第一章、第十节初等函数的连续性

1、第十节第十节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质 一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算 二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 四、小结四、小结一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算定理定理1 1,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx)0)()()(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf则则.0处也连续处也连续在点在点 x二、反函数与复合函数的连续性二、反函数

2、与复合函数的连续性定理定理2 2 单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续函数必有单调的连续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3,)(,)(lim0连续连续在点在点函数函数若若aufaxxx 证证,)(连续连续在点在点auuf , 0, 0时时使当使当 au,)

3、(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx.)()(成立成立恒有恒有 afuf).(lim)()(lim00 xfafxfxxxx 则有则有.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据的理论依据

4、变量代换变量代换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解定理定理3 3,)(,)(lim0连续连续在点在点函数函数若若aufaxxx ).(lim)()(lim00 xfafxfxxxx 则有则有例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 且且处连续处连续在点在点设函数设函数,)(0 xxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定

5、理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy,)(,)(000处连续处连续在点在点而函数而函数uuufyux .)(0处也连续处也连续在点在点则复合函数则复合函数xxxfy 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的是连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理

6、5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 可以证明幂函数在其定义域内连续可以证明幂函数在其定义域内连续定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xd这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(

7、32 xxy, 1, 0: xxd及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx例例. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 例例3 3).(arctanlim2xxxx 求求解解xxxxx 2arctanlim原式原式1111arctanlim xx)1111

8、limarctan( xx21arctan 例例4 4.)21(limsin30 xxx 求求解解)21ln(sin30limxxxe 原式原式型型 1)(ln)()(ln)()()(xuxvxuxveexuxv xxxxxe1)21ln(sin30lim xxxxxe210)21ln(sin6lim xxxxxxe2100)21ln(limsin6lim 6e 四、四、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理定义：定义：设设 f (x) 在区间在区间 i 上有定义，如果存在上有定义，

9、如果存在都有都有使得使得,0ixix )()()()(00 xfxfxfxf 或或则称则称 为为 f (x) 在在 i 上的最大值（或最小值）上的最大值（或最小值）)(0 xf1x2xabxy)(xfy ,)()(1baxfxf闭区间闭区间在在为为,)()(2baxfxf闭区间闭区间在在为为一、一、有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理,上的最大值上的最大值,上的最小值上的最小值 0,10,00,1sgn1xxxxy例例上的最大上的最大在在),( . 0, 1), 0最小值为最小值为上的最大值为上的最大值为在在 . 1), 0(为为上上的的最最大大值值和和最最小小值值都都在在而而 最

10、大值和最小值与所考虑的区间有关最大值和最小值与所考虑的区间有关.,12 xy例例)1,0( ixy1121 xy在在 ( 0 , 1 ) 上即无最大值，又无最小值上即无最大值，又无最小值 函数在一个区间上不一定有函数在一个区间上不一定有 最大值最大值 或最小值或最小值 问题：在什么条件下函数在一个区间问题：在什么条件下函数在一个区间 上一定有最大值或最小值？上一定有最大值或最小值？. 1, 1 最小值为最小值为值为值为定理定理1：设函数设函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续，则上连续，则（1）f (x) 在在 a , b 上有界，即上有界，即mxfbaxm | )(|, ,0

11、都有都有使对使对（2） f (x) 在在 a , b 上一定能取得它的最大值和最小值上一定能取得它的最大值和最小值,)(, ,11为最大值为最大值使使一点一点即至少即至少 fba .)(, ,22为最小值为最小值使使一点一点和至少和至少 fba 注记：注记： （1）区间一定要是闭区间）区间一定要是闭区间.,13xy 例例)1,0( ixy11xy1 ,)1,0(但无界但无界上连续上连续在在 i也无最大值和最小值也无最大值和最小值.（2）f (x) 一定要在闭区间上连续，即不能有间断点一定要在闭区间上连续，即不能有间断点. 21,31,1, 10,14xxxxxy例例xy11 2 f (x) 在

