高等数学课件：1-2 数列极限

1、“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放幻播放幻刘徽刘徽1.2 数列极限数列极限1.2.1 数列的概念数列的概念刘刘 徽徽R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn

2、天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1,2 , 1 ,),(),(),2(),1(,:nnnfxnffffRNfn 记记排排成成一一列列顺顺序序的的函函数数值值可可按按自自然然数数的的则则设设定定义义:按按自自然然数数, 3 , 2 , 1编编号号依依次次排排列列的的一一列列数数 ,21nxxx (1) 称称为为无无穷穷数数列列,简简称称数数列列.其其中中的的每每个个数数称称为为数数列列的的项项,nx称称为为通通项项(一一般般项项).数数列列(1)记记为为nx. 等等比比数数列列；等等差差数数列列；常常数数列列；例例如如，,) 1(,2,12 naqaqaqadnadadaa

3、ccc又如又如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n) 1(1n;,)1(,34,21, 21nnn ) 1(1nnn,333,33, 3 注意注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx.11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nn 123xyo1 y.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn1.2.2 数列极限的概念数列极限的概念.)1(1

4、1时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放数列的极限数列的极限 1xy1 y问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限是否无限接近于某一确定的数值接近于某一确定的数值?如果如果是是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它. 1nxnnn11)1(1 ,1001给给定定,10011 n由由,100时时只只要要 n,10011 nx有有,10001给给定定,1000时时只只要要 n,1000011 nx有有,100001

5、给给定定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数 a是数是数列列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：; .1的的无无限限接接近近与与

6、刻刻划划了了的的任任意意性性，不不等等式式根根据据axaxnn .,.,. 2取取的的大大一一些些一一般般总总可可以以把把论论证证时时不不是是唯唯一一的的符符合合条条件件的的越越大大相相应应的的越越小小，一一般般而而言言，有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数NNNN 几何解释几何解释:x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外个个至至多多只只有有只只有有有有限限个个内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当NaaxNnn 其中其中;: 每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 :定义定义N .N,0,N0,limaxnaxnnn 数

7、列极限的定义未给出求极限的方法，但它数列极限的定义未给出求极限的方法，但它给出了一验证数给出了一验证数a是否是数列是否是数列 的极限的的极限的一个标准。一个标准。注意：注意：nx n时时f(n)以以A为极限的几何意义为极限的几何意义： 对任意给定的小正数对任意给定的小正数 ，在，在 与与 之间形成一个带形区域，不论带形区域多么窄，总可之间形成一个带形区域，不论带形区域多么窄，总可以找到以找到N, ,从第从第N+1项起，项起，以后的一切项以后的一切项yN+1, yN+2 ,yN+3 , , ,的数值均落在的数值均落在 内内, ,在带形在带形区域内有无穷多个点，区域内有无穷多个点，而带形区域外有有

8、限个点。而带形区域外有有限个点。),( AA Ayn Ayn 例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关

9、键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn两两边边取取对对数数，,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 0ln q例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 0 0, ,则则,

10、 ,a a取取1 11 1aa 举例说明如何应用定义证明极限的存在性。举例说明如何应用定义证明极限的存在性。例例1：证明：证明111 nnlim证：证：nnnn2111111111 由由于于,121 N故故取取则当则当nN时，便有时，便有 111n成立。成立。,21, 0 n要要使使 21n只只要要。111 nnlim)0( ,1 aann nl li im m例例5 5证证明明数值验算数值验算成成立立。时时是是常常数数列列，结结论论显显然然当当证证明明：1 a,11)1(),0( ,1, 1nnnnnnnnnnnaaa 则则令令设设naann110 ,1,1, 0 naNnaN因因此此;1l

11、im nna,1,)( an解解得得令令, 1,1, 10 bbaa则则令令再再设设111 nnnnbbba,（令）,11,1, 0 nnbaNnbN由由前前述述所所证证，.1lim nna因因此此，综合之，即知结论成立。综合之，即知结论成立。. .2 21 1l li im m证证明明例例6 6 432322nnnnn,)432(243214323, 0222 nnnnnnn解解不不等等式式证证明明：) 432( 243214323222 nnnnnnn,4747)2( 24322 nnnnnn,47,47NnNn 取取解得，解得，.4721432322 nnnnn因因此此，. .2 21

12、1l li im m 432322nnnnn思考思考：N的取法是否唯一？不等式放大过程中是否还的取法是否唯一？不等式放大过程中是否还可以作其他形式的放大？可以作其他形式的放大？用用Mathematica4.0求极限求极限4132lim21 xxxx1sinlim0 xxx11sinlim xxx41324lim22 xxxx1、有界性有界性1.2.3 收敛数列的性质收敛数列的性质定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界,否否则则, 称称为为无无界界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2n

13、nx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界BxABAn 使使得得等等价价于于：显显然然，上上述述有有界界性性定定义义,定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取,1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件，而非充分条件。有界性是数列收敛的必要条件，而非充分条件。推论推论 无界数列必定

14、发散无界数列必定发散. .。是是一一个个有有界界的的发发散散数数列列nnx)1( ;,)1( , 1 , 1, 11 n) 1(1n2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.3、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子

15、列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx ,:987654321nnxxxxxxxxxxx,54321knnnnnnxxxxxx .knnxxkxxkknnnnkkk 项项，显显然然，中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列注意：注意：例如，例如， ：子子列列knx, , , , ,118652xxxxx定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收

16、敛且极限相同相同证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnNKk . axkn.limaxknk 证毕证毕注：注： ;,发散发散则则发散发散的任一子列的任一子列数列数列定理的逆否命题是：若定理的逆否命题是：若nnxx ;, 发散发散则则不同的极限不同的极限的两个子列于的两个子列于或若数列或若数列nnxx证法一：证法一：例例5.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axN

