高等数学课件：第2章 一元函数导数与微分

1、 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 2.2 2.2 导数的计算导数的计算 2.3 2.3 高阶导数高阶导数 2.4 2.4 几种类型函数的求导方法几种类型函数的求导方法 2.5 2.5 函数的微分与线性逼近函数的微分与线性逼近 问题的提出问题的提出.,16651601,Fermat的的为为研研究究极极值值问问题题而而引引入入法法国国）尔尔马马（导导数数的的思思想想最最初初是是由由费费 ,Leibniz这这是是由由莱莱布布尼尼兹兹（学学中中的的导导数数的的概概念念起起源源于于几几何何及及切切线线问问题题，力力学学中中的的速速度度问问题题,17271642,Newton,17161646 德德

2、国国）和和牛牛顿顿（.来来的的学学和和力力学学过过程程中中建建立立起起英英国国）分分别别在在研研究究几几何何1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限

3、位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置,),()(:,00yxPxfyC上上取取一一定定点点在在曲曲线线如如图图 近近的的一一点点，附附是是曲曲线线上上点点 PyxQ),(oxy)(xfy CPQ沿沿当当动动点点 Q,时时曲曲线线趋趋于于 PPQ割割线线的极限位置的极限位置 ,PTT.处处的的称称为为曲曲线线在在点点 P切切线线 0 xxx PQ割割线线 tan00)()(xxxfxf ,时时当当沿沿曲曲线线PQC,0 x

4、x , 0 x的的斜斜率率为为：切切线线 PT.)()(lim000 xxfxxfx tank:的的斜斜率率为为,)()(00 xxfxxf ：其其运运动动方方程程为为中的平均速度：中的平均速度：质点在时间质点在时间,00ttt ttSttS )()(00.）（距距离离对对时时间间的的变变化化率率.)()(lim000ttSttSt 2. 瞬时速度瞬时速度,0为为某某一一确确定定的的时时刻刻若若 t求求质质点点在在时时t0t.tt 0.tSv :0的的瞬瞬时时速速度度质质点点在在 t v,动动设设一一质质点点作作变变速速直直线线运运，)(tSS v的的瞬瞬时时速速度度刻刻0t定义定义 1,)(

5、)(0有有定定义义在在设设函函数数xUxfy ,0 xxx 处处一一改改变变量量在在给给自自变变量量相相应应地地，有有，)()(00 xfxxfy ）（)(00 xUxx xyx 0lim若若xxfxxfx )()(lim000,存存在在,)(0处处可可导导在在点点则则称称xxfy 并并称称这这个个极极,)(0处处的的导导数数在在点点限限为为xxfy :记记作作)(0 xf 0 xxy 或或0 xxdxdy 或或,0 xxdxdf 或或即即xyxfx 00lim)(.)()(lim000 xxfxxfx xyxfx 00lim)(.)()(lim000 xxfxxfx ，令令xxx 0，则则0

6、0 xxx .)()(lim)(0000hxfhxfxfh 或或，000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xyx 0lim若若,不不存存在在.)(0点点不不可可导导在在则则称称xxfoxy)(xfy T0 xP导数的几何意义导数的几何意义即即切切线线的的斜斜率率处处的的在在点点表表示示曲曲线线,)(,()()(000 xfxPxfyxf 切线方程为切线方程为:法线方程为法线方程为:)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy ,tan)(0 xf)(轴轴正正向向夹夹角角是是切切线线与与 x 定义定义 2（单侧导数，左右导数）（单侧导数，左右导数）xyx 0limxxfx

7、xfx )()(lim00000)()(lim0 xxxfxfxx )(0 xxx 令令,存存在在,)(0可可导导处处在在则则称称xxf右右并并称称此此极极限限.)(0导导数数处处的的在在点点为为xxf右右 )(0 xf左左左左定理定理 1（双侧导数与单侧导数的关系）（双侧导数与单侧导数的关系）存存在在)(0 xf .)()(00都存在且相等都存在且相等与与xfxf 定理定理 2（可导与连续的关系）（可导与连续的关系）0)(xxf在在若若，可可导导,)(0必必连连续续在在则则xxf但但反反之之不不然然！,)(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy,)(0 xxxfy yx 0lim,0 .

