高中数学奥赛辅导教材(共十讲)

第一讲集合概念及集合上的运算

知识、方法、技能

高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或

具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.

在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、

无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十

余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背

景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述

排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.

赛题精讲

I.集合中待定元素的确定

充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高

中数学竞赛题.请看下述几例.

33

例1：求点集{（x,y）Ilg（x+ly+l）=lgx+lgy}中元素的个数.

39

【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.

【略解】由所设知无>0,y>0,及+；>3+[=盯，

由平均值不等式，有/+>3岫.（¥）.（}=xy,

当且仅当即（虚根舍去）时，等号成立.

故所给点集仅有一个元素.

【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌

握之.

例2：已知y4={y|y=x2-4x+3,xeR},B={y|y=-x2-2x+2,xeR}.求AnB.

【思路分析】先进一步确定集合A、B.

【略解】y=(x—2>—121,又y=—(x+l>+3<3.

.•.A={y|y>-l},B={y|y<3},^An5={y|-l<y<3}.

【评述】此题应避免如下错误解法：

联立方程组

},''消去y,2/-2x+l=0.因方程无实根，故

[y=--_2X+2.

这里的错因是将A、B的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛

物线的值域.

例3：已知集合A={(x,y)||x|+1y\=a,a>Q},B={(x,y)||xy|+1=|x|+1y|}.

若Ac3是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为.

【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.

【略解】点集A是顶点为(a,0),(0,a),(-a,0),(0,-a)的正方形的四条边构成(如

图I-1—1—1).

将|町|+1=|x[+|y|,变形为(|x|T)(3-1)=0,

所以，集合B是由四条直线x=±l,y=±l构成.

欲使AC8为正八边形的顶点所构成，只有a>2或1<。<2这两种情况.

(1)当。>2时，由于正八形的边长只能为2,显然有缶一2血=2,

故a=2+V2.

(2)当l<a<2时，设正八形边长为/,贝I」

/cos450=3,/=2&-2,

2

这时，a—1+——V2.

2

综上所述，a的值为2+后或血，

如图I一1一1一1中A(后,0)/(2+五,0).

【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会

此类题目的解法.

II.集合之间的基本关系

充分应用集合之间的基本关系(即子、交、并、补)，往往能形成一些颇具技巧的集合

综合题.请看下述几例.

例4：设集合4={巴|〃GZ},B={〃|n€Z},C={〃+」|〃wZ},O={N+!|〃GZ}4iJ

2236

在下列关系中，成立的是()

A.AuBuCu。B.AcB=（j）,CcD=（!）

WWW

C.A=BuC,CuDD.B=B^CC\D=（/）

【思路分析】应注意数的特征，即〃+2=生士1,4+』=里里/€2.

22366

【解法1】•••A={2|〃GZ},8={〃I〃eZ},C={〃+工I〃GZ},。={2+工I〃wZ},

2236

・・・4=8口。,。匚。.故应选C.

*

【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令

>77t71H7TTT

A'={J[〃eZ},8，={〃》|〃eZ},C，={〃》+—|neZ},O={J+—|neZ}.

2236

结论仍然不变，显然A'为终边在坐标轴上的角的集合，B'为终边在x轴上的角的集

合，C'为终边在y轴上的角的集合，D'为终边在y轴上及在直线y=±?x上的角的集

合，故应选(C).

【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的

的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.

例5设有集合4={刘尤2-[无]=2}和8=3|刘<2},求4门8和4。3(其中㈤表示不

超过实数x之值的最大整数).

【思路分析】应首先确定集合A与B.

从而—14》42.显然,2€4：.A<JB={X\-2<X<2].

若xwAcB,则/=[x]+2,[x]€{1,0-1,-2),

从而得出x==或x=—l([x]=—1).于是An5={-l,V3}

【评述】此题中集合B中元素x满足时，会出现什么样的结果，读者试解之.

例6：设/(x)=x2+bx+c(b,c6R),,EL4={x|x=f(x),xGR},B={x[x=/[/(x)],xeR},

如果A为只含一个元素的集合，则人=8.

【思路分析】应从A为只含一个元素的集合入手，即从方程/(x)-x=0有重根来解之.