17、nNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但但却却发发散散是是有有界界的的事事实实上上nx。，：n不不存存在在显显然然有有子子列列证证法法二二nn12n2nn2nx，xx,x，xx lim111112.limlimlim122nn nnnn12n2nxAxAxxx,xn,并有：并有：的偶子列和奇子列的偶子列和奇子列分别称为分别称为一般的，子列一般的，子列4.四则运算性质四则运算性质).0(limlimlim)3(;limlim)lim)2

18、(;limlim)lim1,lim,lim4 bbabababababababababbaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（）（则则设设定定理理;0(lim 是是常常数数）注注： kkakannbbaannnn limlim和和由由证证： 2, 011 aaNnNn时时，使使当当 22)(bbaababannnn ;limlim)(lim )1(bababannnnnnn 时时，有有则则当当令令NnNNN ),max(2,1。即即babannn )(lim 2,22 bbNnNn时时，使使当当又又);(lim )(01 kkakann证证:kaaNnNn 时时，使使当当,

19、0 kkkakaNnn 有有时时当当则则, aannlim由由。即即kakann lim .6)1(5lim722nnnnn 求求极极限限例例.611lim6lim1lim1lim5lim2 nnnnnnnnnnnnn 226)1(5lim解解： .lim2nnnn 例：求例：求 nnnn 2lim解：解：.211111lim nn nnnnn 2lim nnnnnnnnnn 222lim1.2.4 数列收敛的判别法数列收敛的判别法1.夹逼原理夹逼原理定定理理 1 1 （夹夹逼逼原原理理） 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: : ,lim,lim)2()3 , 2

20、, 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. . 证证,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 例例8 8).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理

21、得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn。求求极极限限nnnnn432lim 例例9 9nnnnnnn3443432 n nn n4 44 4解解：. 4432lim, 13lim nnnnnnn及及夹夹逼逼准准则则得得，由由?lim, 021 nnmnnnaaai ia a思思考考： 设设2.单调有界原理单调有界原理满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:x1x2x3x1 nxnxAM的的存存在在性性。讨讨论论极极限限nn)11( n nl li im m例例1 10

22、0：数值实验：数值实验：从数值实验结果可猜想，这个数列单调递增，且不从数值实验结果可猜想，这个数列单调递增，且不超过超过3。下面来严格证明，这个实验观察的结果是正确的。下面来严格证明，这个实验观察的结果是正确的。nnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( )111(! 21111nxn类似地类似地,).11()121)(111()!1(1 nnnnn)111()121)(111(!1 nnnnn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 121211

23、1 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为ennn )11(lim4 45 59 90 04 45 51 18 82 28 81 18 82 28 82 2. .7 7 计算可得：计算可得：这个数是与这个数是与 一样重要的常数，是无理数一样重要的常数，是无理数 121222113211!1nnn例例1111.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1 nnxxn 有有 ;是是单单调调递递增增的的来来证证明明nxnnxx 31由由数数学学归归纳纳法法，21333xx )1(时成立时成立 n)(时成立时成

24、立假设假设kn ,1 kkxx假设假设, 331 kkxx,331 kkxx,21 kkxx即即)1(时成立时成立推出推出 kn ;是是单单调调递递增增的的所所以以nx,333,33, 3 , 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx,limAxnn 设设由由数数学学归归纳纳法法)1(时成立时成立 n)(时成立时成立kn , 032 AA, 333 kx,333 kxnnxx

25、31存在，并求出极限。存在，并求出极限。极限极限证明证明设设例例nnnnnxnxaxxax lim), 2 , 1)(21, 01211,)(211axaxxaxxnnnnn 解解：有下界；有下界；nx,212)(212221nnnnnnnnnxxxxxaxxaxx 单单调调递递减减。nx存存在在。由由单单调调有有界界原原理理，Axnn lim，得得两两边边取取极极限限，注注意意到到在在等等式式)(21,limlim)(2111AaAAxxxaxxnnnnnnn )( ,舍舍去去？解解得得aAaA 注：给出了求平方根的近似计算格式注：给出了求平方根的近似计算格式限限。的的极极限限存存在在，并并

26、求求此此极极证证明明数数列列设设分分，例例)., 2 , 1( )3(, 30)82002(1311nnnnxnxxxx 均均为为正正数数，知知解解：1111,3,03,30 xxxx .23)3(21)3(011112 xxxxx故故.23)3(21)3(0),1(230 1 kkkkkkxxxxxkx则则设设有界，有界， ,230nnxx , 03)23()3()3(1 nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx.单单调调递递增增nx用用数数学学归归纳纳法法，存存在在。nnx lim?)(0,233),3()3(,lim22121舍舍去去两两边边取取极极限限，得得即即设设 aaaaa

27、xxxxxxaxnnnnnnnn。23lim nnx单调有界原理反映了实数系的一个重要性质：单调有界原理反映了实数系的一个重要性质：实数系的连续性。有理数系中的单调有界数列在有实数系的连续性。有理数系中的单调有界数列在有理数范围内可能没有极限。因此极限理论是建立在理数范围内可能没有极限。因此极限理论是建立在实数系上的。实数系上的。数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、子数列的收敛性、四则运算法则有界性、唯一性、子数列的收敛性、四则运算法则.数列收敛的判别法数列

28、收敛的判别法夹逼定理、单调有界原理。夹逼定理、单调有界原理。小小 结：结：4 45 59 90 04 45 51 18 82 28 81 18 82 28 82 2. .7 7) )n n1 1( (1 1l li im m极极限限：n nn n1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘

29、徽刘徽概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割