8、)(0连续连续在点在点即即xxf, )0(0 x 证证)(lim00 xxxfx 证毕证毕但但反反之之不不然然，例如：例如：处连续，处连续，在在0)( xxxf.)0(不不存存在在但但 f ,事事实实上上xy xyoxfxffx )0()0(lim)0(0, 1 ),0()0( ff但但xxx 0limxxx 0limxfxffx )0()0(lim)0(0, 1 xxx 0limxxx 0lim右可导右可导左可导左可导.)0(不不存存在在f 定理定理 2 不不连连续续，在在若若0)(xxf0)(xxf在在则则.不不可可导导导导可可续续连连导导可可不不续续连连不不续续连连导导可可右右左左左左右

9、右导导数数不不一一定定相相等等:)(0点点在在数数函函xxf定义定义 3处处都都可可导导，内内每每一一点点在在若若xbaxf),()(都都存存在在，即即)(,),(xfbax 在在则则称称)(xf内内可可导导；),(ba),(),()(afbaxf 内内可可导导且且在在若若,)(都都存存在在bf .,)(上上可可导导在在则则称称baxf可可导导，在在区区间间若若Ixf)(都都存存在在，则则)(,xfIx ，值值都都对对应应唯唯一一确确定定的的导导数数即即)(,xfIx ,上上定定义义了了一一个个新新的的函函数数则则在在 I称称这这个个新新的的函函数数,)(的的为为xf导导函函数数导导数数 :简

10、简称称,)()(lim)(0 xxfxxfxfx .Ix 注意注意:)(0 xf )(xf ，0 xx .)()(00 xfxf但但 况况：不不可可导导，有有以以下下三三种种情情在在函函数数0)(xxf不不连连续续，在在若若0)(.1xxf.)(0不不可可导导在在则则xxf( 定理定理 )2 ，知知由由定定理理 1.2.)(0不不可可导导在在则则xxf，例如：例如：xxf )(，)0(11)0( ff.)0(不不存存在在f .)(0不不可可导导在在则则xxf都存在但值不相等，都存在但值不相等，与与若若)()(00 xfxf )i(中至少有一个不存在，中至少有一个不存在，与与若若)()(00 x

11、fxf )ii(,0, 00,1sin)( xxxxxf例例:.0 处不可导处不可导在在 x011/1/xyxfxfx )0()0(lim0,事事实实上上xxxx 1sinlim0 xx 1sinlim0,不不存存在在 )0(f.0)(不不可可导导在在 xxf为为无无穷穷的的情情况况xyx 0lim.3定义定义 1连连续续，在在设设0)(xxf),()()(limlim0000 或或若若xxfxxfxyxx. )()(0存在无穷导数存在无穷导数在点在点则称函数则称函数xxf不可导不可导),()()(lim000 或或xxfxxfx )(0 xf),()()(lim000 或或xxfxxfx )

12、(0 xf：右无穷导数右无穷导数的左的左在点在点同理，同理，、xxf0)(注意注意:有无穷导数，有无穷导数，在点在点函数函数0)(xxf)(xf仍为仍为；在点在点0 x不可导不可导几几何何但但是是，此此时时却却有有明明显显的的意义：意义：处处有有切切线线，在在点点曲曲线线)(,()(00 xfxxfy ,)(0 xf切切线线的的斜斜率率为为轴垂直，轴垂直，该切线与该切线与 x即即，2 .tan 可可导导在在0)(xxf在点在点曲线曲线)(xfy 有切线有切线)(,(00 xfx.11)(3处有无穷导数处有无穷导数在在 xxxf例例1xfxffx )1()1(lim)1(0解解xxx 30lim

13、320)(1limxx , .)0 , 1(13处处有有铅铅直直的的切切线线在在点点曲曲线线 xy31 xy11 x的的一一般般步步骤骤：点点的的导导数数在在求求)()(xfxxf ；，求，求一增量一增量给给)()(. 1xfxxfyxx ；计算计算xxfxxfxy )()(. 2:. 3 计算极限计算极限xyx 0limxxfxxfx )()(lim0)(xf （存在）（存在）例例1 1.上上的的导导数数求求下下列列函函数数在在其其定定义义域域xxfxxfxfx )()(lim)(0 xCCx 0lim. 0 0)( C, )()()1为常数为常数CCxf ),()()2 Nnxxfnxxx

