工程数学48复习大纲

1、考试大纲要求：考试大纲要求：重点习题：重点习题：求复数的实部、虚部、共轭复数、辐角主值和模.3(1)2ii3(3)(2)125iiiii (1)re1,z im1,z 1,zi 2,z arg.4z考试大纲要求：考试大纲要求：重点习题：重点习题：ze ,lnz,sinz,cosz解解: :ivucxyxiybxayzf)()()(2323故故2323,cxyxvybxayu,2bxyxu,2cxyyv,322cyxxv,322bxayyu设设)(2323cxyxiybxay为解析函数，求为解析函数，求cba,的值的值. .设设由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu,即即,22c

2、bcxybxy故故. 3, 3, 1cba,2bxyxu,2cxyyv,322cyxxv,322bxayyuacbbxaycyx3, 3332222求下列对数，并写出它们的主值.(1)(1)ln2;(2)ln( 1);(3)ln ; i(4)ln(34 ).iln2ln22,0, 1, 2,k i k ln2ln2(2)ln( 1)ln12,0, 1, 2,ik i k ln( 1)i(3)lnln2,0, 1, 2,2iiik i k ln2ii考试大纲要求：考试大纲要求：重点习题：重点习题：例例3. . 解解: re d , cz z(1) 积分路径的参数方程为( )(01),z ttit

3、t re, d(1)d ,ztzit于是re dcz z10(1)dtit1(1);2i计算其中c为:(1) 从原点到点1+i的直线段;(2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;i1y=xoyx1i1y=x(2) 积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为( )(01),z ttt 1到1+i直线段的参数方程为( )1(01),z titt re, dd ,ztzt于是 re1, dd ,zzi t于是re dcz z10d t t101 d i t1.2ioyx1解：解：11d .23z zz123 z 由柯西定理由柯西定理, 有有11d0.23zzz1 z 计算积分计算

4、积分因为函数因为函数在在内解析，内解析，221,czdzzz解解:计算oyx0,1zz的正向简单闭曲线.包含圆周1z 1c1c2c为奇点.在c内作互不相交，互不包含的12,c c1c只包含0,z 1,z 2c只包含其中 c 为圆周由复合闭路定理，得221czdzzz12222121cczzdzdzzzzz.10,d)1 (3的光滑闭曲线与是不经过其中计算czzzecz解解: 分以下四种情况讨论：则也不包含既不包含若封闭曲线, 10) 1c,)1 ()(3内解析在czzezfz. 0d)1 (3czzzze由柯西定理得3.2 会求收敛半径及和函数考试大纲要求：考试大纲要求：重点习题：重点习题：3

5、 会求函数的洛朗展开式解解:1.11) 1(1的敛散性判别级数nnni如收敛，指出.敛是绝对收敛还是条件收因为1) 1(1) 1(11122ninnni所以incncos 因为因为n+1-n-12n+1-1n+1-n-12n+1-1c ce+ee+ee+ee+en+1n+1所所以以 lim=lim=lim lim=lim=limn-n2nn-n2nc cn n n n n n e +ee+1e +ee+1n n故收敛半径故收敛半径.1er 0)(cosnnzin2求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径: :解：解：),(21nneench, e 解：解：)4sin4(cos21 ii因为因为n

6、nic)1( 所以所以nnncc1lim .2221 r3 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie ;)2(4inne nnn)2()2(lim1 . 2 121111) 1(1) 1(11) 1(ininnnni1) 1(1) 1(21niin.1) 1(1) 1(121是交错级数，条件收敛innn.1) 1(1) 1(21绝对收敛nin.11) 1(11收敛，条件收敛故inni4. 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数. .解解: :12limlim 1 nnccnnnn因为因为. 1 r所以所以利用逐项积分利用逐项积分, ,得得: : 00

7、00d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z解解:.圆内的和函数试求给定幂级数在收敛;) 1() 1 (11nnnnz.) 1()2(1nnnzn11111) 1() 1() 1 (nnnnnnnzznz. 1,) 1()(11rzzfnnn易知其收敛半径令1,) 1()(111znzzfnnn因为6 6. : )2)(1(1)( 在圆环域函数zzzf; 10) 1 z;21)2 z.2) 3 z内是处处解析的, 试把 f (z) 在这些区域内展开成解解: :,)2(1)1 (1)(zzzf洛朗级数.7 7