【略解】设4={。|(/€11},则方程/(》)一》=0有重根1,于是/(x)-x=(x—a)2,

f(x)=(x-a)2+x“从而x=即x=[(x-a)2+(x-a)]2+(x-(z)2+x,

整理得(x—a)2[(x—a+l)2+l]=0,因x,a均为实数

(x-a+l)2+1力0,故％=。即8={a}=A.

【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.

例7：已知M={(苍丁)|32公},%={(?田|左+(y-a)241}.求立时,a

需满足的充要条件.

【思路分析】由McN=N，可知NqM.

【略解】McN=NON=M.

由/+(,_0241得/«y_y2+Qa_l)y+(l_q2)于是，

若-y-+(2iz—l)y+(1—o')<0①

必有yN/,即N=M.而①成立的条件是小二'「a)_(2"D10,

一4

即4(1—M)+(2。-1)2<0,解得a>l-.

4

【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解.

222

例8：设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr={(x,y)\x+y<r}.

若对任何r20都有C,.uA之Gu8,则必有A=B.此命题是否正确？

【思路分析】要想说明•个命题不正确，只需举出一个反例即可.

【略解】不正确.

反例：取4={(%,乃口2+/<1},B为A去掉(0,0)后的集合.

容易看出C,.UA=GUB,但A不包含在B中.

【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.

III.有限集合中元素的个数

有限集合元素的个数在课本P23介绍了如下性质：

一般地，对任意两个有限集合A、B,有

card(AuB)=card[A)+card(B)-card(AnB).

我们还可将之推广为：

一般地，对任意n个有限集合A1,&，・,•，4,有

card(AiuA2UA3U---UAn_xu4〃)

=[card(A1)+card(A2)+card(A3)-^---卜card(An)]-[card(A{cA2)+card(A、cA3)]

+…+cwd(A]cA“)+…+card(A“_]cA〃)]+[card(AnA2nA3)]4--••+card(An_2nAn_xnAn)]

----+(-1)"_|-card[\cA3c…cA“).

应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.

【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化

学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数

学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围(该

班有5名学生没有任一科是优秀).

【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.

【详解】设人=｛数学总评优秀的学生｝,B=｛物理总评优秀的学生｝,C=｛化学总评优秀的学生｝.

则card(A)=21,card(B)=19,card(C)=20,card(AcB)=9,card(BcC)=7,card(CcA)=8.

,**card(AoBuC)=card(A)+card(8)+card(C)-card(AnB)-card(Br\C)-card(CnA)

+card(Ac8cC),：.card\AuBuC)-card(AnBr>C)=2\+19-^20-9-S=36.

这里，是数、理、化中至少一门是优秀的人数，cad(AcBcC)是这

三科全优的人数.可见，估计card(AuBuC)的范围的问题与估计card(Ac8cC)的范

围有关.

注意到nJ5nC)<mm｛card(AcB),card(BnC),card(CnA)｝=7,可知

0<card｛AnnC)<7.因而可得36<card(AuBuC)<43.

又card(AoBuC)+card(AuC)=card(U),其中card(AuBoC)=5.

A41<card(JJ)<48.这表明全班人数在41-48人之间.

仅数学优秀的人数是caW(Ac仄元).

二card(AcBuC)=card｛AuBuC)-card(BuC)=card(AuBuC)-card(B)

-card(C)+card(BcC)-card(Au5uC)-32.

可见44card(Ac8DC41L同理可知34card(8cAuC)410,

5<cat(CcBuA)<12.故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生

数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.

第二讲映射及映射法

知识、方法、技能

1.映射的定义

设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则力对于集合A中的任何一个元素，在集

合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作/：4-B.

(1)映射是特殊的对应，映射中的集合A,B可以是数集，也可以是点集或其他集合，

这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的.

(2)原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.

(3)映射包括集合A和集合B,以及集合A到B的对应法则/,三者缺一不可.

(4)对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的，但B中

的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.

2.--映射

一般地，设A、B是两个集合，//-B.是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，

对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么

个这个映射叫做A到B上的一一映射.

3.逆映射

如果/是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给b规定

g(b)=a,其中。是b在/下的原象，称这个映射g是7的逆映射，并将g记为rI

显然有即

如果/是A与B之间的一一对应，则广|是B与A之间的一一对应，并且尸|的逆映射

是工

事实上，尸|是B到A的映射，对于B中的不同元素b,和b2,由于它们在/下的原象不

同，所以b和b2在尸।下的像不同，所以尸।是1-1的.

