高中数学人教A版浙江专版必修5讲义：第三章 3．3　二元一次不等式组与简单的线性规划问题 含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料 二元一次不等式二元一次不等式 组组 与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 33.1 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与平面区域与平面区域 (1)二元一次不等式是如何定义的？二元一次不等式是如何定义的？ (2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？ (3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？ 新知初探新知初探 1二元一次不等式二元一次不等式 含有含有两个两个未知数未知数,并且未知数的次数是并且未知数的次数是 1 的不等式称为二元一次不等

2、式的不等式称为二元一次不等式 2二元一次不等式组二元一次不等式组 由由几个二元一次不等式几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组组成的不等式组称为二元一次不等式组 3二元一次不等式二元一次不等式(组组)的解集的解集 满足二元一次不等式满足二元一次不等式(组组)的的 x 和和 y的取值构成的的取值构成的有序数对有序数对(x,y),叫做二元一次不等式叫做二元一次不等式(组组)的解的解,所有这样的所有这样的有序数对有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式构成的集合称为二元一次不等式(组组)的解集的解集 4二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中在平面

3、直角坐标系中,二元一次不等式二元一次不等式 axbyc0 表示直线表示直线 axbyc0 某一侧某一侧所有点组成的平面区域所有点组成的平面区域,把直线画成把直线画成虚线虚线以表示区域不包括边界以表示区域不包括边界 不等式不等式 axbyc0 表示的平面区域包括边界表示的平面区域包括边界,把边界画成把边界画成实线实线 5二元一次不等式表示的平面区域的确定二元一次不等式表示的平面区域的确定 预习课本预习课本 p8286,思考并完成以下问题思考并完成以下问题 (1)直线直线 axbyc0 同一侧的所有点的坐标同一侧的所有点的坐标(x,y)代入代入 axbyc,所得的符号都所得的符号都相相同同 (2)

4、在直线在直线 axbyc0 的一侧取某个特殊点的一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点作为测试点,由由 ax0by0c 的符的符号可以断定号可以断定 axbyc0 表示的是直线表示的是直线 axbyc0 哪一侧的平面区域哪一侧的平面区域 点睛点睛 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界线定界,点定域点定域”,定边界时需分定边界时需分清虚实清虚实,定区域时常选原点定区域时常选原点(c0) 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”“”) (1)由于不等式由于不等式 2x10 不是二元

5、一次不等式不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域故不能表示平面的某一区域( ) (2)点点(1,2)不在不等式不在不等式 2xy10 表示的平面区域内表示的平面区域内( ) (3)不等式不等式 axbyc0 与与 axbyc0 表示的平面区域是相同的表示的平面区域是相同的( ) (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( ) (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( ) 解析：解析：(1)错误不等式错误不等式 2x10 不是二元一次不等式不是二元一次不等式,但表示的区域是直线

6、但表示的区域是直线 x12的右侧的右侧(不包括边界不包括边界) (2)错误把点错误把点(1,2)代入代入 2xy1,得得 2xy130,所以点所以点(1,2)在不等式在不等式 2xy10表示的平面区域内表示的平面区域内 (3)错误不等式错误不等式 axbyc0 表示的平面区域不包括边界表示的平面区域不包括边界,而不等式而不等式 axbyc0表示的平面区域包括边界表示的平面区域包括边界,所以两个不等式表示的平面区域是不相同的所以两个不等式表示的平面区域是不相同的 (4)错误在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式错误在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式,如如 2xy10，3x20也称为也

7、称为二元一次不等式组二元一次不等式组 (5)错误二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部错误二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分分,但不一定是封闭区域但不一定是封闭区域 答案：答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2在直角坐标系中在直角坐标系中,不等式不等式 y2x20 表示的平面区域是表示的平面区域是( ) 解析：解析：选选 c 原不等式等价于原不等式等价于(xy)(xy)0,因此表示的平面区域为左右对顶的区域因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界包括边界),故选故选 c. 3在不等式在不等式 2xy60 表示的平面区域