14、xxnnxn )(lim)(0)()(! 2)1(22nnnxxxxnn 1)( nnxnx.1 nnx)(! 2)1(lim1210 nnnxxxxnnnxxnxxxnnx 101lim,sin)()3xxf xxxxxx sin)sin(lim)(sin0)2sin2cos2sin(sinyxyxyx xxxxx 2sin)2cos(2lim0 xxcos)(sin 22sinlim0 xxx )2cos(lim0 xxx.cos x 同理同理xxsin)(cos ,cos)()4xxf , )0, 10(log)()5 xaxxfaxxxxxfaax log)(loglim)(0 xxx

15、ax )1(loglim0 x1 xxaxxxx )1(loglim10exalog1 .ln1ax ,ln1)log(axxa .)0(1)(ln xxx特别特别x, )10()()6 aaxfxxaaaxxxxx 0lim)(xaaxxx 1lim0，令令tax 1(，则则)1ln(lntax ，atxln)1ln( )0,0 tx时时当当)1ln(lnlim0tatatx .lnaax ,ln)(aaaxx .)(xxee 特别特别定理定理 1（四则运算法则）（四则运算法则）并并且且处处也也可可导导在在点点为为零零分分母母不不商商则则它它们们的的和和、差差、积积、处处可可导导点点在在如如

16、果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu);()( )()()1(xvxuxvxu 导导函函数数上上：可可推推广广到到任任意意有有限限个个可可 )()()(21 xuxuxun;)()()(21xuxuxun 特特别别地地，);()()()( )()( )2(xvxuxvxuxvxu )()()(21xuxuxun )(),( )(为常数为常数CxuCxuC 更更一一般般地地，)()()(21xuxuxun .)()()()(121xuxuxuxunn ).0)()()()()()()()( )3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu特特别别地地，注意注意:,)(vuvu vuvu .)0(

17、12 vvvv )()()(21xuxuxun 证证 (2)(2)，令令)()(xvxuy )()()()(xvxuxxvxxuy )(xxu )(xxv )(xu )(xxv )(xu )(xxv )(xu )(xv)(xxv )()(xuxxu )(xu )()(xvxxv u)(xxv )(xuv xyx 0lim xux0lim)(xxv xvx 0lim)(xu)()(xvxu )()(xvxu )( vu证毕证毕即即,lim)(0 xuxux ,lim)(0 xvxvx )()(lim0 xvxxvx 例例1 1，3lncossin)1(3 xxxy23xy ,coslnsin)2

18、(24xxxxxy xxxylnsin43 xxxlncos4 xxx1sin4 xxcos2 xcos )sin(2xx 求求下下列列函函数数的的导导数数.sin x xxxlnsin43 xxxlncos4 xx sin3 xxcos2 .sin2xx ,tan)3(xy )(tan xy xxcossinxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 ,cot xy xx2sec)(tan 即即xx2csc)(cot 同理可得同理可得)(sec xyxx2cos)(cos xx2cossin 同理可得同理可得,sec)4(xy

19、,csc xy )cos1( xxxtansec xxtansec )(sec x即即xxxcotcsc)(csc 定理定理 2（反函数求导法则）（反函数求导法则）可可在在若函数若函数xxfy)( ,0)( xf导导且且yyx在在则则其其反反函函数数)( )(xf . )(1)(,xfy 且且处处也也可可导导即即 反函数的导数等于直接函数导数的反函数的导数等于直接函数导数的倒数倒数.证证,0)( xf由由某某邻邻域域连连续续在在则则xxfy)( 且且严严格格单单调调，某某邻邻域域在在必必存存在在反反函函数数yyx)( .连连续续且且严严格格单单调调, 0 yy以以增增量量给给)11:( f,

20、00 xy, 00 xyyxyy 0lim)( xyx 1lim0.)(1xf 证毕证毕例例2 2求求反反三三角角函函数数的的导导数数,arcsin)1(xy );1,2( xy ,arccos)2(xy );1,0( xy ,arctan)3(xy );,2( xy ).,0( xy ,)4(xy cotarc解解xyarcsin)1( ,sin的的反反函函数数是是yx )(arcsin x)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x 即即)(arcsin x211x 同理可得同理可得)(arccos x211x 211)(arctanxx 211)(xx cotarc定理定理 3

