高等数学课件 167;6.4.3正弦级数与余级数

1、一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数) , 2 , 1( sin)(1nnxdxxfbn。 若)(xf为偶函数，则其傅里叶级数是只含常数项和 余弦项的余弦级数余弦级数 nxaanncos21. 6.4.36.4.3 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数1将将)(xf在在, 0上上展展开开成成正正弦弦级级数数：令).0 ,( ),(0, , 0 ,(0, ),( )(xxfxxxfxf2 2将将)(xf在在, 0上展开成余弦级数：上展开成余弦级数：令).0 , , )(, 0, , )()(xxfxxfxf注注：具体计算时和 nnba，只用到nxxfcos)(和nxxfs

2、in)( 在, 0上的积分，故不必写出)( xf延拓函数。 00sin) 1(2sin)(2nxdxxnxdxxfbn 02cossincos2nnxnnxnnxx) 1() 1(1 2nnn) , 2 , 1( .2 ,1 , 12 ,1222kknkknk例 2将函数1)(xxf（x0）分别展开成正弦级数 和余弦级数。解： （1）求正弦级数，作奇式延拓将 )( xf， ), 2 , 1 , 0(0nan， 4sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxx （x0） yxo.)( 的图象xfyxo.)( 的图象xfyxo.)( 的图象xs（2）求余弦级数，作偶式延拓将 )(

3、xf， ) , 3 , 2 , 1( 0nbn， 2) 1(200dxxa，00cos) 1(2cos)(2nxdxxnxdxxfan0sincossin22nnxnnxnnxx 1cos22nn) , 2 , 1( .2 , 0 12 ,) 12(4 1) 1(222kknknknn5cos513cos31(cos412122xxxx（x0） 。.)( 的图象xfyxo.)( 的图象xsyxo6 6. .4 4. .4 4 以以l 2为为周周期期的的函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数设周期为上在的函数 , )( 2 llxfl满足狄氏条件， 令lxt，则t lx ， lxl变为t， lldxx

4、fldttfa)(1)(10， )() ()(tft lfxf，则)(tf以2为周期，在 ,上)(tf的傅里叶系数为llndxlxnxflntdttfbsin)(1sin)(1。)sincos(2)(10ntbntaatfnnn，从而).sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn llndxlxnxflntdttfacos)(1cos)(1，定定理理 2 2 设周期为l 2的函数)(xf在 ,ll上满足狄氏条件， . ,2)0()0(,)( ,2)0()0(,)( ),()sincos(2 10lxlflfxfxxfxfxfxxflxnblxnaannn的第一类间断点为的连续点为则其

5、中), 2 , 1 , 0(cos)(1ndxlxnxflalln， ), 2 , 1(sin)(1ndxlxnxflblln。 若)(xf为 ,ll上的奇函数时， )(xflxnbnnsin1， 其中), 3 , 2 , 1(sin)(20ndxlxnxflbln； 若)(xf为 ,ll上的偶函数， )(xflxnaanncos210， 其中), 2 , 1 , 0(cos)(20ndxlxnxflaln。 例 3将以 4 为周期的函数2.0 , 1, 02 , 0)(xxxf展开成傅里叶级数。解：周期为 4，2l。 121)(2120220dxdxxfa，02sin12cos212cos)

6、(21202022xnndxxndxxnxfan，20222sin212sin)(21dxxndxxnxfbn202cos1xnn)., 2 , 1(.2 , 0 , 12 ,) 12(2kknknk) 1(1 1nn 故当)2 , 0()0 , 2(x时， )25sin5123sin312(sin221)(xxxxf； 当0 x，2x时，级数收敛于21。.)( 的图象xs22xo446yy.)( 的图象xf22xo446 0na，ndxxnxdxlxnxflbln22sin)21 (sin)(2200， )2 , 0( , 2sin1221)(1xxnnxxfn， 解：将)(xf先作奇式延拓

7、，再作周期延拓， 2l，周期为 4。 例 4把上在 2 , 0 21)(xxf展开成以 4 为周期的正弦 级数，并作出其和函数在4 , 4上的图形。 时和当 2 0 xx，级数收敛于 0。 y.4 , 4)(上的图象在 xs22xo4411 和函数 . 0 0, , 02 ),(2,0 ),()(xxxfxxfxs即 . 0 0, , 02 ,212,0 ,21)(xxxxxxs级数的复数形式fourier. 4)(2)(22)sincos(2 1010lixnlixnnlixnlixnnnnnneeibeeaanxlbnxlaa级数化为：的为周期的函数可把以公式利用fourierxfeetleetitititit)(,2sin22coseuler2,2,2c 0010nnnnnnlixnnnlixnnlixnnnibacibacaecececc其中lllxnillllnnnllnndxexfldxlxnxflidxlxnxflibacdxxflacba)(21 ,sin)(cos)(1212,)(212,00得的公式代入lllxninnndxexflibac)(212:)(级数的复数形式的fourierxf lixnnnec f(x)且满足狄氏条件，则：为周期以设,)( txfxinnnnnnttixnnnnnnecxn