8、.21 1-1 ( -1)(2)zzz将函数在内展开成洛朗解解: : .级数2nn=0111f(z)= =-()( -1)(2)( -1)211111=-() =-()1( -1) z-1-1( -1) ( -1)1-( -1)111=-()( -1) ( -1)( -1)zzzzzzzzzzzn+1n+2n=0n=0n+3n=01111=-() =-(-(n+1)( -1)( -1)( -1)( -1)1=(n+1)( -1)zzzzz2 会求留数考试大纲要求：考试大纲要求：重点习题：重点习题：3 会利用留数求积分4zsinzf(z)=z0z 4-sin( )zzf zz3541z-()3!

9、5!zzzz1 1-3!z 5!z0z dzzzziz22|) 1(252) 1(25lim0),(re20zzzzzfsz) 1(25) 1(lim 1),(re220zzzzzfsz22lim20zz)1),(re0),(re2zfszfsii0)2(2zi计算积分.,tanznzdzinz.21cossintan为一级极点以kzzzzk,tanreskzz21)(cossinkzzz1,tanreskzzi2ink2122ni.4nidzzzziz3422154|)2() 1(342215)2() 1()(zzzzfzzzzzf)21 ()1 (11)1(422210 ,1)1(res)

10、,(res2zzfzfii2计算积分czdz14. 2:zc其中，外部只有孤立奇点在211)(4zzzf),(res2zficzdz14所以0 ,1)1(res22zzfi242res,01ziz. 01.1.计算计算 型积分型积分. .dr20)sin,(cos11cos,sin,22zzzzdzdiiz1120| | 1(cos ,sin ),22zzzzzdzrdriizize当 经历变程 时,z沿圆周|z|=1的正方向绕2 , 0方法方法令令行一周.因此有2015cosdt用复数的方法计算积分 1| | 12| | 1z=e1i=5222252 61012106izzdzzzizidz

11、iizzzz 令则有解用复数的方法计算积分 2 掌握方向导数的计算方法考试大纲要求：考试大纲要求：重点习题：重点习题：3 掌握通量的计算方法4 会求旋度及势函数1.323( )(2)3(2) ,a ttt it jttk解：解：已知计算11)lim( )ta t2)( )da tdt3)( )a t dt104)( )a t dt11)lim( )ta t323111lim(2)lim3lim(2) ,ttttt it jttk33 ,ijk2)( )da tdt323(2)3(2) ,dddtt it jttkdtdtdt22(23 )6(23 ) ,tit jtk3)( )a t dt32

12、3(2)3(2),ttdtit dtjttdtk2432411()()44ttit jttkc104)( )a t dt102432411()() 44ttit jttk3544ijk2：已知数量场uxy求场中与直线240 xy相切的等值线方程。解：数量场的等值线为xyc设与直线240 xy在点00(,)xy相切 从而有00002024012x ycxycx解之得002,1,2xyc数量场的等值线为2xy 解：解：矢量线所满足的微分方程为 ydzzdyyzdx2)(ydzzdy122czy由得又由合比定理 yzzydyzdx)()(23求矢量场2()azyizjyk的矢量线方程.(1,2,1)

13、过点)()(zydzydx22)(2czyx22122)(2czyxczy可得有(1,2,1)将点 代入得123cc所以所求矢量线方程为：22232()3yzxyz朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用矢量形式表示为它在点 p 的切向量为,171cos1760 xoy2prxiy j1716xy174)23(2yx)3,2(4ij174cos1在点p(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy求函数mmuusl(2)pprix j2(1)xixj5 解解:设由矢径rx iy jz k构成的矢量场中， 有一由圆锥面222xyz及平面(0)zhh所围成的封闭曲面s, 试求 从s内r穿出s的通

