复合函数与隐函数的微分法

1、第五讲第五讲 复合函数与隐函数的微分法复合函数与隐函数的微分法 内容提要内容提要 1.多元复合函数的求导法则；多元复合函数的求导法则； 2.隐函数的求导法则。隐函数的求导法则。 教学要求教学要求 1.熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的求法；熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的求法； 2.理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。先复习一元函数复合函数求导法则先复习一元函数复合函数求导法则)(),(xuufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy dxdydudy )()(xuf )()(),(xvvuufy 设设的的导导数数为为则则复复合合

2、函函数数)(xfy dxdydudy )()()(xvuf dxdudvdudxdv一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则),(),(yxyxfz 这个复合过程，这个复合过程，zuvxy下面先对二元函数的复合函数进行讨论下面先对二元函数的复合函数进行讨论),(),(yxuvufz 通通过过中中间间变变量量设设函函数数的的下面定理给出直接由下面定理给出直接由),(),(),(yxyxvuf .,的求导公式的求导公式求求yzxz .,),(的复合函数的复合函数成为成为及及yxyxv ,偏导数偏导数可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：定理定理1）处处有有偏偏导导数数，在在点

3、点（设设yxyxvyxu,),(),( 有有连连续续偏偏导导数数，在在对对应应点点),(),(vuvufz 处处有有偏偏导导数数，在在点点),(),(),(yxyxyxfz 则则复复合合函函数数且且 xz yz上述复合过程可以形象的用上述复合过程可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：zuvxyxuuz xvvz yuuz yvvz 解解 xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv zuvxy，求求xz yz ,lnvezu 设设例例1.22yxv ,xyu 222yxxexy veuln y.)ln(22yxyexy x2veu1 veuln xveu1 y222222yxyyx

4、xexy )ln(解解 xzuz xu vz xv veucos ),cossin(vvyeu yzuz yu vz yv xveu sin)cossin(vvxeu zuvxyveusin y 1 ，求求xz yz ,sinvezu 设设,xyu . yxv ),cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 1 veucos练习练习说明：说明：uvxz，若若)(),(xvxu 的的函函数数，是是则则复复合合函函数数xxxfz)(),( 简单表示为简单表示为的的导导数数称称为为全全导导数数，对对此此时时xz dxdz且且有有),(,vufz 对对中中在在定定理理1

5、1.uz vz dxdudxdv.)(sincosdxdyxyx的的导导数数求求例例 2解解xvxucos,sin 令令，则则vuy uyxvdxdyuy vy 1 vvuxcosuuvln )sin(x )ln(sin)(sincos)(sin1cos21cosxxxxxx dxdu dxdv ),(1vufz 中，对中，对在定理在定理，若若xvyxu ),( 2.的的函函数数，是是则则复复合合函函数数yxxyxfz,),( 复合过程复合过程zuxyxxz yuuz 两者的区别两者的区别xf 求偏导求偏导对对对对xxyxfz),( xf 为了区别将其改为为了区别将其改为求偏导求偏导对对对对x

6、xufz),( xxz uz yz可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：xu 例例3yzxzyxuufyuyfz ,),(),( 22求求设设解解zuyxuz )(uf )(222yxfx uz yf )(uf )(2122yxfy yz xz yxu x2yu )(y2 1 zwvuyx定理定理1可推广到中间变量和自变量多于两个的情形可推广到中间变量和自变量多于两个的情形3.具具有有连连续续偏偏导导数数，例例如如，设设),(wvufz 都都具具有有偏偏导导数数，而而),(),(),(yxwyxvyxu ),(),(),(yxyxyxfz 复复合合函函数数复合过程复合过程wz w

7、z xzuz vz yz uz vz 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：xu xv xw yu yv yw 例例4,2222222tsytsxzyxu 设设,stz2 tusu ,求求zyxust解解tu su zu tzzu xu yu txxu tyyu 222zyxx s2 222zyxy s2 222zyxz t 2 2222zyxztysxs )(2222zyxzsytxt )(sx sy sz ),(wvufz 对对,),(),(时时当当xwyxvyxu ),(),(xyxyxfz 复复合合函函数数复合过程复合过程zvuyxxxf xzuz vz yz uz vz x形象

