1(1 为为 ), 3 , 2 , 1( nun nuuu211unu.1 nnu如果如果数列数列,则称则称 为一个数项无穷级数为一个数项无穷级数,简称简称称为首项称为首项, 数项级数简记为数项级数简记为第一节第一节 数项级数的概念及性质数项级数的概念及性质一一 数项级数的概念数项级数的概念1. 数项级数数项级数是一个是一个数项级数或级数数项级数或级数.注注称为通项或一般项称为通项或一般项.2. 第第n次部分和次部分和 对于级数对于级数,1 nnunuuu 21n.ns称为级数的第称为级数的第记作记作次部分和次部分和,3.部分和数

3、列部分和数列 ns数列数列,321nssss称为级数的称为级数的部分和数列部分和数列,简记为简记为注注 关系式关系式1 nnnssu. ns 1nnu. s 1nnu, s设设是级数是级数的部分和数列的部分和数列,极限存在值为极限存在值为则称级数则称级数是收敛的是收敛的,和为和为极限不存在极限不存在, 是发散的是发散的,没有和没有和.4.收敛与发散收敛与发散如果如果 ns如果如果 ns则称级数则称级数 1nnu重点重点定义定义注注 做题步骤做题步骤: (1)求求ns(2)求求.limnns 例例1 讨论级数讨论级数 1)34)(14(1nnn的敛散性的敛散性.解解 ns)341141()111

4、71()7131( nn)34131(41 nnns lim)34131(41lim nn121 故级数收敛故级数收敛,和为和为.12/1731 1171 )34)(14(1 nn41例例2 讨论级数讨论级数 11nnaq的敛散性的敛散性).0, 0( qa ns qqan 1)1(nanns lim qa 1 不不存存在在综上所述综上所述:1 q时级数收敛时级数收敛,和为和为.1qa 1 q时级数发散时级数发散.1 q1 q1 q1 q解解1 q1 q12 naqaqaqa(1)此级数为等比级数或几何级数此级数为等比级数或几何级数.(2)此级数可写成此级数可写成 1211nnnaqaqaqa

5、aq nnnaqaqaqaaq20注意事项注意事项例例3 讨论调和级数讨论调和级数 11nn的敛散性的敛散性.解解 ns)1ln2(ln )ln)1(ln(nn )1ln( nnns lim 故调和级数发散故调和级数发散.nnnln)1ln(1 )2ln3(ln n1211 二二 级数的基本性质级数的基本性质性质性质1 设设0 a是常数是常数,则则 1nnu收敛于和收敛于和s与与 1nnau收敛于和收敛于和.as证证设设 1nnu的第的第n次部分和为次部分和为ns 1nnau的第的第n次部分和为次部分和为ns因因nnuuus 21nnauauaus 21nnass 敛敛散散性相同性相同.且且

6、1nnu时时, 1nnau故故性质性质2 1nnu 1nnv如果如果与与都收敛都收敛, 则则 1)(nnnvu也收敛也收敛, 且且 1)(nnnvu 1nnu.1 nnv证证 设设、unn 1与与n次部分和次部分和、snns 1nnv 1)(nnnvu的第的第分别为分别为与与nsnnuuus 21nnvvvs 21)()()(2211nnnvuvuvus 则则nnnsss 故故(1) 1nnu 1nnv与与都收敛都收敛, 则则 1)(nnnvu也收敛也收敛.(2) 1nnu收敛收敛 1nnv发散发散, 则则 1)(nnnvu发散发散.(3) 1nnu 1nnv与与都发散都发散, 则则 1)(n

7、nnvu不确定不确定.例如例如 11nn发散发散, 12nn发散发散, 1)21(nnn仍发散仍发散. 11nn发散发散, 1)1(nn发散发散, 1)1(1nnn收敛收敛.例例4 判定下列级数判定下列级数的敛散性的敛散性. 14325)1()1(nnnnn 1)52(4)2(nnn. )23()1(3)3(1 nnnn收收敛敛 11)21)(25(nn收收敛敛 11)43(43nn所以收敛所以收敛 14nn发发散散 11)52(52nn收收敛敛所以发散所以发散 1)1(3nnn收收敛敛发发散散 11)23(23nn所以发散所以发散在级数中去掉或添加在级数中去掉或添加有限有限项项,级数的级数的

8、敛散性不变敛散性不变.证证 nkkkuuuuu121 nkkkuuu21(1)(2)(2)的第的第n次部分和为次部分和为ns(1)的第的第kn 次部分和分别为次部分和分别为kns 性质性质3则则 kns kuuu21ns ansknns limnns lim存在存在存在存在nns lim存在存在故故nns次次与与性质性质4收敛级数任意加括号后仍收敛于收敛级数任意加括号后仍收敛于原来的和原来的和.证证设设 1nnu的第的第n次部分和为次部分和为ns 1nnu加括号后所成的新级数为加括号后所成的新级数为 1nnv 1nnv的第的第n次部分和为次部分和为ns111juuv 2112jjuuv nnj

9、jnuuv 11 nsnjsnns lim njns lim nns lims 新新级级数数收收敛敛.(2)加括号后发散原级数一定发散加括号后发散原级数一定发散(3)加括号后收敛原级数敛散性不确定加括号后收敛原级数敛散性不确定例如例如 n)1(1111发散发散 )11()11(收敛收敛 n)21()21()21()21(21432收敛收敛收敛收敛 )21()21()21(21432(1)收敛级数任意加括号后仍收敛收敛级数任意加括号后仍收敛例例5 判断级数的敛散性判断级数的敛散性 301812014110121解解)1()30181()20141()10121( ) 2(814121 )3(30

10、1201101 (2)收敛收敛(3)发散发散 (1)发散发散原级数发散原级数发散.性质性质5 如果级数如果级数 1nnu收敛收敛,则则. 0lim nnu证证 设设 1nnu的的n次部分和为次部分和为ns,和为和为s则则ssnn lim nnulim从而从而)(lim1 nnnss1limlim nnnnss. 0 (2)如果如果, 0lim nnu则级数一定发散则级数一定发散.(1)如果级数收敛如果级数收敛,则则. 0lim nnu(3)如果如果, 0lim nnu则级数不一定收敛则级数不一定收敛.(4)如果级数发散如果级数发散,则则nnu lim不一定不等于零不一定不等于零.例例6 判断级数判断级数的敛散性的敛散性. 12sinnnn解解 nnu