8、内的点是表示的平面区域内的点是( ) a(0,7) b(5,0) c(0,1) d(2,3) 解析：解析：选选 c 对于点对于点(0,1),代入上述不等式代入上述不等式 200160 成立成立,故此点在不等式故此点在不等式 2xy60,解得解得 m12. 答案：答案： m m12 二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 典例典例 画出下列不等式画出下列不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 (1)2xy60； (2) xy50，xy0，x3. 解解 (1)如图如图,先画出直线先画出直线 2xy60, 取原点取原点 o(0,0)代入代入 2xy6 中中, 20106

9、60, 与点与点 o 在直线在直线 2xy60 同一侧的所有点同一侧的所有点(x,y)都满足都满足 2xy60,因此因此 2xy60 表示直线下方的区域表示直线下方的区域(包含边界包含边界)(如图中阴如图中阴影部分所示影部分所示) (2)先画出直线先画出直线 xy50(画成实线画成实线),如图如图,取原点取原点 o(0,0)代入代入 xy5, 00550, 原点在原点在 xy50表示的平面区域内表示的平面区域内,即即 xy50表示直线表示直线xy50 上及其右下方的点的集合同上及其右下方的点的集合同理可得理可得,xy0 表示直线表示直线 xy0 上及其右上方的点的集合上及其右上方的点的集合,x

10、3 表示直线表示直线 x3 上及其左方的点的集合如图所示的上及其左方的点的集合如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域阴影部分就表示原不等式组的平面区域 (1)(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时在画二元一次不等式组表示的平面区域时, ,应先画出每个不等式表示的区域应先画出每个不等式表示的区域, ,再取再取它们的公共部分即可其步骤为：它们的公共部分即可其步骤为：画线；画线；定侧；定侧；求求“ 交交”；表示表示 (2)(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域, ,只需在它所对应的直线的某一侧取只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点一个特殊

11、点( (x x0 0, ,y y0 0) ), ,从从axax0 0byby0 0c c的正负判定的正负判定 活学活用活学活用 若关于若关于 x,y 的不等式组的不等式组 x0，x2y0，kxy10表示的平面区域是直角三角形区域表示的平面区域是直角三角形区域,则正数则正数 k 的的值为值为( ) a1 b2 c3 d4 解析：解析： 选选 b 如图如图,易知直线易知直线 kxy10 经过定点经过定点 a(0,1),又知道又知道关于关于 x,y 的不等式组的不等式组 x0，x2y0，kxy10表示的平面区域是直角三角形区表示的平面区域是直角三角形区域域,且且 k0,所以所以 k 121,解得解得

12、 k2,故选故选 b. 二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示平面区域的面积表示平面区域的面积 典例典例 不等式组不等式组 yx，x2y4，y2表示的平面区域的面积为表示的平面区域的面积为( ) a.503 b.253 c.1003 d.103 解析解析 作出不等式组作出不等式组 yx，x2y4，y2表示的平面区域表示的平面区域,如图阴影部分所示可以求得点如图阴影部分所示可以求得点a 的坐标为的坐标为 43，43,点点 b 的坐标为的坐标为(2,2),点点 c 的坐标为的坐标为(8,2),所以所以abc 的面积是的面积是128(2) 43 2 503. 答案答案 a 求平面区域的面积的方法求

13、平面区域的面积的方法 求平面区域的面积求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积若图然后根据区域的形状求面积若图形为规则的形为规则的,则直接利用面积公式求解； 若图形为不规则图形则直接利用面积公式求解； 若图形为不规则图形,可采取分割的方法可采取分割的方法,将平面区域将平面区域分为几个规则图形求解分为几个规则图形求解 活学活用活学活用 不等式组不等式组 x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域的面积等于所表示的平面区域的面积等于( ) a.32 b.23 c.43 d.34 解析：解析：选选 c 作出平面区域如图所示为作出平面区域如图所

14、示为abc, 由由 x3y40，3xy40，可得可得 a(1,1), 又又 b(0,4),c 0，43,sabc12 |bc| |xa|12 443143,故选故选 c. 用二元一次不等式组表示实际问题用二元一次不等式组表示实际问题 典例典例 某厂使用两种零件某厂使用两种零件 a,b 装配两种产品装配两种产品 p,q,该厂的生产能力是月产该厂的生产能力是月产 p 产品最多产品最多有有 2 500 件件,月产月产 q 产品最多有产品最多有 1 200 件；而且组装一件件；而且组装一件 p 产品要产品要 4 个零件个零件 a,2 个零件个零件 b,组组装一件装一件 q 产品要产品要 6个零件个零件