任给aeA,^f(a)=b,则广|(b)=a.这说明A中每个元素a在尸都有原象.因此，/

t是映射上的.

这样即得尸是B到A上的1一1映射，即尸是B与A之间一对应.从而尸有逆映射

6：AfB.由于任给aeA,设//(a)=b,其中b是。在「I下的原象，即/I(b)=a,所以，

f(a)=b,从而力(a)=b=/(a),得力=f,这即是尸的逆映射是f

赛题精讲

I映射

关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.

例1：设集合A/={x|O<x<ll,xeZ},集合/={(a,b,c,d)\a,h,c,deM},映射/：F—Z.使得

fff、

(。也c,d)—>ab—cd.已知(〃,匕x,y)—>39,(u,y,x,v)—>66,求x,y,w#的值.

【思路分析】应从(〃也cd入手，列方程组来解之.

【略解】由/的定义和已知数据，得

uv-xy=39,

uy-xv=66(u,v9x,ywM).

将两式相加，相减并分别分解因式，得

(y+v)(w-x)=105,(y-v)(w+x)=27.

显然，〃-x20,y-v20,在x,e{x|04x41l,xeZ}的条件下，0<M-V<11,

[詈]+14y+v422,即104y+v422,但(y+v)|105,可见(y+v}=15,(y+v)=21,

对应可知(“-x)1=7,(“-X)2=5.

27

同理，ill0<y-v<11,[—]+\<u+x<22知,3<u+x<22又有(〃+%))=3,(w+x)2=9.

对应地，(y-y)]=9,(y-咦=3.于是有以卜两种可能：

y+x=\5,y+v=21,

(I)u-x=7,(II)«-x=5,

w+x=9,M+x=9,

J-u=3;y-v=3.

由(I)解出kl,y=9,w=8,v=6；由(H)解出y=12,它已超出集合M中元素的范

围.因此，(II)无解.

【评述】在解此类问题时，估计y+-%,丁-匕“+》的可能值是关键，其中，对它们的

取值范围的讨论十分重要.

例2：已知集合A={(x,y)|—<-^<JJ}和集合{(x,y)|2>0}.求一个A与B的一一对

3xx

应力并写出其逆映射.

【略解】从已知集合A,B看1恒它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合

(如图I—1—2—1).

集合A为直线y=和y=Qx所夹角内点的集合，集合B则是第一、三象限内点

的集合.所要求的对应实际上可使A区域拓展成B区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用

极坐标表示集合A和B：

A={(pcose,psin6)|x?wO,/?ER,—<0<—},

63

B={(/7cose，psin°)|x?w0,p£R,0<(p<§}.

TT

令/(pcos。,夕sin。)->(pcos°,psin°)，9=3(。——).在这个映射下，极径夕没有改

6

变，辐角之间是一次函数8=36-二，因而掰口夕之间是--一对应，其中(工,乙)，

263

TT

9w(0,5).所以，映射/是A与B的一•对应.

逆映射极易写，从略.

【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.

II映射法

应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.

例3：设*={1,2,…，100},对X的任一非空子集M,M中的最大数与最小数的和称为M

的特征，记为m(M).求X的所有非空子集的特征的平均数.

【略解】设AuX,4/:A—A,A'={101—a|aeA}uX.

于是/：AfA'是X的非空子集的全体(子集组成的集)，Y到X自身的满射，记X的非

空子集为A”A2,A。(其中n=2i°°—l),则特征的平均数为

]“1n

一£皿Aj)=丁X(加(Aj)+m(A-)).

n,=l2n,=1

由于A中的最大数与A'中的最小数的和为101,A中最小数与A'中的最大数的和也

为101,故机缶,)〃2(4：)=202,从而特征平均数为--202-/z=101.

2n

如果A,B都是有限集合，它们的元素个数分别记为card(A),card(8).对于映射/：4fB来

说，如果/是单射，则有cm力(A)Wcard(B)；如果/是满射，则有，。”(4)2以4(8)；如

果/是双射，则有card(A)=card(B).这在计算集合A的元素的个数时，有着重要的应用.即

当card(A)比较难求时，我们就找另一个集合B,建立一一对应/：4.B，把B的个数数清,

就有以以(月)=这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.