12、在 i = 0 , 2 上有定义，且上有定义，且有界，但无最大值和最小值有界，但无最大值和最小值.（3）取得最大值或最小值的点不一定唯一）取得最大值或最小值的点不一定唯一.xy11xy二、二、零点定理和介值定理零点定理和介值定理.)(, 0)(000的零点的零点为为则称则称使使若若xfxxfx 定理定理2：设设 f (x) 在在 a , b 上连续，且在端点的函数值上连续，且在端点的函数值异号，即异号，即 f (a) f (b) 0 , 则至少存在一点则至少存在一点 ( a , b ) ,使使 f ( ) = 0.xy ab0)( af0)( bf0)( f)()(21 ff xy 1 ab0

13、)( af0)( bf 2 3 （1）区间一定要是闭区间）区间一定要是闭区间.（2）f (x) 一定要连续一定要连续.0)(3 f零点定理的推广：设零点定理的推广：设 f (x) 在在 ( , + ) 上连续，上连续，,0,)(lim,)(lim)1( babxfaxfxx且且则则 f (x) 在在 ( , + ) 内至少有一个零点内至少有一个零点, )()(lim,)()(lim)2( 或或或或xfxfxx则则 f (x) 在在 ( , + ) 内至少有一个零点内至少有一个零点xy ab xy 1 2 3 定理定理3：设设 f (x) 在在 a , b 上连续，且上连续，且 f (a) =

14、a ，f (b) = b , a b ，则对则对 介于介于 a 和和 b 之间的任一之间的任一个数个数 c ，至少存在一点至少存在一点 ( a , b ) , 使使 f ( ) = c. xy 1 ab 2 3 abc证明：设证明：设 (x) = f (x) c 则则 (x) 在在 a , b 上连续，且上连续，且 (a) = f (a) c = a c 0 由零点定理，由零点定理，至少存在一点至少存在一点 (a , b) , 使使 ( ) = 0. 即即 f ( ) c = 0 , f ( ) = c . 推论：推论：设设 f (x) 在在 a , b 上连续，上连续，m 和和 m 分别为最

15、大分别为最大 值和最小值，则值和最小值，则 f (x) 必取得必取得介于介于 m 和和 m 之间之间 的任何值的任何值.xy1xab 2x1 mmc2 ,21xx对对 f (x) 在区间在区间上应用介值定理即可上应用介值定理即可.01sin:4 xx证明方程证明方程例例证明：取证明：取, 1sin)( xxxf,2,2上连续上连续在在 ,02)2( f且且由零点定理，至少存在一点由零点定理，至少存在一点0)(, )2,2( f使使.)2,2(内至少有一实根内至少有一实根在在 .022)2( f例例5 5).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必有一点证

16、明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxf 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xf),0()21()0(fff ),21()1()21(fff 讨论讨论:, 0)0( f若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( f若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若, 0)21(, 0)0( ff )21()0(ff2)0()21(ff . 0 由零点定理知由零点定理知,. 0)(),21, 0( f使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 例例5 5).

17、()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxf 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xf),0()21()0(fff ),21()1()21(fff 则则若若, 0)21(, 0)0( ff )21()0(ff2)0()21(ff . 0 .0:21221120至少有一实根至少有一实根证明方程证明方程例例 nnnaxaxa证明：不妨设证明：不妨设, 00 a则则)()(12121012 nnnxaxaaxxf,)(lim,)(lim xfxfxx由零点定理的推广得由

18、零点定理的推广得 f (x) 在在 ( , + ) 内至少有内至少有一个零点一个零点.,)(1221120 nnnaxaxaxf令令.0:1221120至少有一实根至少有一实根即方程即方程 nnnaxaxa作业和答疑作业和答疑p64：1，3, 7, 8 一、作业一、作业二、答疑二、答疑时间：每周一、三下午：时间：每周一、三下午：2：00 4：00地点：教学地点：教学4号楼号楼208（教师休息室）（教师休息室）四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的