15、 a,8 个零件个零件 b,该厂在某个月能用的该厂在某个月能用的 a零件最多零件最多 14 000个个,b零件最零件最多多 12 000 个用数学关系式和图形表示上述要求个用数学关系式和图形表示上述要求 解解 设分别生产设分别生产 p,q产品产品 x件件,y件件,依题意则有依题意则有 4x6y14 000，2x8y12 000，0 x2 500，xn，0y1 200，yn.用图形表示用图形表示上述限制条件上述限制条件,得其表示的平面区域如图得其表示的平面区域如图(阴影部分整点阴影部分整点)所示所示 用二元一次不等式组表示实际问题的方法用二元一次不等式组表示实际问题的方法 (1)先根据问题的需要

16、选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示 (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来将问题中所有的量都用这两个字母表示出来 (3)由实际问题由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式 (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来 活学活用活学活用 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工做

17、一张甲、乙型号的桌子分别需要做一张甲、乙型号的桌子分别需要 1 h 和和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要 3 h和和 1 h又木工、漆工每天工作分别不得超过又木工、漆工每天工作分别不得超过 8 h 和和 9 h请列出满足生产条件的数学关系请列出满足生产条件的数学关系式式,并画出相应的平面区域并画出相应的平面区域 解：解： 设家具厂每天生产甲设家具厂每天生产甲,乙型号的桌子的张数分别为乙型号的桌子的张数分别为 x 和和 y,它们满足的数学关系式为：它们满足的数学关系式为： x2y8，3xy9，x0，xn，y0，yn.分别画出不等式组中各不等式表示

18、的平面区域分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域,然后取交集然后取交集,如图中的阴如图中的阴影部分所示影部分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件 层级一层级一 学业水平达标学业水平达标 1设点设点 p(x,y),其中其中 x,yn,满足满足 xy3 的点的点 p 的个数为的个数为( ) a10 b9 c3 d无数个无数个 解析：解析：选选 a 作作 xy3，x，yn的平面区域的平面区域, 如图所示如图所示,符合要求的点符合要求的点 p 的个数为的个数为 10. 2不在不在 3x2y3 表示的平面区域内的点是表示的平面区域内的点是( ) a

19、(0,0) b(1,1) c(0,2) d(2,0) 解析：解析：选选 a 将将(0,0)代入代入,此时不等式此时不等式 3x2y3 不成立不成立,故故(0,0)不在不在 3x2y3 表示的表示的平面区域内平面区域内,将将(1,1)代代入入,此时不等式此时不等式 3x2y3成立成立,故故(1,1)在在 3x2y3表示的平面区域内表示的平面区域内,将将(0,2)代入代入,此时不等式此时不等式 3x2y3 成立成立,故故(0,2)在在 3x2y3 表示的平面区域内表示的平面区域内,将将(2,0)代入代入,此时不等式此时不等式 3x2y3 成立成立,故故(2,0)在在 3x2y3 表示的平面区域内表

20、示的平面区域内,故选故选 a. 3不等式组不等式组 2xy20，x3y30表示的平面区域为表示的平面区域为( ) 解析：解析： 选选 c 取满足不取满足不等式组的一个点等式组的一个点(2,0),由图易知此点在选项由图易知此点在选项 c 表示的阴影中表示的阴影中,故选故选c. 4已知点已知点 m(2,1),直线直线 l：x2y30,则则( ) a点点 m 与原点在直线与原点在直线 l 的同侧的同侧 b点点 m 与原点在直线与原点在直线 l 的异侧的异侧 c点点 m 与原点在直线与原点在直线 l 上上 d无法判断点无法判断点 m 及原点与直线及原点与直线 l 的位置关系的位置关系 解析：解析：选选

21、 b 因为因为 22(1)310,020330,所以点所以点 m 与原点在直线与原点在直线 l的异侧的异侧,故选故选 b. 5 若不等式组 若不等式组 x0，y0，yx2表示的平面区域为表示的平面区域为,则当则当 a 从从2 连续变化到连续变化到 1 时时,动直线动直线 xya0 扫过扫过中的那部分区域的面积为中的那部分区域的面积为( ) a.72 b.73 c.74 d.12 解析：解析：选选 c 如图所示如图所示,为为boe 所表示的区域所表示的区域,而动直线而动直线 xya扫 过扫 过 中 的 那 部 分 区 域 为 四 边 形中 的 那 部 分 区 域 为 四 边 形bocd, 而而b