14、量.zoyxhrdsrs 3d ddxyz3hddd dd dsxyzyxzzxy由奥-高公式6求矢量场axiy jzk从内穿出闭球面的通量。2222azyx解ddiv dsa sa v 3343d =3a =4 a3v7.解解: 求矢量场kxzxyzjyzyiyzxa)3()()23(2232所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 m (2,-1,1)的梯度。 adivzryqxp x6 223zy xzxy6 令audiv grad u kxzjxyizy)62()6()66(zukyujxui grad 414muijk 8 解解:3232223axyz ix z jx yz k证明矢量

15、场为保守场，并计算曲线积分,la dl其中l 是从 a(1,4,1) 到 b(2,3,1)32322rot23ijkzaxyzxyzx zx yz0a为保守场.故2223000003xyzudxdyx yz dzx yz000(,)(0,0,0),xyz取于是la dl22(2,3,1)(1,4,1)1248bax yz的任一路径.22(66)xyzxyzj2222(33)x zx zi33(22)xzxzk2222 z2yz(+2y z-1)ax ijxk证明矢量场为保守场，并计算曲线积分,la dl其中l 是从 a(3,0,1) 到 b(2,1,1)的任一路径.10. 解解:是有势场，并求

16、其势函数 v.kyzxjyzxixyza22222cos2证明矢量场由 的雅可比矩阵a得2222rot(22)(44)(22)axzxzixyzxyz jxzxzk0a为有势场,故2222222242sin2422yzxzxyzd axzyx zxyzx zx y那么存在函数u使得grad ,au000(,)(0,0,0),xyz取20000cos2xyzudxydyx yzdz22sin yx yz于是得势函数22sinvuyx yz 势函数的全体为22sinvyx yzc (t),u(t),12 常见函数的laplace变换，及性质考试大纲要求：考试大纲要求：重点习题：重点习题：3 会求l

17、aplace逆变换，留数法，分部分式法，卷积法4 会用laplace变换解微分方程.laplace11ln)(逆变换的求函数sssf)()(1ttfsf解解: :)(1)(11sftsf111111sst)(1tteetttsinh2解解: :.laplace3sin)(0变换的求函数tttdttetf积分积分性质性质 )(1)(0sfsdttft3sin0tttdtte3sin1ttest3sin1tedsdst3sin11stdsds223) 1(31sdsds) 1)(re(3) 1() 1(6222ssss解解: :30( )sin2laplace.ttf ttetdt求函数的变换积分

18、积分性质性质 )(1)(0sfsdttft30sin2ttetdtl31sin2 tetsl212(3)4s s22s(3)4ddss 2222624s+26(re( )3)(3)4ssss 30sin2tttetdtl30d= -sin2dsttetdtl)()(1ttfsf解解: :22slaplace.(1)s 求函数的逆变换11222111( )-2 (1)21sf tltlsssin2tt)()(1ttfsf22slaplace.(1)s 利用卷积求函数的逆变换解解: :11221s ( )11lf slss11221sl *l 11sssin *costt0sin cos()ttd

19、01sinsin(2)2ttt dsin2tt解解: :.laplace)134(1)(22逆变换的求函数sssf22)134(1)(sssf2223)2(1s22223)2(33)2(391sstest3sin3)2(32221而)3sin(*)3sin(91)(22tetetftt所以)3sin(*)3sin(91)(22tetetftt22()01sin3sin3()9tteetdttdte02)(3sin3sin91ttdtte023cos)36cos(2191)3cos33(sin5412tttet222( )laplace.(413)sf sss求函数的逆变换解解: :222( )

20、(413)sf sss22 22(2)3 ss222213(2)39 (2)3(2)3sss12223(2)cos3(2)3tslets而)3sin(*)3sin(91)(22tetetftt所以解解: :，为正整数已知函数),()(,)(21nmttfttfnm)()()(*)(2121tftftftf12( )*( )f tf t求nmtt11!nmsnsm(11)! !m nm ns 所以所以 !)(*)(1)1(121nmsnmtftf.)!1(!1nmtnmnm解解: :.laplace1)(2逆变换的求函数sssf.,)(均为一级极点的奇点为jsf,)(resjesfstjsstsse ) 1(2jtjsstesse212jtstejesf21,)(res)