人教a版必修5学案：1.2应用举例含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料1.2应用举例材拓展1常见的有关名词、术语名词、术语意义仰角与俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角如图1方位角一般是指北方向线顺时针到目标方向线的水平角如方位角60°是指北偏东60°坡角坡面与水平面的夹角坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比,即itan (i为坡比,为坡角),如图22测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在acd中用正弦定理求ac在bcd中用正弦定理求bc在abc中用余弦定理求ab

2、结论ababacbc；3.测量高度的基本类型及方案类别点b与点c、d共线点b与c、d不共线图形方法先用余弦定理求出ac或ad,再解直角三角形求出ab在bcd中先用正弦定理求出bc,在abc中a可知,再用正弦定理求出ab结论abaab4.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知与所求,理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型；(3)正确选择正、余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算的要求可用下图描述：法突破一、测量距离问题方法链接：测量平面距离时,往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边,再

3、运用正弦定理或余弦定理加以求解当涉及的三角形较多时,应寻求最优解法例1如图所示,某炮兵阵地位于a点,两观察所分别位于c,d两点已知acd为正三角形,且dc km,当目标出现在b时,测得cdb45°,bcd75°,求炮兵阵地与目标的距离是多少？(结果保留根号)分析要求ab的长,可转化为解abc或abd,不管在哪个三角形中,ab边所对的角acb或adb都是确定的,acadcd,所需要的是bc边(或bd边),所以需先求bc边(或bd边),可在bcd中,结合余弦定理求解解在bcd中,cdb45°,bcd75°,cbd180°bcdcdb60°

4、.由正弦定理,得bd()在abd中,adb45°60°105°,由余弦定理,得ab2ad2bd22ad·bdcos 105°3()22××()×()52.ab (km)炮兵阵地与目标的距离是 km.二、测量高度问题方法链接：1.与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题,解决这类问题的关键是勾画出平面图形,再分析有关三角形中哪些边与角已知,要求高度,需要知道哪些边与角,其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是立体问题,解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形2与测量高度有关的

5、问题多数会涉及到直角三角形中线段的计算,注意直角三角形中边角关系的运用3解决测量高度应用题易错的地方是：对有关术语没有正确理解,从而无法画出有关图形例2(1)如图所示,在山底测得山顶仰角cab45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至s点,又测得山顶仰角dsb75°,求山高bc；(2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高解(1)sabcabcas45°30°15°,sbaabcsbc45°15°30°,asb1

6、80°30°15°135°.在abs中,ab1 000(米)bcab·sin 45°1 000×1 000(米)答山高bc为1 000米(2)依题意画出图,某人在c处,ab为塔高,沿cd前进,cd40米,此时dbf45°,从c到d测塔的仰角,只有b到cd最短时,仰角才最大,这是因为tanaeb,ab为定值,要求出塔高ab,必须先求be,而要求be,须先求bd(或bc)在bdc中,cd40(米),bcd30°,dbc135°.由正弦定理得,bd20(米)在rtbed中,bde180°13

7、5°30°15°.bedbsin 15°20×10(1) (米)在rtabe中,aeb30°,abbetan 30°(3)(米)故所求的塔高为(3)米三、测量角度问题方法链接：对于有些与角度有关的实际问题,我们无法直接测量其角度,则需要在实际问题中构造相关三角形,通过解三角形,求出相关角度例3一缉私艇发现在北偏东45°方向且距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜缉私艇的速度为14 n mile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45

8、°的方向去追,求追及所需的时间和角的正弦值解设a,c分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在b处追上,则有ab14x,bc10x,acb120°.(14x)2122(10x)2240xcos 120°,x2,ab28,bc20,sin .所需时间为2小时,sin .四、三角形中的求值问题方法链接：涉及三角形中的计算问题时,一些基本关系式经常用到,这些关系式是：(1)abc,a(bc)；(2),；(3)sin csin (ab),cos(ab)cos c；(4)tan(ab)tan c,tan atan btan ctan atan btan c；(5)sin

9、 cos,cos sin ,tan·tan 1；(6)a>b>csin a>sin b>sin c.例4(2009·北京昌平区期末)在abc中,a,b,c分别是角a,b,c的对边,且满足(2ac)cos bbcos c.(1)求角b的大小；(2)若b,ac4,求abc的面积解(1)在abc中,由正弦定理得a2rsin a,b2rsin b,c2rsin c,代入(2ac)cos bbcos c,整理得2sin acos bsin bcos csin ccos b,即2sin acos bsin(bc)sin a,在三角形中,sin a>0,2c

10、os b1,b是三角形的内角,b60°.(2)在abc中,由余弦定理得b2a2c22ac·cos b(ac)22ac2ac·cos b,将b,ac4,代入整理,得ac3.故sabcacsin bsin 60°.五、证明平面几何问题方法链接：正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要工具,在处理平面几何问题中有着广泛的应用一些三角形中重要线段的求解和著名定理的证明都离不开正、余弦定理的综合运用例5已知凸四边形的边长分别为a、b、c、d,对角线相交成45°角,若s为四边形的面积,求证：s(a2b2c2d2)证明设凸四边形abcd的对角线相交于点o,设ao