22、( 2,0),o(0,0),c(0,1),d 12，32,e(0,2),cde 为直角三角形为直角三角形 s四边形四边形bocd12221211274. 6直线直线 2xy100 与不等式组与不等式组 xy2，4x3y20，x0，y0表示的平面区域的公共点有表示的平面区域的公共点有_个个 解析：解析：画出不等式组画出不等式组 xy2，4x3y20，x0，y0表示的平面区域表示的平面区域,如图中阴如图中阴影部分所示因为直影部分所示因为直线线 2xy100 过点过点 a(5,0),且其斜率为且其斜率为2,小于直线小于直线 4x3y20 的斜率的斜率43,故只有一个公故只有一个公共点共点(5,0)

23、答案：答案：1 7 平面直角坐标系中 平面直角坐标系中,不等式组不等式组 2x2y10，3x3y40，x2表示的平面区域的形状是表示的平面区域的形状是_ 解析：解析：画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示,由图易知平面区域为等腰直由图易知平面区域为等腰直角三角形角三角形 答案：答案：等腰直角三角形等腰直角三角形 8若不等式组若不等式组 xy50，ya，0 x2表示的平面区域是一个三角形表示的平面区域是一个三角形,则则 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析： 不等式组表示的平面区域如图所示不等式组表示的平面区域如图所示,当当 ya 过过

24、a(0,5)时表示时表示的平面区域为三角形的平面区域为三角形,即即abc,当当 5a7 时时,表示的平面区域为三角表示的平面区域为三角形形,综上综上,当当 5a7 时时,表示的平面区域为三角形表示的平面区域为三角形 答案：答案：5,7) 9已知点已知点 p(1,2)及其关于原点的对称点均不在不等式及其关于原点的对称点均不在不等式 kx2y10，xy10. (1)画出满足不等式组画出满足不等式组 的平面区域；的平面区域； (2)求满足不等式组求满足不等式组 的平面区域的面积的平面区域的面积 解：解：(1)满足不等式组满足不等式组 的平面区域如图中阴影部分所示的平面区域如图中阴影部分所示 (2)解

25、方程组解方程组 2x3y60，x2y20， 得得 a 67，107, 解方程组解方程组 2x3y60，xy10， 得得 d 95，45, 所以满足不等式组所以满足不等式组 的平面区域的面积为的平面区域的面积为 s四边形四边形abcdsaefsbcfsdce12(23)10712(12)112(31)458970. 层级二层级二 应试能力达标应试能力达标 1如图阴影部分用二元一次不等式组表示为如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( ) a. 2xy0 xy3y1 b. 2xy0 xy3y1 c. 2xy0 xy3y1 d. 2xy0 xy3y1 解析：解析：选选 b 由图易知平面区域在直线由图易

26、知平面区域在直线 2xy0 的右下方的右下方,在直线在直线 xy3 的左下方的左下方,在直线在直线 y1 的上方的上方,故选故选 b. 2原点和点原点和点(1,1)在直线在直线 xya0 的两侧的两侧,则则 a 的取值范围是的取值范围是( ) a(,0)(2,) b0,2 c(0,2) d0,2 解析：解析：选选 c 因为原点和点因为原点和点(1,1)在直线在直线 xya0 的两侧的两侧,所以所以a(2a)0,即即 a(a2)0,解得解得 0a2. 3 由直线 由直线 xy10,xy50 和和 x10 所围成的三角形区域所围成的三角形区域(包括边界包括边界)用不等式用不等式组可表示为组可表示为

27、( ) a. xy10 xy50 x1 b. xy10 xy50 x1 c. xy10 xy50 x1 d. xy10 xy50 x1 解析：解析：选选 a 由题意由题意,得所围成的三角形区域在直线得所围成的三角形区域在直线 xy10 的左上方的左上方,直线直线 xy50 的左下方的左下方,及直线及直线 x10 的右侧的右侧,所以所求不等式组为所以所求不等式组为 xy10，xy50，x10. 4完成一项装修工程完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为木工和瓦工的比例为 23,请木工需付工资每人请木工需付工资每人 50 元元,请瓦工需请瓦工需付工资每人付工资每人 40元元,现有工资预算现有工资预算

