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文档简介

1、初等数论考试试卷一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分)1设为实数,为的整数部分,则(A);2下列命题中不正确的是(B)整数的公因数中最大的称为最大公因数;整数的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗?】整数与它的绝对值有相同的倍数整数与它的绝对值有相同的约数3设二元一次不定方程(其中是整数,且不全为零)有一整数解,则此方程的一切解可表为(C)4下列各组数中不构成勾股数的是(D)5,12,13; 7,24,25;3,4,5; 8,16,175下列推导中不正确的是(D)6模10的一个简化剩余系是(D) 7的充分必要条件是(A) 8设,同余式的所有解为(C)或 或或无解9、设f

2、(x)=其中为f(x)的一个解,则:( ? )ABC D10则同余式:( )A有时大于p但不大于n; B不超过pC等于p D等于n11若2为模p的平方剩余,则p只能为下列质数中的 :( D )A3 B11 C13 D23 12若雅可比符号,则 ( C )AB;C;D13( A ) A 4 B 3 C 2 D 114 模12的所有可能的指数为:( A ) A1,2,4 B1,2,4,6,12 C1,2,3,4,6,12 D无法确定15 若模m的原根存在,下列数中,m不可能等于:( D ) A 2 B 3 C 4 D 12 16对于模5,下列式子成立的是 ( B )A B C D 17下列函数中不

3、是可乘函数的是: ( C )A茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B欧拉函数;C不超过x的质数的个数;D除数函数;18若对模的指数是,>0,>0,则对模m的指数是( B )A B C D无法确定19,均为可乘函数,则( A )A为可乘函数; B为可乘函数C为可乘函数; D为可乘函数20设为茂陛乌斯函数,则有( B )不成立A B C D二填空题:(每小题1分,共10分)21 3在45中的最高次n _21_;22 多元一次不定方程:,其中 , ,N均为整数,有整数解的充分必要条件是_( , ,)N_;23有理数,能表成纯循环小数的充分必要条件是_(10,b)=1_;24 设为一次

4、同余式,的一个解,则它的所有解为_;25 威尔生(wilson)定理:_!+1为素数_;26 勒让德符号=_1_;27 若,则是模的平方剩余的充分必要条件是(欧拉判别条件);28 在模的简化剩余系中,原根的个数是_;29 设,为模的一个原根,则模的一个原根为_g 与g+中的奇数_;30 _16_。三简答题:(5分题×4题20分)31命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗?说明理由。32“若,通过模的简化剩余系,则也通过模的简化剩余系”这命题是否正确?正确请证明,不正确请举反例。33求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。34设为的标准分解式,记为的正因数的和,为的正因数的个数,

5、则? ? 为什么?四计算题。(7分题×4题28分)35 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。36 解同余方程组37解同余式11(mod125)38求模13的所有原根。五、证明题:(7分/题×2题=14分)39、试证:,(x,y)=1,y是偶数的整数解可写成: 这里,并且一为奇数,一为偶数。40、设a为正整数,试证: 其中表示展布在a的一切正因数上的和式。六、应用题:(8分)41、求30!中末尾0的个数。参考答案一单项选择:ABCDD;DACCB;DCAAD;BCBAB。 二填空题:2121;22;23;24;25!+1为素数;261;27;28;29与中的单数;301

6、6三简答题:31答:命题正确。 而必为2的倍数。86页32 正确证明见教材。33在摸的简化剩余系中与同余的数是数的平方剩余,故1,2,4,8,9,13,15,16为摸17的平方剩余,而3,5,6,7,10,11,12,14为摸17的平方非剩余。34 证明:若为可乘函数,则 分别令,它们为可乘函数,即得出。四计算题35解:因为,故原不定方程有解。 又原方程即 ,而易见方程有解 。所以原方程的一个解是所以,原方程的一切整数解是: t是整数36解:因为模5,6,7两两互质,由孙子定理得所给同余方程组关于模5×6×7210有唯一解,分别解同余方程:,得, ,因此所给同余方程组的解是

7、:即:37解:从同余方程, , , 是 得即是所给方程的一个解,于是所解为: 解毕。38解: 为其质因数 ,故g为模13的原根的主要条件是: , 用 g=1,2,12逐一验证,得:2,6,7,11为模13的原根, 因为,故模13原根只有4个,即为所求。五、证明题:39证明:易验证所给的解为原方程的解,因y为偶数,原方程可化为: 但 而,所以(,)=1 由书中引理,我们可假设 =, =b 显然>b, (,b)=1, 于是 X=b, z=+ ,y=2 因子为奇数,所以,b一定是一为奇,一为偶,证毕40证明:假定 ,-, 为的所有正约数,那末 ,-,也是的所有正约数,于是 = 再因为在的完全剩余系中任一数的最大公约数 必定是 ,-, 中某一个数,而完全剩

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