例4：把aABC的各边n等分，过各分点分别作

A

各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平

行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边

形的个数.

【略解】如图IT—2—2所示，我们由对称性,

先考虑边不行于BC的小平行四边形.把AB边和

图

AC边各延长一等分，分别到B',C',连接I-1-2-2

B'C'.将A'B'的n条平行线分别延长，与B'C'相交，连同B',C'共有n+2个分点,

从B'至C'依次记为1,2,n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B'C'

于i,j,k,/.记

A={边不平行于BC的小平行四边形},

B={(i,j,k,l)11<z<j<k<l<n+2}.

把小平行四边形的四条边延长且交6'C'边于四点的过程定义为一个映射：

下面我们证明了是A与B的---对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相

同，那么交于B'C'的四点亦不全同.所以，四点组亦不相同，从而/是A到B的1

-1的映射.

任给一个四点组过i,j点作AB的平行线，过k,/

作AC的平行线，必交出一个边不平行于BC的小平行四边形，所以，映射/是A到B的满

射.总之/是A与B的对应，于是有card(A)=card(B)=

加上边不平行于AB和AC的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是3。,：+2.

例5：在一个6X6的棋盘上，已经摆好了一些1X2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相

邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.

【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了

11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，

图I一1一2一3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.

所以，有14个空格这•条件是完全必要的.我们

要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，

只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种

情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正

方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到

骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很

有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.

【略解】我们考虑下面5X6个方格中的空.

如果棋盘第一行(即最上方的一行)中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题

就得到解决.

现设第一行中的空格数最多是3个，则有card(X)N14—3=11,另一方面全部的骨牌

数为11,即card(Y)=11.所以必有card(X)=card(y),事实上这是--个---映射，这时，

将发生,个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入•个骨牌.

【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有

覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.

当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其

中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.

例6：设N={1,2,3,…},论证是否存一个函数/：N-»N使得〃1)=2,/(/(«))=f(n)+n

对一切〃eN成立，/(〃)</(〃+1)格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的

空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.

(1)如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.

(2)如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.

(i)骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问

题得到解决；

(ii)骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；

(iii)骨牌是竖放的.

现在假设仅发生(2)中的5)和(iii)时，我们记X为下面5义6个方格中的空格集合,

Y为上面5X6个方格中的骨牌集合，作映射/：x->y,由于每个空格(X中的)上方都

有骨牌(Y中的)，且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有

card(X)<card(Y),对一切〃wN成立.

【解法1】存在，首先有一条链.

1-2T-5—8-13f21-…①

链上每一个数n的后继是/(〃)，/满足

/(/(«))=/(«)+«②

即每个数是它产面两个数的和，这种链称为了链.

对于①中的数m>n,由①递增易知有

>m-n③

我们证明自然数集N可以分析为若干条f链，并且对任意自然数m>n,③成立(从而

/(”+1)>/(“))，并且每两条链无公共元素).方法是用归纳法构造链(参见单博著《数学

竞赛研究教程》江苏教育出版社)

设已有若干条/链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义

/伏+1)=/伙)+1④

这链中其余的数由②逐一确定.

对于m>n,如果m、n同属于新链，③显然成立，设m、n中恰有一个属于新链.若m属

于新链，在m=k+l时，-f(n)-f(k)+1-f(n)>k-n+\-m-n,

设对于m,③成立，则/(/(加))一/(〃)=/(加)+加一/(〃)之机一〃+m2/(团)一〃

[由②易知2加之/(m)].即对新链上一切m,③成立.

若n属于新链，在口=1:+1时，

f(m)-f(n)=f(m)-f(k)-\>tn-k-\=m-n.

设对于n,③成立，在m>n时，m不为原有链的链首。记

m=/(x),则在机>/(〃)时J(m)-/(〃〃))=s+机一(/(〃)+〃)=m-f(n)+(s-h).

而在s«n,f(n)-f(s)>n-s>0,与mf(〃)矛盾,所以s>n,/(m)-/(/(«))>m-f(n).

即对新链上一切，③成立.因而添入一条新链后，③仍成立.

