31多元函数微分应用23756

1、第六节 微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面二、 曲面的切平面与法线三、 小结设空间曲线的方程设空间曲线的方程)()()()(1 tztytx一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.),(000zzyyxxm ;),(0000ttzyxm 对应于对应于设设 zyx ,割线割线 的方向向量为的方向向量为:mm 或者或者 tztytx,对应于对应于.0ttt 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程,时时即即当当0 tmmtzzztyyytxxx 000割线割线 的方程为的方程为:mm 曲线在曲线在m处的

2、切线的方向向量为处的切线的方向向量为 )(),(),(000tttt 切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面：过法平面：过m点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0000000 )()()(zztyytxxt例例1 求曲线求曲线 32tztytx在在(1,1,1)点处的切线及点处的切线及法平面方程。法平面方程。解解 时时10 x故切线方程为故切线方程为312111 zyx法平面方程法平面方程0632 zyx, 10 t, 1)(0 t , 2)(0 t 3)(0 tw求求曲曲线线: tuuduex0cos， tysin2 tcos , ,tez32 在在0

3、 t处处的的切切线线和和法法平平面面方方程程. . 当当0 t时时， ,310 zyx,costext ,sincostty 2,tez33 ,)(10 x,)(20 y,)(30 z解解切线方程切线方程,332110 zyx例例2 法平面方程法平面方程,)()(03312 zyx. 01132 zyx即即给出曲线的参数方程求切线及法平面方给出曲线的参数方程求切线及法平面方程的步骤：程的步骤：（1）给出参数值求出对应的点；给出）给出参数值求出对应的点；给出点的坐标求出对应的参数。点的坐标求出对应的参数。（2）求切向量；）求切向量；（3）写出切线及法平面方程。）写出切线及法平面方程。1.空间曲线

4、方程为空间曲线方程为,)()( xzxy,),(处处在在000zyxm,)()(000001xzzxyyxx .)()()(000000 zzxyyxxx法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为,),(),( 00zyxgzyxf切线方程为切线方程为,000000myxyxmxzxzmzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffmyxyxmxzxzmzyzy例例 3 3 求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点),(121 处处的的切切线线及及

5、法法平平面面方方程程. . 解解 1 1 直接利用公式直接利用公式; ; 解解 2 2 将将所所给给方方程程的的两两边边对对 x求求导导并并移移项项，得得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由此得切向量由此得切向量 ,101 t所求切线方程为所求切线方程为 021111yzx法平面方程为法平面方程为,)()()(01201 zyx0 zx,),(0121 dxdy,),(1121 dxdz设曲面方程为设曲面方程为0 ),(zyxf),(),(),(000tttt 曲线在曲线在m0处的切向量处的切向量在曲面上任取一条在曲面上任取一条通过点通过点m m

6、0 0的曲线的曲线,)()()(: tztytx二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过 0m的任意一条曲线， 它们在的任意一条曲线， 它们在0m的切线都与同的切线都与同一向量一向量n垂直，故曲面上通过垂直，故曲面上通过 0m的一切的一切曲线在点曲线在点0m的切线都在同一平面上， 这个的切线都在同一平面上， 这个平面称为曲面在点平面称为曲面在点0m的的切平面切平面. . 则则,tn ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令切平面方程为切平面方程为则则0)(),(),( tttf 0)(),()(),()(),(00

7、0000000000 tzyxftzyxftzyxfzyx 两边关于两边关于t求导数并取求导数并取 得得 0tt 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量向量.通通过过点点),(0000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面面的的 直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线. . 法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面在曲面在m0处的法向量即处的法向量即0000000000000 )(,()(,()(,(zzzyxf

8、yyzyxfxxzyxfzyx特殊地：空间曲面方程为特殊地：空间曲面方程为),(yxfz 曲面在曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m处的法线方程为处的法线方程为.),(),(10000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在m0处的切平面方程为处的切平面方程为全全微微分分的的几几何何意意义义 ),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面

9、曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的切处的切平面上的点的竖坐标的增量平面上的点的竖坐标的增量. . 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的， 即即使使得得它它与与z轴轴的的正正向向所所成成的的角角 是是锐锐角角，则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 ,cos221yxxfff ,cos221yxyfff .cos2211yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 4 4 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在在点点),(412处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.

10、. 解解,),(122 yxyxf),(),(,412412122 yxn,124 切平面方程为切平面方程为,)()()(041224 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 5 5 求曲面求曲面32 xyezz在点在点),(021处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. . 解解,),(32 xyezzyxfz,),(),(42021021 yfx,),(),(22021021 xfy,),(),(01021021 zzef令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,)()()(0002214 zyx, 042 yx.001221 zyx例例 6 6 求曲面

11、求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程. . 解解 设设 为曲面上的切点为曲面上的切点, ,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0642000000 )()()(zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .0002zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足曲面方程满足曲面方程),(221),(221 02122812 )()()(zyx2164 zyx02122812 )()()(zyx2164 zy

12、x切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)所以所以空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结三、小结思考题思考题 如果平面如果平面01633 zyx与椭与椭球面球面163222 zyx相切，求相切，求 . . 思考题解答思考题解答,000226zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为,33 32236000 zyx,00 xy ,003xz

13、 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程, 016930169320202200020 xxxxxx. 2 一一、 填填空空题题: : 1 1、 曲曲线线211tzttyttx ,对对应应于于1 t的的点点处处切切线线方方程程为为_ _ _；法法平平面面方方程程为为_ _ _. . 2 2、 曲曲面面3 xyzez在在点点),(012处处的的切切平平面面方方程程为为_ _ _ _； 法法线线方方程程为为_ _ _ _. . 二二、 求求出出曲曲线线32tztytx ,上上的的点点, ,使使在在该该点点的的切切线线平平行行于于平平面面42 zyx. . 练练 习习 题题四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. . 五、试证曲面五、试证曲面)(0 aazyx上任上任何点处的何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和切平面在各坐标轴上的截距