11、、co、bo、do分别为m、n、p、q,则由面积公式得：s(mppnnqqm)sin 45°由余弦定理得a2m2p22mpcos 45°b2n2p22npcos 45°c2n2q22nqcos 45°d2q2m22qmcos 45°由得：a2b2c2d22(mppnnqqm)cos 45°(mppnnqqm)sin 45°2s.a2b2c2d24s,即s(a2b2c2d2)区突破1忽略角的隐含范围而致错例1在abc中,b3a,求的取值范围错解由正弦定理得cos 2a2cos2a4cos2a1.0cos2a1,14cos2a1

12、3,>0,0<3.点拨忽略了三角形内角和为180°,及角a、b的取值范围,从而导致取值范围求错正解由正弦定理得cos 2a2cos2a4cos2a1abc180°,b3a.ab4a<180°,0°<a<45°.<cos a<1,1<4cos2 a1<3,1<<3.温馨点评解三角问题,角的取值范围至关重要一些问题,角的取值范围隐含在题目的条件中,若不仔细审题,深入挖掘,往往疏漏而导致解题失败2忽略角的大小隐含关系而致错例2在abc中,已知cos a,sin b,则cos c的值为(

13、)a.b.c.和 d错解cos a,0<a<,sin a.sin b,0<b<,cos b±.当cos b时,cos ccos(ab)sin asin bcos acos b××.当cos b时,cos ccos(ab)sin asin bcos acos b××,选c.点拨本题解答中关键一步是sin a>sin ba>b.从而确定cos b而不是cos b±,否则会错选c.事实上,在abc中,我们可以由正弦定理可证得sin a>sin b的充要条件是a>b.正解cos a,0<a

14、<,sin a.sin a>sin b,从而a>b,故a>b,cos b,cos ccos(ab)sin asin bcos acos b,选a.3忽略审题环节,画图不准而致错例3在湖面上高h m处,测得云c的仰角为,而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为,试证：云高为h· m.点拨本题常因审题不准,题意不清画不出合乎题意图形而放弃或因画错图形而致错正解分析因湖面相当于一平面镜,故云c与它在湖中的影d关于湖面对称设云高为cmx,则由ade可建立含x的方程,解出x即可解如图所示,设在湖面上高为h m处的a,测得c的仰角为,而c在湖中的像d的俯角为,cd与湖面交于

15、m,过a的水平线交cd于e,设云高cmx,则cexh,dexh,ae(xh)cot .又ae(xh)cot ,所以(xh)cot (xh)cot .解得x·hh· (m)题多解例在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市o(如图1所示)的东偏南 (cos )方向300 km的海面p处,并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解方法一(构建三角形,解三角形)设在时刻t(h)台风中心为q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t60 (k

16、m),如图2所示若在时刻t城市o受到台风的侵袭,则oq10t60.由余弦定理知oq2pq2po22·pq·po·cosopq.由于po300,pq20t,cosopqcos(45°)cos cos 45°sin sin 45°× ×,故oq2(20t)230022×20t×300×202t29 600t3002.因此202t29 600t3002(10t60)2,即t236t2880,解得12t24.答12小时后该城市开始受到台风的侵袭方法二(构建动圆,利用点圆关系)如图3所示,建立坐

17、标系,以o为原点,正东方向为x轴正向在时刻t(h)台风中心p(xt,yt)的坐标为此时台风侵袭的区域是(xxt)2(yyt)2r(t)2,其中r(t)10t60.若在t时刻城市o受到台风的侵袭,则有(0xt)2(0yt)2(10t60)2,即22(10t60)2,即t236t2880,解得12t24.答12小时后该城市开始受到台风的侵袭题赏析1(2009·宁夏,海南)如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的a、b、c三点进行测量已知ab50 m,bc120 m,于a处测得水深ad80 m,于b处测得水深be200 m,于c处测得水深cf110 m,求def的余弦值分析为求d

18、ef的余弦值,应先求出线段de、df、ef的长,求这三条线段的长时要充分构造直角三角形解作dmac交be于点n,交cf于点m.df10(m),de130(m)ef150(m)在def中,由余弦定理的变形公式,得cosdef.赏析本题是2009年宁夏、海南高考试题,有一定计算量,但难度不大,涉及到的三条线段de、df、ef均可以借助直角三角形计算2(2009·福建)如图,某市拟在长为8 km的道路op的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段osm,该曲线段为函数yasin x(a>0,>0),x0,4的图象,且图象的最高点为s(3,2)；赛道的后一部分为折线段mnp,为保证参赛运动员的安全,限定mnp120°.(1)求a,的值和m,p两点间的距离；(2)应如何设计,才能使折线段赛道mnp最长？解(1)依题意,有a2,3,又t,.y2sinx.当x4时,y2sin3,m(4,3