高中数学新人教版必修2教案：第2章2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质1理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理(重点)2能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题(重点、难点)3理解“平行”与“垂直”之间的相互转化(易错点)基础·初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理阅读教材p70的内容,完成下列问题文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言判断(正确的打“”,错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行()(3)一条直线在平面内,另一条直

2、线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直()【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确【答案】(1)(2)(3)教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材p71“思考”以下至p72“例4”以上的内容,完成下列问题文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言在长方体abcd­a1b1c1d1的棱ab上任取一点e,作efa1b1于f,则ef与平面a1b1c1d1的关系是()a平行bef平面a1b1c1d1c相交但不垂直d相交且垂直d在长方体abcd­a1b1c1d1中,平面a1abb1平面a1b1c1d1且平面a1abb

3、1平面a1b1c1d1a1b1,又ef面a1abb1,efa1b1,ef平面a1b1c1d1,答案d正确小组合作型线面垂直性质定理的应用如图2­3­31所示,在正方体abcd­a1b1c1d1中,m是ab上一点,n是a1c的中点,mn平面a1dc.图2­3­31求证：(1)mnad1；(2)m是ab的中点【精彩点拨】(1)要证线线平行,则先证线面垂直,即证ad1平面a1dc.(2)可证onam,onab.【自主解答】(1)add1a1为正方形,ad1a1d.又cd平面add1a1.cdad1.a1dcdd,ad1平面a1dc.又mn平面a1dc

4、,mnad1.(2)连接on,在a1dc中,a1ood,a1nnc.on綊dc綊ab,onam.又mnoa,四边形amno为平行四边形,onam.onab,amab,m是ab的中点1直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们2当题中垂直条件很多,但又需证平行关系时,就要考虑垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化再练一题1如图2­3­32,已知平面平面l,ea,垂足为a,eb,垂足为b,直线a,aab.求证：al.图2­3­32【证明】因为ea,l,即l,所以lea.同理leb

5、.又eaebe,所以l平面eab.因为eb,a,所以eba,又aab,ebabb,所以a平面eab.由线面垂直的性质定理,得al.面面垂直性质定理的应用如图2­3­33所示,p是四边形abcd所在平面外的一点,四边形abcd是边长为a的菱形且dab60°,侧面pad为正三角形,其所在平面垂直于底面abcd.图2­3­33(1)若g为ad的中点,求证：bg平面pad；(2)求证：adpb.【精彩点拨】(1)(2)要证adpb,只需证ad平面pbg即可【自主解答】(1)如图,在菱形abcd中,连接bd,由已知dab60°,abd为正三角形

6、,g是ad的中点,bgad.平面pad平面abcd,且平面pad平面abcdad,bg平面pad.(2)如图,连接pg.pad是正三角形,g是ad的中点,pgad,由(1)知bgad.又pgbgg.ad平面pbg.而pb平面pbg.adpb.1证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab,a,则b(a、b为直线,为平面)；(4)若a,则a(a为直线,为平面)2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线再练一题2如图2­3­34,四棱锥v­abcd的底面是矩形,

7、侧面vab底面abcd,又vb平面vad.求证：平面vbc平面vac.图2­3­34【证明】平面vab底面abcd,且bcab.bc平面vab,bcva,又vb平面vad,vbva,又vbbcb,va平面vbc,va平面vac.平面vbc平面vac.探究共研型垂直关系的综合应用探究1如图2­3­35,a,b,c,d为空间四点在abc中,ab2,acbc,等边adb以ab为轴转动当平面adb平面abc时,能否求cd的长度？图2­3­35【提示】取ab的中点e,连接de,ce,因为adb是等边三角形,所以deab.当平面adb平面abc时

8、,因为平面adb平面abcab,所以de平面abc,可知dece,由已知可得de,ec1,在rtdec中,cd2.探究2在上述问题中,当adb转动时,是否总有abcd？证明你的结论【提示】当d在平面abc内时,因为acbc,adbd,所以c,d都在线段ab的垂直平分线上,即abcd.当d不在平面abc内时,由探究1知abde.又因acbc,所以abce.又de,ce为相交直线,所以ab平面cde,由cd 平面cde,得abcd.综上所述,总有abcd.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图2­3­36,在四棱锥p

9、3;abcd中,abcd,abad,cd2ab,平面pad底面abcd,paad,e和f分别是cd和pc的中点求证：(1)pa底面abcd；图2­3­36(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得pa底面abcd；(2)可证bead,从而得be平面pad；(3)利用面面垂直的判定定理【自主解答】(1)因为平面pad底面abcd,且paad,所以pa底面abcd.(2)因为abcd,cd2ab,e为cd的中点,所以abde,且abde.所以四边形abed为平行四边形所以bead.又因为be平面pad,ad平面pad,所以be平面pad

10、.(3)因为abad,而且abed为平行四边形,所以becd,adcd.由(1)知pa底面abcd,所以pacd.又adpaa,所以cd平面pad.所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点,所以pdef.所以cdef.又efbee,所以cd平面bef.又cd平面pcd,所以平面bef平面pcd.1证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理2利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线再练一题3如图2­

11、;3­37,在三棱锥p­abc中,e,f分别为ac,bc的中点(1)求证：ef平面pab；(2)若平面pac平面abc,且papc,abc90°.求证：平面pef平面pbc. 图2­3­37【证明】(1)e,f分别为ac,bc的中点,efab.又ef平面pab,ab平面pab,ef平面pab.(2)papc,e为ac的中点,peac.又平面pac平面abc,pe平面abc,pebc.又f为bc的中点,efab.abc90°,bcef.efpee,bc平面pef.又bc平面pbc,平面pbc平面pef.1下列命题中错误的是()a如果平面

12、平面,那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面,平面平面,l,那么l平面d如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】如果平面平面,那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面,其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直,故d项叙述是错误的【答案】d2已知长方体abcd­a1b1c1d1,在平面ab1上任取一点m,作meab于e,则()ame平面acbme平面accme平面acd以上都有可能【解析】由于me平面ab1,平面ab1平面acab,且平面ab1平面ac,meab,则me平面ac.【答案】a3如图2­3­38,adef的边af平面abcd,且af2,cd3,则ce_.图2­3­38【解析】因为af平面abcd,所以ed平面abcd,所以edc为直角三角形,ce.【答案】4如图2­3­39,空间四边形abcd中,平面abd平面bcd,bad90°,且abad,则ad与平面bcd所成的角是_. 图2­3­39【解析】过a作aobd于o点,平面abd平面bcd,ao平面bcd,则ado即为ad与平面bcd所成的角bad