8、的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：xu xv yu yv ，设设例例25xvexvufzu sin),(xz 求求yz 和和解解zvuyxxxf xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz ,xyv , yxu 其中其中veucos veusin yxxyyxyeyx2 )cos()sin(veusin veucos x)cos()sin(xyxxyeyx x2 zwvux),(wvufz 对对时时，当当)(),(),(xwxvxu )(),(),(xxxfz 复复合合函函数数复合过程复合过程dxdwwz dxdzdxduuz dxdvvz 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描

9、述：例例 6 6 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz. 解解tcos tcos .cos)sin(costttet tzuvtz dtdzuz vz tetetcos tetsin v tdtdu dtdv tsin u例例 7yzxzyxxyfz ,),(求求设设解解,xyu 令令),(vufz 则则zuvxyxvvz vz yzvz xz 于是于是xuuz uz uz yyvvz yuuz x, yxv ，对对),(.vufz 1的的函函数数，是是则则复复合合函函数数yxyxyxfz,),(),( xz yzzuvxyxuuz xvvz yuuz

10、yvvz ，若若),(),(yxvyxu uvxz，若若)(),(xvxu 的的函函数数，是是则则复复合合函函数数xxxfz)(),( dxdz),(.vufz 对对2vz dxdudxdv回回 顾顾uz 的的函函数数，是是则则复复合合函函数数yxxyxfz,),( zuxyxyuuz xf xz xuuz yz),(.xufz 对对3),(yxu 若若zwvuyx，对对),(.wvufz 4),(),(yxvyxu 若若),(),(),(yxyxyxfz 复复合合函函数数xwwz ywwz xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz ，),(yxw ),(.xvufz 对对5,),()

11、,(时时当当yxvyxu ),(),(xyxyxfz 复复合合函函数数zvuyxxxf xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz zwvux),(.wvufz 对对6时时，当当)(),(),(xwxvxu )(),(),(xxxfz 复复合合函函数数dxdwwz dxdzdxduuz dxdvvz 形式隐函数形式隐函数 0),(. 1 yxf二、隐函数求导法二、隐函数求导法的的导导所所确确定定的的函函数数设设方方程程)(),(xfyyxf 0处处某某邻邻域域内内在在点点函函数数),(),(yxyxf，及及的的偏偏导导数数),(),(yxfyxfyx的的导导数数为为确确定定的的则则由由)

12、(0),(xfyyxf dxdy, 0),( yxfy且且)(),(xfyyxf 确确定定函函数数因因为为00)(,( xfxffxy证明证明),(yxfx),(yxfy 0 dxdy),(),( yxfyxfdxdyyx 有连续有连续数存在，数存在，),(),(yxfyxfyx ),(sinxfyxyyx 确确定定函函数数设设方方程程xxyyyxf sin),(令令 dxdy则则xyxxyycoscos 11xyxxyycos1cos1 例例1dxdy求求解解yxff dxdy则则),(),(yxfyxfyx 0 ),(yxfxyyxsin 0 xxyysin已已知知xyyxarctanln

13、22 ，求求 dxdy. 令令则则 ),(yxf,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx ,arctanlnxyyx 22提示：提示：练习练习形形式式的的隐隐函函数数0),(. 2 zyxf确确定定的的函函数数为为因因为为0),( zyxf),(yxfz fxyz0),(,( yxfyxf求求偏偏导导和和两两边边分分别别对对yxxf的的某某邻邻域域内内有有连连续续在在点点设设函函数数),(),(zyxzyxf，偏偏导导数数),(),(),(zyxfzyxfzyxfzyx. 0),( zyxfz且且的的所所确确定定的的函函数数设设方方程程),(0)

14、,(yxfzzyxf 存在，存在，及及偏导数偏导数yzxz 证明证明,zxffxz 则则0 zf zxffxz zyffyz 同理同理zyffyz xz ，确确定定函函数数设设方方程程例例),(yxfzxyzez 2xyzezyxfz ),(令令zyffyz zxffxz 则则xyeyzz yyzz xyxyzyz 由对称性由对称性xxzz zyzxffyzffxz ,则则0),( zyxf.yzxz 及及求求解解yyxzzyzxzln 11),(yxfzyzzx 确确定定函函数数设设方方程程0,yz 求求.xz 练习练习解解 ),(zyxf令令zyffyz 则则zxyz yyxzzzzxxlnln 1zxffxz 则则解解令令, zyxu ,xyzv 则则0),( vuff