内积空间的张量积、投影与随机不动点

1、基于内积空间的张量积、投影与随机不动点的分析摘要：矩阵张量积的计算是矩阵计算中的一类重要问题，与乘法相比，张量积的计算量更为庞大。分析了分块矩阵张量积的相关数学特性、证明了在置换相抵意义下两个矩阵的张量积运算可以交换,特别刻画了这类置换矩阵、并由此证明了在置换相抵条件下分块矩阵可以分块地进行张量积运算。在此基础上,讨论了矩阵张量积的并行计算问题，提出了几种并行计算模型，进行了必要的算法分析、并通过实例阐述了这些算法的思想和过程。预备知识1.内积概念及相关性质：内积空间的基本概念：设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足；，当且仅当；称是上的一个内积，上定义了内积称为内积

2、空间。定义1.1 设为内积空间，称为向量的长度，若=1，则称为单位向量。定义1.2在内积空间中。若向量，满足 =0，则称向量组与是正交的。定理1.1设是内积空间，则对空间中任意向量，都有，其中等式成立的充要条件是与线性相关。定理1.2 设是内积空间，则对任意有：。设是内积空间，对任意，命则是上的一个范数。定理1.3设是内积空间，则内积是的连续函数，即时，。定理1.4设是内积空间，对任意，有以下关系式成立，平行四边形法则：2；极化恒等式：（定理1.5设是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在中定义一个内积，使得由它产生的范数正是中原来的范数。定理1.6不含向量的正交向量组是线性无关的。定义

3、1.3 在内积空间中，若一组基满足条件则称为的标准正交基。定理1.7 设是内积空间中线性无关的向量组，则由如下方法：，k=2,3,m,所得向量组是正交向量组。2.张量积2.1概念及相关性质：设、为线性空间，其代数张量积空间为=。按通常张量的定义，有。当、上分别具有内积和时，引入下述定义。定义 对，规定（）=，并线性地扩充到上，称之为上的内积，带有内积的张量积空间简记为。定理2.1 ,均为半定的内积空间，当且仅当是半定的，为零性空间的充要条件是和之一为零性空间。定理2.2 设是的子空间，非退化，则。推论2.1 设设是的子空间，非退化，则。推论2.2 ,是非退化内积空间的充要条件是为非退化内积空间

4、。推论2.3 设零性子空间，是它的对偶空间，非退化，则是的对偶空间。推论2.4 若,是非退化内积空间，有限维子空间，则。定理2.3 若 分别是,中直交可补的子空间，则是的直交可补子空间；设非退化，是的子空间，直交可补,则直交可补。引理2.1 非退化内积空间上内积(·,·)关于为一元连续。引理2.2 设在非退化内积空间,上有，则在上有。定理2.4 设在非退化内积空间,上则上内积(·,·)关于为二元连续。定理2.5 设=，=，则存在上自配极的范数，使=。例子: 结果的秩为1, 结果的维数为 4×3 = 12。这里的秩指示张量秩（所需指标数），而维数

5、计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是1。代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。两个张量的张量积：有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为 所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。注意在张量积中，因子 U 消耗第一个 rank(U) 指标，而因子 V 消耗下一个 rank(V) 指标，所以例子：设U是类

6、型(1,1)的张量，带有分量；并设V是类型 (1,0) 的张量，带有分量。则张量积继承它的因子的所有指标。对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵和：多重线性映射的张量积：给定多重线性映射和它们的张量积是多重线性函数在域上的两个向量空间和的张量积有,通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些的关系下的等价类被叫做“张量”,并指示为。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。要构造，采用在之上带有基的向量空间，并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系：在解决正交投影这类问题，如果要

7、用定理证明的方法求出线性空间的一个规范正交基。那么首先要对定理进行证明，在理论上作必要的准备！3.投影3.1概念及相关性质：正交和投影定义5.2.1 设是内积空间，若，则称与正交，记作。正交性质：(1) 若，则；(2) 若，则 ；(3) 若，则；(4) 对，恒有；注 不意味着。(5) 勾股弦定理：当时，。引理5.2.1 设是内积空间，则是的闭线性子空间。推论 设，若是张成的闭线性子空间，则。定义5.2.2 设是内积空间，是的两个线性子空间，若，则称。为与的正交和，记作。命题5.2.1 设内积空间能分解为与的线性和则它为正交和 。定义5.2.3 设是内积空间的线性子空间，. 若存在，使得。则称是

8、在上的（正交）投影，或在上的投影分量。注1 是在上的（正交）投影，或在上的投影分量。注2 一般说来，对于内积空间的任意向量以及任意子空间，在上的投影并不一定存在。注3 若在上有投影，则投影必定是唯一的。定理5.2.1 设是内积空间的线性子空间，. 若是在上的投影，则,且是中使(5.2.2)成立的惟一向量。5.2.2 投影定理引理5.2.2（变分引理） 设是内积空间中完备的凸集，. 记，则必有唯一的，使得。引理5.2.3 设是内积空间中的线性子空间，. 若，则，即。定理5.2.2（投影定理） 设是内积空间中的完备线性子空间，则对，在上的投影唯一地存在。即：存在，使得，且这种分解是唯一的。特别地，