这样继续添加，直到所有自然数均在链中出现，所得函数N即为所求.

【解法2]令/(〃)=[/?(«+1)]+〃,其中£=表示x的整数部分.显然/(〃)

严格递增，并且/⑴=2.又由于夕(，+1)=1,

/(""))=/(〃)+[夕(/(〃)+1)]

=/(〃)+{例2(〃+1)]+夕(〃+1)}

=/(")+{/2(〃+1)—双伙n+1)]+队〃+1)}

(“}=x-[x]为X的分数部分)

=/(〃)+{〃+1-团以〃+1)]}=/(«)+«.

因此，[£("+1)]+〃就是满足要求的函数.

第三讲函数的概念和性质

知识、方法、技能

I.函数的定义

设A,B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A-

B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x),其中x£A,y£B,原象集合，A叫做函数f(x)的定

义域，象的集合C叫做函数的值域，显然C±B.

II.函数的性质

(1)奇偶性设函数f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集.若对任意的xCD,

都有f(一x尸一f(x),则称Rx)是奇函数；若对任意的xGD,都有f(一x尸(W,则称f(x)是偶函

数.

(2)函数的增减性设函数f(X)在区间D'上满足：对任意X1,X2GD',并且Xi〈X2时，

总有f(X])<f(X2)(f(X1)>f(X2)),则称f(x)在区间D'上的增函数(减函数)，区间D'称为f(x)的

一个单调增(减)区间.

III.函数的周期性

对于函数f(x),如果存在•个不为零的正数T,使得当x取定义域中的每个数时，

f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有

周期中存在最小值To,称To为周期函数f(x)的最小值正周期.

IV.高斯函数

对任意实数X,我们记不超过X的最大整数为[X],通常称函数尸[X]为取整函数，又称高

斯函数.

进一步，记｛X｝=X—[X],则函数尸｛X｝称为小数部分函数，它表示的是X的小数部分.

根据高斯函数的定义，可得到其如下性质.

性质1对任意XGR,均有

X—l<[x]<x<[x]+l.

性质2对任意xGR,函数产｛x｝的值域为[0,1).

性质3高斯函数是一个不减函数，即对任意X1,X2dR,若X]<X2,则[X]]<[X2].

性质3若n6Z,xGR,则有[x+n]=n+[x],｛n+x｝=｛x｝

后一个式子表明产｛X｝是一个以1为周期的函数.

性质4若x,yGR,则[x]+[y]<[x+y]W[x]+[y]+l.

性质5若nGN*,xGR,则[nx]2n[x]

性质6若nGN*,xGR,则[与=[区].

nn

性质7若nGN*,xdR+,则在区间[l,x]内，恰有[三]个整数是n的倍数.

n

性质8设p为质数，n£N*,在p在n!的质因数分解式中的幕次为

P(〃!)=[~]+[―y]+•••

PP

赛题精讲

函数是高中数学，也是高等数学的基础.因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容.

下面分类介绍此类题目.

I函数的定义域和值域

【思路分析】应根据对数的意义，从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求

出X的范围.

【略解】由x>0,得［1gX>1

【评述】这种多层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。

例2设A={a|a=7p,peN*},在A匕定义函数f如下：若aGA,则f(a)表示a的数字之和,

例如f(7)=7,f(42)=6,设函数f的值域是集合M.求证：M={n|nGN*,n22}.

【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明.

【略解】先证M={n|nGN*,n22}.

任取xdM,即x是被7整除的正整数的数字之和，由于7X10、眸。，1,2,…，所以x

的数字之和是大于1的正整数，因此xG{n|nGN*,n22}.所以

Mq{n|nCN*,n22}.

再证{n|nGN*,n》2}cM.

任取xG{n|nWN*,n22},即x是大于1的正整数.下面分两种情形：

当x=2k(kGN*)时,由于7|100|,于是取

a=10011001-1001,

k个1001

则7|a，且f(a)=2k,所以xGM.

当x=2k+l(kGN*)时,由于7|100|,7|21,于是取

b=10011001—100121,

k-1个1001

则7|b,且f(b尸2(k—l)+3=2k+l,故xCM,故x^M.所以

{n|nGN*,n22}=M.

因此M={n|nCN*,nZ2}.

【评述】此类题目的证明严谨、科学.

