专题五均值不等式与最值放缩法

1、专题五：均值不等式与最值、放缩法基础梳理1常用的基本不等式和重要的不等式：（1）aR,a20,同 0当且仅当 a0取“”号；（2）a,b R,则a2b22ab ；（3） a, b,c R，则 a2 b2 c2 ab be ca。2. 均值不等式：两个正数的均值不等式：ab ；三个正数的均值不等式：a b e 3 abe ;23n个正数的均值不等式：勺一聖也 n a i a2a ；。n3. 四种均值的关系：（1）两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是:b2（2）三个正数a、b、e的调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数:Vabeabeb23e2(1) 如果x

2、, y如果x, y, z R(2) 如果x,y如果x, y, z R整式形式根式形式分式形式倒数形式2 2a b 2aba b 2 a,b Rab ( 2 )22(a,b R )b a 2 a b(a,b同 号)1a 2(a0)a1a 2(a0)aa3 b3 e3 3abea b e 3 a,b,c R abe ()33abe 3fT vabe 3(a,b,e R )b旦2a b(a, b异号)1 1(a b)(- -) 4(a,b R )111(a b c)(_ _ _) 9 abe(a,b,e R )abe小结：“算数平均数 几何平均数”的多种表达形式:4.均值不等式求最值:R ,xy P

3、 （定值），由，当x,xyz P （定值），由,当x yR ,x y S （定值），由，当,x y z S（定值），由，当x利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可!能力巩固考点一：均值不等式与最值21.已知 x, y, zR , x 2y 3z 0,则上的最小值xz2设xA. 10, y 0, x y 1 ,. x . y 最大值是(B.、2C.-2)D._323.已知 a 0,b0，且 a b 2，若 Sa2 b22 . ab，则S的最大值为4.已知x,y都在区间（2,2）内，且xy则函数A.2411u 4127的最小值是（1255.若a是、；I b 与,2b的等

4、比中项，贝U2ab的最大值为（|a| |b|)A. 2B. 1C.应DD.2422、3, BAC30 ,定义 f (M )(m, n, p),其uuur uuur6 设M是 ABC内一点，且AB AC1 1 4中m n、p分别是 MBC, MCA, MAB的面积，若f (M ) ( , x, y),贝V的最小值是2 x y7.若a,b均为正实数，且.a - ba m b恒成立，则m的最小值是变式：(1)若不等式b22a2对任意正实数a、b都成立，则的最大值是(A. 1B. 2C.D. 5(2)若对于任意的实数1，不等式a2b2t(a b 2)恒成立，则实数t的最大值是8.设x,y都是整数，且满

5、足 xyA. 32B. 25则x2C. 182y的最大可能值为(D. 169.函数f XA. 2,42 . x ,4 x的值域为(B. 0,2、5C.)4,2.5D. 2,2.5练习：使关于 xA . 6 . 3的不等式x 3, 6B . ,3x k有解的实数k的最大值是（）C . 6, 3 D . 、610.已知 a,b,cR 且 a(3a 4b 2c)A. 3.2B. 2 2C.4 8bc，则3a 2b c的最小值为（32练习：若a,b,c0 且 a(a bc)bcD. 4.342、3，则2a b c的最小值为132考点二：放缩法与不等式i i例i. （i）求证：-12 22(2) 11

6、132521(2n 1)2716 22k 2，n N)；(3) 2,n2( 一n 11)；(4)122 1152n 13(5) 1丄 12! 312 (其中 n! n (n 1) (n 2) L 3 2 1 ) n!111 1 ” _(6)求证：(1+-(1+K1+ )L (1+)'.2n 1(n N)；1352n-1(7)证明：当n 1,n12n例2 设各项为正的数列an满足:ai1,nanan(nan 11)anbiai, bnai12a212as12(n 2).an 1(i )求 a.；(n)求证:(11b1)(1bT(1b21b?)4(n1).例 3.在数列a.中，已知 ai

7、2 , an & 2a“ K 1 , n N(1)1证明数列丄an1为等比数列，并求数列an的通项公式;n(2)求证：ai(ai 1) 3, n N。i 1例 4在数列an中，q1,3anan1anan10(n2)，设数列 bnan,bn的前 n 项和为Tn。(1) 若 an an 1 0对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围；(2) 求证：对任意 n 2 的整数，b2 b3. bn 2 (, 3n 21)；3(3) 是否存在实数 M,使得对任何的n N* , Tn M恒成立，如果存在求出最小的M，如 果不存在请说明理由。3n1例5.已知数列 an 满足 a1=-l , an 1(3n3)a4n6，数列