21、（复合函数求导法则）（复合函数求导法则）)(ufy 如如果果函函数数则则复复合合函函数数点点可可导导，在在可可导导在在点点xxuu)(, :,)(且且其其导导数数为为可可导导在在点点 xxfy )()()(xufxfx dxdududydxdy 或或者者即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析函数的复合关系函数的复合关系 .:1cos2xy ,cosuy 21xv ,21vu

22、证证,)(可可导导在在点点由由uufy )(lim0ufuyu ,)( ufuy故故(*)(uuufy 则则xyx 0lim)(lim0 xuxuufx xuxuufxux 000limlimlim)( ).()(xuf )0( u)0lim(0 u, 0)()(,0 ufuufyu时时当当.(*) 也也成成立立)0( u . 0,0, 0,uu 为此令为此令或或于于是是，不不论论0 u.(*), 0式式皆皆成成立立 u时时）（当当0 x)00,)( uxxu可可导导由由 证毕证毕推广推广),(),(),(xvvuufy 设设的的导导数数为为)(xfy 则复合函数则复合函数例例3 3.sinl

23、n的导数的导数求函数求函数xy 解解,sin xu 令令dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot )(xf x.)()()(xvuf ,lnuy 则则例例4 4.)(的导数的导数求幂函数求幂函数Rxy 解解, )0(ln xexx )()(ln xex xeln xeln x xx .1 x)0( x时时，或或的的定定义义域域是是若若幂幂函函数数0)( RRRxy .)(1仍仍然然成成立立求求导导公公式式 xx)()(1Rxx x)ln( x x例例5 5的导数的导数求双曲函数求双曲函数sh, )(21)1xxeex ),(21)2xxeex ch,)3xxx ths

24、hchchcth.)4xxx sh解解 )(21)( xxeexsh)(21xxee ,x ch)( xshx ch同理可得同理可得)( xshx ch)( xx1 thch2)( xx1 2cthsh式式：公公导导求求本本基基, )(0)(. 1是常数是常数CC ,)(.21Rxx xx21)( ,)0( x21)1(xx .)0( x,ln)(. 3aaaxx ,)(xxee ,ln1)log(.4axxa .)0(1)(ln xxx,cos)(sin. 5xx ,sin)(cos. 6xx ,sec)(tan. 72xx ,csc)(cot. 82xx ,tansecxx )(sec.

25、9 x,cotcsc)(csc.10 xxx )(arcsin.11 x,112x )(arccos.12 x,112x ,11)(arctan.132xx ,11)(.142xx cotarc注意注意: :初等函数的初等函数的导数仍为初导数仍为初等函数等函数 .例例6 6的导数的导数求下列函数求下列函数,)13()1(102 xxy解解 xxxy102)13( 102)13(xx132 xxxxx)13(2 92)13(10 xx;)32( x, )0)()(ln)2( xuxuy xxuy)(ln , 0)( xu, )(lnxxu . 0)( xu,)(ln(xxu ,)()(xuxu

26、,)()(xuxu 0)( xu0)( xu).0)()()( xuxuxu xxln,特特别别).0(1 xx,1sinln)3(xy xxy1sinln x1sinlnx1sin xx1sin.x1sin1 xx11sin. xx1.1cot12xx ),1ln()4(2xxy xxxy)1ln(2 )1ln(2xx21xx xxx21211xx 1212x xx )1(2 )11(1122xxxx .112x ,12arctan21)5(2xxy xxxy212arctan21 212arctan21xx212xx xxx2122212121 xx222)1()2(2)1(2xxxx .

27、112x , )(sincos)6(32xxy xxxy)(sincos32 )(sincos32xx)(cos32xx )(cos32xx)cos(3xx )cos(3xxxx 3xxx)(3 )(coscos32xx )sin(3xx )13(2 x)cos(23xx )()(xfyxfy 的的导导数数一一般般地地，函函数数（一一阶阶导导数数）.的的函函数数仍仍然然是是 x,)(处处可可导导在在点点如如果果xxfy 定义定义即即 y dxdydxd )(xf)(xf y 22dxyd 记作记作xxfxxfx )()(lim0,存存在在.)(的的为为函函数数称称xfy 二二阶阶导导数数)(x