例3设正实数x,y满足xy=l,求函数

f(x,y)=-------9-------的值域.(其中([x]表示不超过x的最大整数)

33+印+3+1

【思路分析】由x、y的对称性，不妨设xey,则有x2^l,必分x=l与x>l两种情况

讨论.

【详解】不妨设x》y,则x2，l,x\l.有下面两种情形:

(1)当x=l时,y=l,此时Rx,y)=g.

(2)当x>l时，设[x]=n，{x}=x—[x]=a,则x=n+a,0Wa<1.

于是，尸一-一<h故[y]=0.

n+a

1

〃+aH--------

〃

/(x,V)=+a

〃+l

由函数g(x尸x+工在x》l时是递增的和OWaVI得

X

11।1

〃+—W〃+ad--------<n+1H--------,

nn+an+1

1।1

〃+—〃+1+—

•••­―7-<f(x,y)<-----产L

n+1〃+1

1

n-\—21

1-4^

设a._n_-+l

〃+ln24-nn4-n

।I

几+l+一

b.---------^=l+—.则

n+1("+1)2

n—2

，，+I"n(n+1)(〃+2)

a{>a2=%,%<a4<...an<...,

b{>b2>...>bn>....

于是当x>1时J(x,y)的值域为[4，bj,即R,3).

64

综上所述，4v,y)的值域为山U[2,』).

264

【评述】本例表面上为“二元函数”实为一元函数，因为y=-,消去y后就是关于x

x

的函数了.

II.函数性质的应用

在数学竞赛中，常见的应用函数性质的题目有以下儿类：

1.求值、求最值

例4设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(l)=2,求f(2)+f(3)的值.

【思路分析】要抓住函数为奇函数且周期为3进行变形求值.

【略解】对定义在R卜.的奇函数，必有

f(O)=-f(O),即f(0)=0.

二f(3)=f(O)=O,f(2)=f(-l+3)=f(-l)=-f(l)=-2.

，f(2)+f(3)=-2.

例5设f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+«>)上的

最大值是5,求F(x)在(-8,0)上的最小值.

【思路分析】应注意F(x)—2是奇函数，这是解题的一条途径.

【略解】令Q(x)=F(x)—2=af(x)+bg(x),

易知9(x)为奇函数，且在(0,+8)上有最大值3.

...夕(x)在(一8,0)上有最小值一3.

故F(x)在(一8,0)上的最小值为一1.

【评述】将代数式转化为奇函数的思想十分重要，应注意掌握这种“转化思想”.

例6设函数f(x),对任意x,yGR都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时，f(x)<0且f(l)=-2.

(1)证明：f(x)是奇函数；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【思路分析】因为xeR,由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点.

［略解］⑴令x=y=0,则有

f(0)=f(0)+f(0),Af(0}=0.

再令y=-X,得f(0)=f(x)+f(—x),

Vf(0)=0,Z.f(-x)=-f(x),

，f(x)是奇函数.

(2)设X］,X2dR,且X1〈X2,则

f(x2)=flx1+(x2—XI)］=f(x1)+f(X2-X1),

VX2>Xi,.'.X2—X|>0.

由已知得f(x2—X］)<0,

•••f(X2)Vf(X1).故f(x)在R上是减函数.

；.f(x)在［―3,3］上的最大值［f(x)］域大值=f(一3),最小值［f(x)及小但=a3).

又Vf(3)=f(l+2)=f(l)+f(2)=f(l)+f(l)+f(l)=-6,fi［-3)=-f(3)=6.

故f(x)在［-3,3］上的最大值为6,最小值为-6.

【评述】本题中的“X2=X|+(X2—xD”是完成证明函数是减函数的证明的主要过程，这­

特点读者应有所体会.

2.求函数的解析式

例7若f00=2X-2-、lga为奇函数，求实数a的值.

【思路分析】可由f(x)为奇函数，得到f(一x尸一f(x),构造方程来求a的值.

【略解】；R-x)=2-x-2xlga=-(2x-2-xlga)=-f(x),

二(2*+2x)-(2x+2x)lga=0,

BP(2x+2-x)(l-lga)=0,

V2x+2x>0,/.l-lga=0,

故a=10.

