高中数学人教A版必修三课时提升作业：二十一 3.3.2 均匀随机数的产生 含解析

1、人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(二十一)均匀随机数的产生(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.与均匀随机数特点不符的是()a.它是0，1内的任何一个实数b.它是一个随机数c.出现的每一个实数都是等可能的d.是随机数的平均数【解析】选d.a，b，c是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.2.设x是0，1内的一个均匀随机数，经过变换y=5x+1，则x=15对应变换成的均匀随机数是()a.0b.2c.4d.5【解析】选b.当x=15时，y=5×15+1=2.3.设x1是0，1内的均匀随机数，x2是-2，1内的均匀随机数

2、，则x1与x2的关系是()a.x2=2x1-2b.x2=3x1-2c.x2=3x1+2d.x2= x1-2【解析】选b.注意到-2，1的区间长度是0，1的区间长度3倍，因此设x2=3x1+b(b是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x1=12时，x2=-12，所以-12=3×12+b，得b=-2.因此x1与x2的关系式是x2=3x1-2.4.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为()a.43b.83c.23d.无法计算【解析】选b.因为s阴影s正方形=23，所以s阴影=23s正方形=83.5.在

3、区间-1，1上随机地取一个数x，f(x)=2x的值介于12到1之间的概率为()a.14b.13c.12d.23【解析】选c.由12<2x<1得-1<x<0，所以f(x)=2x的值介于12到1之间的概率为p=0-(-1)1-(-1)=12.【补偿训练】设x，y是两个0，1上的均匀随机数，则0x+y1的概率为()a.12b.14c.29d.316【解析】选a.如图所示，所求的概率为p=s阴影s正方形=12.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在区间-1，2上随机取一个数x，则|x|1的概率为.【解析】由|x|1，得-1x1.由几何概型的概率求法知，所求的概率p=区间-1,

4、1的长度区间-1,2的长度=23.答案：237.在边长为2的正三角形abc内任取一点p，则使点p到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是.【解析】以a，b，c为圆心，以1为半径作圆，与abc交出三个扇形，当p落在其内时符合要求.所以p=3×(12×3×12)34×22=36.答案：368.在圆心角为90°的扇形中，以圆心o为起点作射线oc，使得aoc和boc都不小于30°的概率为.【解析】作aoe=bod=30°，如图所示，随机试验中，射线oc可能落在扇面aob内任意一条射线上，而要使aoc和boc都不小于30°，

5、则oc落在扇面doe内，所以所求概率p=13.答案：13三、解答题(每小题10分，共20分)9.在长为14cm的线段ab上任取一点m，以a为圆心，以线段am为半径作圆.用随机模拟法估算该圆的面积介于9cm2到16cm2之间的概率.【解题指南】圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型.解答本题时只需产生一组均匀随机数.【解析】设事件a表示“圆的面积介于9cm2到16cm2之间”.(1)利用计算器或计算机产生一组0，1上的均匀随机数a1=rand；(2)经过伸缩变换a=14a1得到一组0，14上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数n和3，4内的随机数个数n1(即满足3a4的个数)；(4)

6、计算频率fn(a)=n1n，即为概率p(a)的近似值.【补偿训练】如图所示，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率.【解析】设事件a=所投点落入小正方形内.用计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1=rand，b1=rnad.经过平移和伸缩变换，a=3a1-1.5，b=3b1-1.5，得两组-1.5，1.5上的均匀随机数.统计落入大正方形内的点数n(即上述所有随机数构成的点(a，b)的个数)及落入小正方形内的点数n1(即满足-1<a<1且-1<b<1的点(a，b)的个数).计算n1n

7、，即为概率p(a)的近似值.10.现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x-3y-4=0和x=1，y=-1围成.【解题指南】要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x，y，可用两组均匀随机数来表示点的坐标.【解析】记事件a=飞镖落在阴影部分.(1)用计算机或计算器产生两组0，1上的均匀随机数，x1=rand，y1=rand.(2)经过平移和伸缩变换，x=2(x1-0.5)，y=2(y1-0.5)得到两组-1，1上的均匀随机数.(3)统计试验总次数n及落在阴影部分的点数n1(满足6x-3y-4>0的点(x，y)的个数).(4)计算频率f