28、f 的的导导数数：的的二二阶阶导导数数函函数数)()(xfxf )(xfy 33dxyd .)(的的称称为为函函数数xfy 三三阶阶导导数数)( xf 一一般般地地，阶阶导导数数的的导导数数，的的函函数数1)( nxf,)(的的称称为为函函数数xfy 阶阶导导数数n记作记作nndxyd 11nndxyddxd)()(xfn )()1(xfn.)()(lim)1()1(0 xxfxxfnnx 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.从高阶导数的定义可以知道，从高阶导数的定义可以知道，求求高高阶阶导导.阶阶导导数数的的方方法法数数，就就是是反反复复应应用用求求一一例例

29、1 1nnnnnxaxaxaxaaxP 112210)(次次多多项项式式求求 n.的的各各阶阶导导数数,2)(121 nnnxnaxaaxP,)1(!2)(22 nnnxannaxPnnnannnxP12)2)(1()()( .0)()()2()1( xPxPnnnn,!nan 解解例例2 2.)()(阶阶导导数数的的为为常常数数求求naexfax 解解 axexf)(,axae axaexf)(,2axea axnneaxf1)()(.axnea 注意注意: :阶阶导导数数时时，求求 n阶阶导导数数后后，或或求求出出431 不不要要急急于于合合并并，分分析析结结果果的的规规律律性性，.导导数

30、数的的一一般般表表达达式式阶阶写写出出 n（用用数数学学归归纳纳法法证证明明）例例3 3.sin)(阶阶导导数数的的求求nxxf 解解xxxfcos)(sin)( )2sin( x )2sin()( xxf)2cos( x)22sin( x)22sin( x.)2sin()()( nxxfn)2sin()(sin)( nxxn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得更更一一般般地地，有有)2sin()(sin)( nkxkkxnn)2cos()(cos)( nkxkkxnn例例4 4.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解xxy66cossin 3232)(cos)(sin

31、xx )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 )(66)cos(sinnxx .)24cos(483 nxn)2cos()(cos)( nkxkkxnn例例5 5.,3sin2sinsin)(nyxxxy求求设设 )cos()cos(21sinsin )sin()sin(21sincos 解解xxxy3sin2sinsin )4cos2(cos212sinxxx x4sin41 )2sin6(sin414sin41xxx xx4cos2sin21 xxx

32、y3sin2sinsin )2sin6sin4(sin41xxx )2sin()(sin)( nkxkkxnn)24sin(441)( nxynn故故)26sin(6 nxn.)22sin(2 nxn例例6 6.)1ln()(阶阶导导数数的的求求nxxf 解解,11)( xxf,)1(1)(2 xxf,)1(!2)(3 xxf,)1(! 3)(4)4( xxf)()(xfn1)1( nnx)1( )!1( n. )1! 0, 1( n)(11nx ,)1()1(1 nnx!n1)(!)1(1 nnnxnx例例7 7.,11)5(2yxy求求设设 解解112 xy)1111(21 xx)(11n

33、x 65)5()1(!5)1(21xy 65)1(!5)1(x 66)1(1)1(160 xx1)1(!)1( nnxn例例8 8.,1)(nnyxxy求求设设 解解1 xxyn1 xnx1)1( ininiinxCx )1()1(1101)1( xnininiinxC 110)1()1(次次1 n多多项项式式)(11nx 1)1(!)1( nnxn)()(11)1(nnnxy .)1(!1 nxn则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,)()(nxvvxuu ;)()1()()()(nnnvuvu ;)()2()()(nnCuCu ?)()( nuv问题问题vuvuuv )()()( vu

34、vuuvvuvuvuvu vuvuvu 22)(ba 2011022bababa 11001)(bababa vuvu )0()0(vuvuvu )0()0(2)0()0(,vvuu 注意：注意：)2()( vuvuvuuvvuvuvuvuvuvu 223021120333babababa vuvuvuvu 333)(ba vuvuvuvu )0()0(33)()(0kknnkknvuC 莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()()3(nuv vunnvnuvunnn)2()1()0()(! 2)1()()0()()(!)1()1(nkknvuvukknnn nkknknnnnbabaCbaCba011