28、2 000元元,设木工设木工 x人人,瓦工瓦工 y人人,请工人数的限制条请工人数的限制条件是件是( ) a. 2x3y5x，yn* b. 50 x40y2 000 xy23 c. 5x4y200 xy23x，yn* d. 5x6y0，xm0表示的平面区域内存在点表示的平面区域内存在点 p(x0,y0)满足满足 x02y02,则实数则实数 m 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图得点由图得点 c 的坐标为的坐标为(m,m),把把直线直线 x2y2 转化为斜截式转化为斜截式 y12x1,要使平面区域内存在点要

29、使平面区域内存在点 p(x0,y0)满足满足 x02y02,则点则点c 在直线在直线 x2y2 的右下方的右下方,因此因此m23,故故 m 的取值范围是的取值范围是 23， . 答案：答案： 23， 7 已知点 已知点 m(a,b)在由不等式组在由不等式组 x0，y0，xy2表示的平面区域内表示的平面区域内,求求 n(ab,ab)所在的平所在的平面区域的面积面区域的面积 解：解：由题意由题意,得得 a,b 满足不等式组满足不等式组 a0，b0，ab2， 设设 nab,mab,则则 anm2,bmn2, 于是有于是有 nm20，mn20，m2，即即 nm0，mn0，m2，这个不等式组表示的平面区

30、域为如图所示的这个不等式组表示的平面区域为如图所示的oab 内部内部(含边界含边界),其面积为其面积为12(22)24,即点即点 n(ab,ab)所在的平面区域的面积为所在的平面区域的面积为4. 8已知点已知点 p 在在|x|y|1 表示的平面区域内表示的平面区域内,点点 q 在在 |x2|1，|y2|1表示的平面区域内表示的平面区域内 (1)画出点画出点 p 和点和点 q 所在的平面区域；所在的平面区域； (2)求求 p 与与 q 之间的最大距离和最小距离之间的最大距离和最小距离 解：解：(1)不等式不等式|x|y|1 等价于等价于 xy1，x0，y0，xy1，x0，y0，xy1，x0，y0

31、，xy1，x0，y0， 不等式组不等式组 |x2|1，|y2|1等价于等价于 1x3，1y3， 由此可作出点由此可作出点 p和点和点 q所在的平面区域所在的平面区域,分别为如图所示的四边形分别为如图所示的四边形 abcd内部内部(含边界含边界),四边形四边形 efgh 内部内部(含边界含边界) (2)由图易知由图易知 |ag|(或或 |bg|)为所为所求的最大值求的最大值 ,|er|为所求的最小值为所求的最小值 ,易求得易求得 |ag| 13 2 03 242325,|er|12|oe|22. 33.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 (1)约束条件约束条件,目标函数目标函数,可行解可行

32、解,线性规划问题是如何定义的？线性规划问题是如何定义的？ (2)如何求解线性目标函数的最值问题？如何求解线性目标函数的最值问题？ 新知初探新知初探 线性规划的有关概念线性规划的有关概念 名称名称 意义意义 约束条件约束条件 变量变量 x,y 满足的一组条件满足的一组条件 线性约束条件线性约束条件 由由 x,y 的的二元一次二元一次不等式不等式(或方程或方程)组成的不等式组组成的不等式组 目标函数目标函数 欲求欲求最大值最大值或或最小值最小值所涉及的变量所涉及的变量 x,y的解析式的解析式 线性目标函数线性目标函数 关于关于 x,y 的二元一次解析式的二元一次解析式 可行解可行解 满足满足线性约

33、束条件线性约束条件的解的解(x,y) 可行域可行域 所有所有可行解可行解组成的集合组成的集合 最优解最优解 使目标函数取得使目标函数取得最大值最大值或或最小值最小值的可行解的可行解 线性规划问题线性规划问题 在线性约束条件下在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题求线性目标函数的最大值或最小值问题 点睛点睛 (1)线性约束条件包括两点：一是变量线性约束条件包括两点：一是变量 x,y 的不等式的不等式(或等式或等式),二是次数为二是次数为 1. (2)目标目标函数与线性目标函数的概念不同函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量线性目标函数在变量 x,y 的次数上作了严格的的次

