31复变函数积分的概念

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念 一一 复变函数积分的定义复变函数积分的定义 二二 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法 三三 积分的性质积分的性质设设c是复平面一条光滑（或按段光滑）的曲线，是复平面一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定如果选定c的两个可能的方向中的一个作为正方向的两个可能的方向中的一个作为正方向( (或或正向正向) )，那么我们可以将，那么我们可以将c理解为带有方向的曲线，称理解为带有方向的曲线，称为为有向曲线有向曲线，如果如果c是一条以是一条以a与与b为端点的有向曲为端点的有向曲线，如果从线，如果从a到到b为为

2、c的正向，则称从的正向，则称从b到到a方向方向为的有向曲线称为为的有向曲线称为c反向曲线，记为反向曲线，记为。 c除特除特别声明外，有向曲线别声明外，有向曲线c的正向总是指起点到终点的方的正向总是指起点到终点的方向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。一一 复变函数积分的定义复变函数积分的定义在区域在区域定义定义设函数设函数)(zfw d有定义，有定义，c为为内一条以内一条以da为起点为起点b为终点的光滑的有向曲线，为终点的光滑的有向曲线，如果将曲线如果将曲线c从起点到终点依次任意分成从起点到终点依次任意分成n个小弧段，个小弧段，bzzzzzzankk ,121

3、0分点为分点为在每个小弧段在每个小弧段kkzz1 任取一点任取一点,k 作和式作和式 nknkkkkkkzfzzf111)()(记记ks 为小弧段为小弧段kkzz1 小的弧长，小的弧长，,max1knks 趋向于零时，趋向于零时，当当 如果对如果对c的无论怎样分法及的无论怎样分法及k 在小在小弧段上的无论怎样取法，和式有唯一的极限，弧段上的无论怎样取法，和式有唯一的极限，则称则称极限值为函数极限值为函数)(zf在在c上的上的积分积分，记作，记作。 cdzzf)(即即)1 . 1 . 3()(lim)(10 nkkkczfdzzf如果如果c是闭曲线，则我们将沿闭曲线的积分记为：是闭曲线，则我们将

4、沿闭曲线的积分记为： cdzzf)(上连续，上连续，如果函数如果函数),(),()(yxivyxuzf 在区域在区域d即即),(),(yxvyxu、为为d上的连续函数。上的连续函数。 设设kkki 设光滑曲线设光滑曲线c是由方程：是由方程：),(,)()()( ttiytxtzz确定，其正向是从起点确定，其正向是从起点ab到终点到终点的方向，其中的方向，其中 为为起点起点a参数，参数， 是终点是终点b的参数，的参数，0)()()( ty itxtz且且由于由于kkkkkkkkyixyyixxzzz )(111二二 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法所以所以 nkkkkkkknkk

5、kkkkknkkkyuxviyvxuzf110),(),(),(),()(由线积分存在定理得，当由线积分存在定理得，当0 上面的两个和式的极上面的两个和式的极限都是存在的，且有限都是存在的，且有)2 . 1 . 3()( cccudyvdxivdyudxdzzf)2 . 1 . 3(表明：表明：1 1）当）当)(zf是连续函数，是连续函数，c是光滑曲线，则是光滑曲线，则 cdzzf)(一定存在；一定存在；2 2）计算复函数的积分可以转化为计算两个平面上）计算复函数的积分可以转化为计算两个平面上对坐标的曲线积分。对坐标的曲线积分。根据对坐标的曲线积分的计算法，有根据对坐标的曲线积分的计算法，有

6、dttytytxvtxtytxudyyxvdxyxuc)()(),()()(),(),(),( dttytytxutxtytxvdyyxudxyxvc)()(),()()(),(),(),(因此因此)3 . 1 . 3()()()( cdttztzfdzzf如果如果c是分段光滑的有向曲线，即是分段光滑的有向曲线，即c是由几段光是由几段光滑的有向曲线滑的有向曲线mccc,21依次首尾相接而构成的，则依次首尾相接而构成的，则我们规定：我们规定：)4 . 1 . 3()()(1 mkcckdzzfdzzf例例1 11 1）从原点）从原点o沿曲线沿曲线ittz2 到点到点;1i 2 2）从原点）从原点

7、o沿曲线沿曲线ittz 2到点到点;1i 3 3）从原点）从原点o沿实轴到点沿实轴到点1 1，再平行于虚轴到点，再平行于虚轴到点。i 1计算积分计算积分, czdz其中其中c为为xyo解解1 1） czdz 1023)32(dtittt2 2） czdzi 1ba3 3）,:,121xzcccc 从从0 x到到, 1 x,1:2iyzc 从从0 y到到。1 y 21ccczdzzdzzdz 1023)32(dtittt 10 xdx 10)1(idyiyi 2ztit 2ztit)(2itt dtit)21( 10i 10)(2itt dtit)2( i 例例2 21 1）从原点）从原点o沿曲

8、线沿曲线ittz2 到点到点;1i 2 2）从原点）从原点o沿曲线沿曲线ittz 2到点到点;1i 3 3）从原点）从原点o沿实轴到点沿实轴到点1 1，再平行于虚轴到点，再平行于虚轴到点。i 1计算积分计算积分, cdzz其中其中c为为解解1 1） cdzz 1023)2(dtittt2） cdzz 1023)2(dtittt31i 31i xyoi 1a2ztit 2ztit 102)21)(dtititt 102)2)(dtititt3 3）,21ccc 从从0 x到到, 1 x,1:2iyzc 从从0 y到到。1 y 21cccdzzdzzdzz 10 xdxi 1xyoi 1ba2zt

9、it 2ztit,:1xzc 10)1(idyiy例例3 3设设c为正向圆周为正向圆周, 1| z计算：计算：1 1）;)2(22 cdzxyiyx2 2）。 cdzxiy)(解解 利用利用)2 . 1 . 3(与格林公式，与格林公式，1 1） cxydydxyx2)(222 2） cxdyydx原式原式idydxdz cdyyxxydxi)(2220 原式原式 cydyxdxi 2 例例4 4设设c为正向圆周：为正向圆周：),0(|0 rzz计算计算 cndzzz)(10其中，其中，n为正整数。为正整数。解解设设c的方程为的方程为 ,0irezz从从0到到,2 则则 cnzzdz)(0因此，因此，当当1 n时时， czzdz0 20)1(1deirnin 20inner direi 20idi 2 当当1 n时，时， cnzzdz)(0即即 cndzzz)(10 201)1sin()1(cos(dninrin 20)1(1deirnin0 )5 . 1 . 3(i 21 n01 n1 1）)6 . 1 . 3()()( ccdzzfdzzf2 2） (,)()(ccdzzfdzzf为常数为常数) )7 . 1 . 3(3 3）)8 .