35、10 nba)(（证明略）（证明略）例例9 9.,)20(22yexyx求求设设 解解,2xeu 设设 )()(! 2)120(20)()(20)()18()19()20()20(vuvuvuy022! 21920222022182192220 xxxexexe. )9520(22220 xxex得得由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式 ,2220)20(xeu ,2xv 则则,2xv ,2 v. 0)4( vv,2219)19(xeu ,2218)18(xeu 例例1010. )(),(. 0, 0,)(23xfxfxxxxxf 求求设设解解,0时时当当 x,)(3xxf ,3)(2xxf ,0时时

36、当当 x,)(2xxf ,2)(xxf ,0时时当当 x数数：用用定定义义分分别别考考虑虑左左右右导导xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0)(lim30, 0 xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0)(lim20. 0 . 0)0( f . 0,2, 0,3)(2xxxxxf故故. 0)0( f.0302 xx而而,0时时当当 x,6)(xxf ,0时时当当 x. 2)( xfxfxffx)0()(lim)0(0 ,0时时当当 xxxx03lim20 , 0 xfxffx)0()(lim)0(0 xxx02lim0 . 2 .)0(不不存存在在f . 0, 2,

37、0,6)(xxxxf故故问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.012 yx;12 xy02 yxexy? y定义定义: :,Dx 确确定定唯唯一一通通过过方方程程0),( yxF,值值一一个个 y,)(xyy 记记作作是是则则称称)(xyy .0),(所所确确定定的的由由方方程程 yxF隐隐函函数数显显函函数数存存在在函函数数关关系系例例1 1.,)(00 xyxyyxyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求求导导

38、方方程程两两边边对对 xyxy 解得解得,yxexyey , 0 x由原方程知由原方程知000 yxyxxexyey. 1 的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyxe ye y 0 , 0 y例例2 2.)(,lnarctan22xyyxxy 求求设设解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)3(535习习题题练练习习册册 P21 xy2x22yx 222yx yyx 22yxy yxy yyx .yxyxy 22yxyxy 22yxyyx 即即例例3 3.)(,0 xyxyey 求求设设解解,求求导导方方程程两两边边对对 x的函数）的函数）是是（注意：（注意：xy0 yxyyey,xeyyy

39、 ,求求导导再再对对上上式式两两边边关关于于xyeyeyy 2)(y 0 yxy02)()(2 yyeyxeyy即即xeyeyyyy 2)(2.)1()22(322 yxyyy观察函数观察函数,)4()3(1)1(23 xxxxy方法方法: : 先取对数先取对数, 然后再求导然后再求导 -对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :式式，多多个个函函数数相相乘乘相相除除的的形形.sinxxy 问题问题: : 如何求上述函数的导数如何求上述函数的导数 ? .)()(的的情情形形或或幂幂指指函函数数xvxuy 解解 先取对数，先取对数，4ln3ln21ln311lnln xxxxy求求导导，上上式式

40、两两边边关关于于 x的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyy111 x)1(31x 4132 xx)4()3(1)1(23 xxxxy4132)1(3111 xxxxy 例例4 4.,y 求求设设)4()3(1)1(23 xxxxy函函数数可可导导1, 4,3 x,4 , 1,3 x为为函函数数可可导导的的定定义义域域缩缩小小.1 例例5 5.)0)()()(的的导导数数求求幂幂指指函函数数 xuxuyxv)(ln)(lnxuxvy 解解 两边先取对数，两边先取对数，求求导导，上上式式两两边边关关于于 x的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyy1y )(ln)(xuxv )()(1)(xu

41、xuxv )()()()(ln)(xuxuxvxuxvyy )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv 即即uvuvuuuvvv 1ln)(亦即亦即),(求导求导对对看常数看常数把把vu),(求导求导对对看常数看常数把把uv例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求设设两边取对数，两边取对数，xxylnsinln 求求导导，上上式式两两边边关关于于xyy 1的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyxx lncos xx1sin )sinln(cosxxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx 求求导导法法求求导导：也也可可直直接接根根据据复复合合函函数数xx

42、ysin xxesinln ,lnsinxxe )0( xxxelnsin )sinln(coslnsinxxxxexx . )sinln(cossinxxxxxx )(sin xxyx)(lnsin xxex)lnsin( xxx，参参数数方方程程的的一一般般形形式式是是 )()(tytx , t,0)()()( ttytx 都都可可导导，且且与与设设,)()(1xttx 存存在在反反函函数数又又则则：的的复复合合函函数数是是 xy，)(1xy 由复合函数与反函数的求导法则，有由复合函数与反函数的求导法则，有dxdtdtdy xxt )()(1 )(t .)(t dxdy例例7 7解解ttx