34、数上作了严格的限定：一次解析式限定：一次解析式,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数 (3)可行解必须使约束条件成立可行解必须使约束条件成立,而可行域是所有的可行解组成的一个集合而可行域是所有的可行解组成的一个集合 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”“”) 预习课本预习课本 p8791,思考并完成以下问题思考并完成以下问题 (1)可行域是一个封闭的区域可行域是一个封闭的区域( ) (2)在线性约束条件下在线性约束条件下,最优解是唯一的最优解是唯一的( ) (3)最优解一定是

35、可行解最优解一定是可行解,但可行解不一定是最优解但可行解不一定是最优解( ) (4)线性规划问题一定存在最优解线性规划问题一定存在最优解( ) 解析：解析：(1)错误可行域是约束条件表示的平面区域错误可行域是约束条件表示的平面区域,不一定是封闭的不一定是封闭的 (2)错误在线性约束条件下错误在线性约束条件下,最优解可能有一个或多个最优解可能有一个或多个,也可能有无数个也可能有无数个,也可能无最优也可能无最优解解,故该说法错误故该说法错误 (3)正确 满足线性约束条件的解称为可行解正确 满足线性约束条件的解称为可行解,但不一定是最优解但不一定是最优解,只有使目标函数取得最只有使目标函数取得最大值

36、或最小值的可行解大值或最小值的可行解,才是最优解才是最优解,所以最优解一定是可行解所以最优解一定是可行解 (4)错误 线性规划问题不一定存在可行解错误 线性规划问题不一定存在可行解,存在可行解也不一定存在最优解存在可行解也不一定存在最优解,故该说法是故该说法是错误的错误的 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2已知变量已知变量 x,y满足约束条件满足约束条件 xy1，xy1，x10，则则 zx2y的最小值为的最小值为( ) a3 b1 c5 d6 解析：解析：选选 c 由约束条件作出可行域如图：由约束条件作出可行域如图： 由由 zx2y 得得 y12xz2,z2的几何意义为直线在的几何

37、意义为直线在 y 轴上的截距轴上的截距,当当直线直线 y12xz2过直线过直线 x1 和和 xy1 的交点的交点 a(1,2)时时,z 最小最小,最小值为最小值为5,故选故选 c. 3已知实数已知实数 x,y 满足满足 y2，y|x1|，若可行域内存在点使得若可行域内存在点使得 x2ya0 成立成立,则则 a 的最的最大值为大值为( ) a1 b1 c4 d5 解析：解析：选选 d 作出不等式对应的可行域如图所示作出不等式对应的可行域如图所示,由由 x2ya0可得可得 y12xa2,平移直线平移直线 y12xa2, 当直线当直线 y12xa2经过点经过点 a 时时,直线直线 y12xa2的截距

38、最大的截距最大,此时此时 a最大最大,由由 y2，yx1，解得解得 x1，y2，故故 a(1,2),此时此时 a 的最大值是的最大值是 ax2y1225. 4已知实数已知实数 x,y满足条件满足条件 xy30，xy30，y2，则则xxy的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由约束条件由约束条件 xy30，xy30，y2， 作出可行域如图所示作出可行域如图所示 ,所以所以yx即是可行域内的点与原点连线的斜率即是可行域内的点与原点连线的斜率,故可得故可得yx0,2,所以所以xxy11yx 13，1 . 答案：答案： 13，1 求线性目标函数的最大求线性目标函数的最大(小小)值值 典例典例 设设

39、z2xy,变量变量 x,y满足条件满足条件 x4y3，3x5y25，x1，求求 z 的最大值和最小值的最大值和最小值 解解 作出不等式组表示的平面区域作出不等式组表示的平面区域,即可行域即可行域,如图所如图所示把示把 z2xy 变形为变形为 y2xz,则得到斜率为则得到斜率为2,在在 y 轴轴上的截距为上的截距为 z,且随且随 z 变化的一组平行直线由图可以看出变化的一组平行直线由图可以看出,当当直线直线 z2xy 经过可行域上的点经过可行域上的点 a 时时,截距截距 z 最大最大,经过点经过点 b时时,截距截距 z 最小最小 解方程组解方程组 x4y30，3x5y250，得得 a 点坐标为点