9、当时，。推论1 设是内积空间中的完备线性子空间，且，则在中必有非零元素。推论2 设是Hilbert空间中的线性子空间，则。特别地，若，则在中稠密。3.2应用举例例 在标准欧几里得空间V=R中有向量=（1，-1， -1，1）=（1，-1，0，1）=(1,-1,0,1)线性空间W=L(,)求向量=（2，4，1，2）在W上的正交投影。解这道题有很多方法，第一种方法就是按定理证明的方法。该方法涉及到格拉姆施密特正交化。因而首先对格拉姆施密特正交化在理论上给予证明。先考虑在三维空间V中一组线性无关的向量，则令再将在上的投影向量记为R取：k则（如下图所示）有内积得相关知识可得k=由于与共面，因此与也共面。

10、因而在平面的投影向量维R,则：R=R+其中取则再将分别单位化为即得到一组正交单位向量,它与向量组是等价的。即在三维空间中存在一组单位正交基与等价，那么对于.，这组线性无关的向量组是否存在正交向量组与它是否等价呢？令显然与等价，再令为保证正交即（）=0则可得到：也就是说取时。显然有与等价。再令由可得故并且与也等价。继续上述步骤，假定已找到两两正交的非零向量满足条件。使得与等价。（其中S=1,2,3t),为使与均正交。即得：由此可以得到一个正交向量组使与等价因而格拉姆施密特正交化为：若存在W中的一个基可以得到与该向量等价的单位向量正交基，满足条件：对格拉姆施密特正交化从理论上证明后，用理论进行求解

11、就不难了！有观察可知是线形无关的故将其正交化可得：向量在W上的正交投影是：第二种方法：我们要利用正交投影的定义将进行分解，其中，令则）=（2-，4+，1+，2）由于故（由此可得方程组：解之可得：代入式可得：该方法的主要特点是间接的求，因为的向量坐标已知故利用的坐标可将的坐标表示出来。再利用进行求解，这种设而不求得方法在初等数学中是非常常见的。可以利用矩阵的知识进行求解，设其中因此令，以作为列向量得到矩阵以中线性表示的系数作为列矩阵X这样有：则有：由于内积（表示的矩阵形式就是：.故表示的矩阵形式就是：则有即解之得：于是事实上用矩阵求解只是单纯的引入了矩阵这个运算工具而已，其最根本的原理与方法二类

12、似，只是使计算更具可能性，目的性，比方法二的计算更加简明，在具体的计算操作性上较方法二要强。对于正交投影这类问题计算一般都较复杂，因此在计算时，要根据基向量的个数选择恰当的方法，一般情况下选择定义法为宜。4.随即不动点2.1不动点相关定义定义1 设为非空集合，是一个映射，如果使得成立，则称为映射的一个不动点。特别地，函数是定义在上的函数，如果使得成立，则称为函数的一个不动点。定义2 设是距离空间，是到其自身的映射，且对于任意的，不等式都成立，其中是满足的常数。则称是上的压缩映射。2.2不动点思想 首先，对于函数的不动点，有两个方面的理解： 1）的不动点，是方程的根。 2）的不动点，是函数与的交

13、点。 有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的交点。 其次，由于无论迭代多少次，总是本身，所以不动点思想可以在函数迭代及数列中有广泛的应用。2.3不动点相关定理定理1 设为完备的距离空间，是上的压缩映射，则在中存在唯一的不动点，即存在唯一的，使得。并且该不动点可以用迭代法求得。有时候映射不能满足定理1的条件，故不能应用它，因此有必要将定理加以拓广，由此得到定理2。定理2 设为完备的距离空间，是到其自身的映射，如果存在常数以及自然是使得对于任意的，成立，那么在中存在唯一的不动点。为使用的方便，由上述定理1的证明过程，容易得到下面的定理3。定理3 若数列满足条件 则一定存

14、在极限。在定理1中取,为中常见距离，则又可以得到下述定理4。 定理4 若函数是定义在上的函数，若使得，那么函数在中存在唯一不动点。若满足更强的条件，在是可导，则由微分中值定理，可得定理5。定理5 若函数是定义在上的可导函数，且满足，其中，则函数在中存在唯一不动点。将此结论应用到数列中，有可得到下述的定理。定理6 设函数可导且满足，定义数列，那么一定存在极限。有了上述一系列的定理，我们可以应用它们解决很多问题。5.总结参考文献：1林熙,郭铁信.随机内积空间J.科学通报, 1990,35(22): 1707-1709.2郭铁信.关于随机赋范空间与随机内积的某些基本理论J.应用泛函分析学报, 1999