【评述】利用“函数与方程的思想”来解题依然是本题的主线，但函数是奇函数是出发

点。应注意找好每道题解题的出发点.

例8已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y尸f(x)+f(y)且瑁尸2.

(1)求证:f(x)为奇函数；

(2)当t>2时，不等式f(kk>g2t)+f(log2t-log?、-2)<0恒成立，求实数k的取值范围.

【思路分析】山f(x)的定义域为R,从其特殊点，即x=y=O入手来解此题.

【略解】(1)令x=y=O得

f(0)=2f(0),.\f(0)=0.

再令y=—x,得f(O)=f(x)+f(—x),

/.f(—x)=—f(x),即f(x)为奇函数.

(2)・・・f(0)=0,f(l)=2,且f(x)是R上的单调函数，故f(x)是R上的单调递增函数.又f(x)

是奇函数.

由f{klog,r)<-/(log,t-log；t_2)=/(logjf-log,t+2)

2

得klog2t<log2t—log2t+2,

即log22t—(k+1)log2t+2>0,

.\(k+l)2-8<0,

—2y/~2<k+l<2V2,

—1—2yl~2<k<—1+2\[2.

故使不等式恒成立的实数k的范围是(-1-272,272-1).

【评述】本题(2)为函数不等式，此类题1=1十分典型，本节后面将专门加以介绍.

第四讲常见的初等函数、二次函数

知识、方法、技能

常函数y=c,暴函数y=x"(a6Q),指数函数y=a*,对数函数y=logaX,三角函数(产sinx,

y=cosx,y=tanx等)，反三角函数(y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等)是数学中最为基本的

函数，我们把它们统称为基本初等函数.

学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性

质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基

本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.

绘制基函数y=xa(a=竺，m、n是互质的整数)草图的一般步骤是：

n

(1)根据指数a的大小判断函数图象在第一象限的情形如图I-1-4-1.

(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况

①m,n均为奇数时，产x&为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称.

②m为偶数，n为奇数时Y=x"为偶函数，图象在-、二象限内关于y轴对称.

③m为奇数，n为偶数时，y=x。既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有

图像.

常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们

称之为初等函数.其中二次函数和形如y=x+-的分式函数在高考和竞赛中具有尤为

X

重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并会用这些方

法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况：会利用函数y=x+&的性质求

X

出一些分式函数的值域.

赛题精讲

135

例13个基函数y=》2,y=和产x6的图象如图1—1—4—2：试写出各个函数的图

象的对应编号.

图I—1一4一2

【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图己

无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2试试.

235

【略解】当x=2时，3个函数值分别为23,212%.因为y=2'为增函数，

135125

上<3<二所以22<24<26.而图中,x=2时，图象①的对应点纵坐标最大，图象③的对应

246

y35

点纵坐标最小，所以产x2,y=x4和y=/对应的图象依次为③，②，①.

【评述】一般地，当a越大大时，幕函数图像在x>l对应的部分越“高”.此外，本题方

法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.

例2比较下列各题中两个值的大小：

_3_322

(1)(-行尸与-(石尸；(2)(-3.14户与(-万户；

24

(3)(一万户与(-万户(4)log23与log23.1.

3--

【思路分析】(1)中两数有相同的指数一二，故可将这两者看做同一函数y=x$的两

个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.

_3

【略解】(1)因为y=x不是(-8,0)上的减函数，又—五>—JJ,所以

3_3

(-V2)-7<(-V3)-?.

222

(2)因为y=/是(-oo,0)上的减函数又—3.14〉一肛所以(—3.14)3<(_万"；

2224-2i

(3)因为y-'是(-00,+8)上的增函数，又(一%)3=%3,§<仁,所以(一万尸<万5

(4)因为y=k)g2X是(0,+8)上的增函数,又3<3.1,所以Iog23〈k>g23.1.

例3求下列函数的定义域：

⑴y=logulog„log„x(a>0,aH1);

(2)广行―鬲H，

【略解】(1)据题意有logalogaXX).

①a>l时，上式等价于logax>l,BPx>a.

②0〈a〈l时，上式等价于0<logaX〈l,即l>x>a.

所以，当a>l时，函数定义域为(a,+8)；而当Ova<l时，函数定义域为(a,l).

11--

歹丐尸，

V9-(1r1-3

>0,(|r<9