40、坐标为(5,2), 解方程组解方程组 x1，x4y30，得得 b 点坐标为点坐标为(1,1), z最大值最大值25212,z最小值最小值2113. 解线性规划问题的基本步骤解线性规划问题的基本步骤 (1)画：画出线性约束条件所表示的画：画出线性约束条件所表示的可行域可行域 (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中移：在线性目标函数所表示的一组平行线中,用平移的方法找出与可行域有公共点且用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线纵截距最大或最小的直线 (3)求：通过解方程组求出最优解求：通过解方程组求出最优解 (4)答：根据所求得的最优解得出答案答：根据所求得的最优解得出答案

41、活学活用活学活用 1若实数若实数 x,y满足不等式组满足不等式组 x20，y10，x2ya0，目标函数目标函数 tx2y 的最大值为的最大值为 2,则实数则实数a 的值是的值是( ) a0 b1 c2 d3 解析：解析：选选 c 作出满足条件的可行域作出满足条件的可行域(如图如图),由目标函数由目标函数 tx2y,得直线得直线 y12x12t 在点在点 2，a22处取得最大值处取得最大值,即即 tmax22a224a2,得得 a2,故选故选 c. 2已知实数已知实数 x,y 满足约束条件满足约束条件 2xy2，xy1，xy1，若目标函数若目标函数 z2xay 仅在点仅在点(3,4)取得取得最小

42、值最小值,则则 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：作出不等式对应的平面区域如图所示作出不等式对应的平面区域如图所示, 若若 a0,则目标函数为则目标函数为 z2x,即此时函数在即此时函数在 a(3,4)时取得最大值时取得最大值,不满足条件不满足条件 当当 a0,由由 z2xay 得得 y2axza,若若 a0,目标函数斜率目标函数斜率2a0, 此时平移此时平移 y2axza,得得 y2axza在点在点 a(3,4)处处的截距最大的截距最大,此时此时z取得最大值取得最大值,不满足不满足条件条件 若若 a0,目标函数斜率目标函数斜率2a0,要使目标函数要使目标函数 y2axza仅在点仅在

43、点 a(3,4)处取得最小值处取得最小值,则则2akab1 , a47,所以所以,由图可知直线过点由图可知直线过点 a 0，507时时,z 取得最大值 又取得最大值 又 x,yn,所以点所以点 a 不不是最优解 点是最优解 点(0,7),(2,6),(9,2)都在可行域内都在可行域内,逐一验证可得逐一验证可得,当当 x2,y6 时时,z取得最大值取得最大值,故选故选 d. 层级一层级一 学业水平达标学业水平达标 1设变量设变量 x,y 满足约束条件满足约束条件 x20，xy30，2xy30，则目标函数则目标函数 zx6y 的最大值为的最大值为( ) a3 b4 c18 d40 解析：解析：选选

44、 c 由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 作直线作直线 x6y0 并向右上平移并向右上平移,由图可知由图可知,过点过点 a(0,3)时时 zx6y 取得最大值取得最大值,最大值为最大值为18. 2某服装制造商有某服装制造商有 10 m2的棉布料的棉布料,10 m2的羊毛料和的羊毛料和 6 m2的丝绸料的丝绸料,做一条裤子需要做一条裤子需要 1 m2的棉布料的棉布料,2 m2的羊毛料和的羊毛料和1 m2的丝绸料的丝绸料,做一条裙子需要做一条裙子需要1 m2的棉布料的棉布料,1 m2的羊毛料和的羊毛料和1 m2的丝绸料的丝绸料,做一条裤

45、子的纯收益是做一条裤子的纯收益是20元元,一条裙子的纯收益是一条裙子的纯收益是40元元,为了使收益达到最大为了使收益达到最大,若生产裤子若生产裤子 x 条条,裙子裙子 y 条条,利润为利润为 z,则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为为( ) a. xy10，2xy10，xy6，x，ynz20 x40y b. xy10，2xy10，xy6，x，ynz20 x40y c. xy10，2xy10，xy6z20 x40y d. xy10，2xy10，xy6，x，ynz40 x20y 解析：解析：选选 a 由题意知由题意知 a 正确正确 3已