8、n(a)=n1n，即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值.【一题多解】本题还可以采用以下方法利用几何概型的公式：由于随机地投掷飞镖，飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的，且结果有无限多个，所以是几何概型.阴影部分的面积为s1=12·56·53=2536，又正方形的面积s=4.所以飞镖落在阴影部分的概率为p=25364=25144.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.如图，在aob中，已知aob=60°，oa=2，ob=5，在线段ob上任取一点c，则aoc为钝角三角形的概率为()a.0.6b.0.4c.0.2d.0.1【解题指南】试验发生包含的事

9、件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况，第一种aco为钝角，第二种oac为钝角，根据等可能事件的概率得到结果.【解析】选b.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况：第一种aco为钝角，这种情况的边界是aco=90°的时候，此时oc=1，所以这种情况下，满足要求的是0<oc<1.第二种oac为钝角，这种情况的边界是oac=90°的时候，此时oc=4，所以这种情况下，满足要求的是4<oc<5.综合两种情况，若aoc为钝角三角形，则0<oc<1或4<o

10、c<5.所以概率p=25=0.4.【误区警示】根据条件，aoc为钝角三角形，但并没有指出哪一个角为钝角，所以解题时可能会只考虑一种情况，而导致错误的结论为0.2.2.如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件a=投中大圆内，事件b=投中小圆与中圆形成的圆环内，事件c=投中大圆之外.(1)用计算机产生两组0，1内的均匀随机数，a1=rand，b1=rand.(2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=16b1-8，得到两组-8，8内的均匀

11、随机数.(3)统计投在大圆内的次数n1(即满足a2+b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数n2(即满足4<a2+b2<16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数n(即满足上述-8<a<8，-8<b<8的点(a，b)的个数).则概率p(a)，p(b)，p(c)的近似值分别是()a.n1n，n2n，n-n1nb.n2n，n1n，n-n2nc.n1n，n2-n1n，n2nd.n2n，n1n，n1-n2n【解析】选a.p(a)的近似值为n1n，p(b)的近似值为n2n，p(c)的近似值为n-n1n.【延伸探究】若本题条件不变，求(1)

12、投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?【解析】=s正方形=162=256(cm2)a=s大圆=×62=36(cm2)b=s中圆-s小圆=×42-×22=12(cm2)c=s正方形-s大圆=256-36(cm2).由几何概型的概率公式得：(1)p(a)=a=36256=964，(2)p(b)=b=12256=364，(3)p(c)=c=256-36256=1-964.二、填空题(每小题5分，共10分)3.利用计算器在0，1上产生均匀随机数x，经过变换y=mx+2，使得x=23时，对应的变换出的均匀随机数为

13、4，则m的值为.【解析】当x=23时，y=m×23+2=4，解得m=3.答案：34.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.步骤是：(1)利用计算器或计算机产生两组01之间的均匀随机数，a1=rand，b1=rand.(2)进行伸缩变换a=2a1，b=8b1.(3)数出试验总次数n和落在阴影内的样本点数n1(满足b<a3的点(a，b)的个数)，用几何概型的求概率公式计算阴影部分的面积.例如，做1 000次试验，即n=1 000，模拟得到n1=250.由s阴影s矩n1n，得s阴影.【解题指南】根据题目条件可知，a=2a1，b=8b1，

14、所以a0，2，b0，8，利用公式s阴影s矩n1n求解.【解析】由条件知，a0，2，b0，8，所以s矩=2×8=16.又由n=1 000时模拟得到n1=250，所以s阴影n1n×s矩=2501 000×16=4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)5.从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少?【解析】能赶上车的条件是到达乙地时汽车没有出发，我们可以用两组均匀随机数x和y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当xy时能赶上车.设事件a：“他能赶上车”.利用计算器或计算机产生两组0，1上的均匀随机数，x1=rand，y1=rand.经过变换x=0.5x1+9.5，y=0.5y1+9.75.统计出试验总次数n和满足条件xy的点(x，y)的个数n1.计算频率fn(a)=n1n，则n1n即为概率p(a)的近似值.6.图形