43、ydxdy ttcos1sin taatacossin ,12 tdxdy.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即,)()(二二阶阶可可导导设设 tytx ,)()(ttdxdy 则则)(22dxdydxddxyd dxdt )()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即 )()(ttdxd )()(ttdtd )(1t 例例8 8解解.sincos33表表示示的的函函数数的的二二阶阶导导数数求求由由方方程程

44、 taytax)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos(sec32 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 ttxydxdy dxdt tdtdtan )tan(tdxd 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?.从从中中解解出出所所求求变变化化率率求法：求法：,)()(都都是是可可导导函函数数及及设设tyytxx ,)(xfyyx 之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量,)(dtdxxfdtdy 则则.化化率率称称为为这这样

45、样两两个个相相互互依依赖赖的的变变相相关关变变化化率率:,)(求求导导得得再再两两边边关关于于先先建建立立关关系系txfy dtdxxfdtdy)( 例例9 9解解?,500./140,500多多少少员员视视线线的的仰仰角角增增加加率率是是观观察察米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为升升米米处处离离地地面面铅铅直直上上一一气气球球从从离离开开观观察察员员观观察察员员视视其其高高度度为为秒秒后后设设气气球球上上升升,ht500tanh 得得求导求导上式两边对上式两边对,tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14

46、. 0秒秒弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500h）则则线线的的仰仰角角为为, 例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小时时上上升升几几米米米米时时问问水水深深的的水水槽槽顶顶角角为为米米形形状状是是长长为为水水库库秒秒的的体体流流量量流流入入水水库库中中米米河河水水以以则则水水库库内内水水量量为为水水深深为为设设时时刻刻),(),(tVtht234000)(htV 得得求求导导上上式式两两边边对对,tdtdhhdtdV 38000,/288003小小时时米米 dtdV小小时时米米 /104.0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率060,20

47、米时米时当当 hhh360tan m4000实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.2xS xx, xxx 变到变到设边长由设边长由,2xS 正正方方形形面面积积22)(xxxS .)(22xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Sx .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx xx 定义定义yxxfy 的的改改变变量量在在若若函函数数)(可可表表成成：)()(xfxxfy )( xo xA ,无无关关的的函函数数与与是是其其中中xxA 取取定定当当 x，是是常常

48、数数后后 A,)(可可微微在在则则称称函函数数xxf,)(处处的的微微分分在在点点为为称称xxfxA :记记作作.)(xAxdfxAdy 或或xA ，的的是是称称y 线线性性主主部部ydy 是是即即线线性性主主部部.的的.dyy .)(,)()(xxfdyxxfxxfy 且且可可导导在在微微可可在在函函数数定理定理（可微与可导的关系）（可微与可导的关系）证证,)(可可微微在在点点 xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A .)(,)(,)(xxfdyAxfxxf 且且可导可导在在即即,)(xxxfy 从从而而,)( xfxy即即,)(可导可导

49、在点在点 xxf),(lim0 xfxyx ),0(0 x xxf)(.)(,)(xxfdyxxf 且且可微可微在点在点函数函数.可微可微可导可导 ),( xo ()证毕证毕结论结论: :.)(,)()(xxfdyxfxfy 且且可可导导可可微微函函数数.等等于于自自变变量量的的微微分分的的增增量量也也就就是是说说：自自变变量量.该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy,由由微微分分定定义义dxxdx 即即.”“ 微微商商导导数数也也叫叫dxxfdy)( ).(xfdxdy xxx 1)(微分的几何意义)(xfy Tdyy)( xo ）xyo ( (如图如图) ).,对对应应的的增增量量就就是是切切线线纵纵坐坐标标线线的的纵纵坐坐标标增增量量时时是是曲曲当当dyy .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段线线段段切切的的附附近近点点在在很很小小时时当当 以直代曲的思想是微积分的核心思想以直代曲的思想是微积分的核心思想微分三角形微分三角形dxxfdy)(0 x )(dxQPxx 0M0 xdxPQ dx .PQ dx tanNdxxfdy)( 求