46、知变量已知变量 x,y满足约束条件满足约束条件 xy20，x1，xy70，则则yx的取值范围是的取值范围是( ) a. 95，6 b. ，956,) c(,36,) d(3,6 解析：解析：选选 a 作出可行域作出可行域,如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示,yx可理解为可行域可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率中一点与原点的连线的斜率,又又 b 52，92,a(1,6),故故yx的取值范围是的取值范围是 95，6 . 4某学校用某学校用 800 元购买元购买 a,b 两种教学用品两种教学用品,a 种用品每件种用品每件 100 元元,b 种用品每件种用品每件 160 元元,两种用品至少各买一

47、件两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少要使剩下的钱最少,a,b 两种用品应各买的件数为两种用品应各买的件数为( ) a2,4 b3,3 c4,2 d不确定不确定 解 析 ：解 析 ： 选选 b 设 买设 买 a 种 用 品种 用 品 x 件件 ,b 种 用 品种 用 品 y 件件 ,剩 下 的 钱 为剩 下 的 钱 为 z 元元 ,则则 100 x160y800，x1，y1，x，yn*. 求求 z800100 x160y 取得最小值时的整数解取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为用图解法求得整数解为(3,3) 5已知已知 x1，xy10，2xy20，若若 zaxy的最小值是的最

48、小值是 2,则则 a 的值为的值为( ) a1 b2 c3 d4 解析：解析：选选 b 作出可行域作出可行域,如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示,又又 zaxy 的最的最小值为小值为 2,若若 a2,则则(1,0)为最优解为最优解,所以所以 a2；若；若 a2,则则(3,4)为最为最优解优解,解得解得 a23,舍去舍去,故故 a2. 6若点若点 p(m,n)在由不等式组在由不等式组 xy70，x2y50，2xy10，所确定的区域内所确定的区域内,则则 nm 的最大值为的最大值为_ 解析：解析： 作出可行域作出可行域,如图中的阴影部分所示如图中的阴影部分所示,可行域的顶点坐标分别为可行域的顶点

49、坐标分别为 a(1,3),b(2,5),c(3,4),设目标函数为设目标函数为 zyx,则则 yxz,其纵截距为其纵截距为 z,由图易知点由图易知点 p 的坐标为的坐标为(2,5)时时,nm 的最大的最大值为值为 3. 答案：答案：3 7已知已知 x,y 满足约束条件满足约束条件 x1，xy10，2xy20，则则 x2y2的最小值是的最小值是_ 解析：解析：画出满足条件的可行域画出满足条件的可行域(如图如图),根据根据x2y2表示可行域内一表示可行域内一点到原点的距离点到原点的距离,可知可知 x2y2的最小值是的最小值是|ao|2. 由由 x1，xy10， 得得 a(1,2),所以所以|ao|

50、25. 答案：答案：5 8铁矿石铁矿石 a 和和 b 的含铁率的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的冶炼每万吨铁矿石的 co2的排放量的排放量 b 及每万吨铁矿石的及每万吨铁矿石的价格价格 c 如下表：如下表： a b(万吨万吨) c(百万元百万元) a 50% 1 3 b 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨万吨)铁铁,若要求若要求 co2的排放量不超过的排放量不超过 2(万吨万吨),则购买铁矿石的则购买铁矿石的最少费用为最少费用为_(百万元百万元) 解析：解析： 设购买铁矿石设购买铁矿石a,b分别为分别为x,y万吨万吨,购买铁矿石的费用为购买铁矿石的费用为z(百

51、百万元万元), 则则 0.5x0.7y1.9，x0.5y2，x0，y0. 目标函数目标函数 z3x6y. 由由 0.5x0.7y1.9，x0.5y2，得得 x1，y2.记记 p(1,2), 画出可行域画出可行域,如图所示当目标函数如图所示当目标函数 z3x6y 过点过点 p(1,2)时时,z 取到最小值取到最小值,且最小值为且最小值为zmin316215. 答案：答案：15 9若若 x,y 满足约束条件满足约束条件 xy1，xy1，2xy2. (1)求目标函数求目标函数 z12xy12的最值；的最值； (2)若目标函数若目标函数 zax2y 仅在点仅在点(1,0)处取得最小值处取得最小值,求求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)作出可行域如图作出可行域如图,可求得可求得 a(3,4),b(0,