第9讲等效应力及等效应变

1、2021-11-121全量理论全量理论 o 全量理论建立了全应变与应力的关系。其中全量理论建立了全应变与应力的关系。其中比较有影响的是比较有影响的是hencky小变形理论。小变形理论。2021-11-122加载条件加载条件 o 简单加载简单加载 在加载过程中，应力张量各分量按同样的在加载过程中，应力张量各分量按同样的比例增加，也称为比例加载。即比例增加，也称为比例加载。即 。例：。例： 0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，则，则简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。 o 复杂加载：加载过程中各应力分量之

2、间无规律可循。复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。 2021-11-123hencky小变形理论小变形理论基本观点基本观点o 应力与应变的位向关系应力与应变的位向关系 塑性应变塑性应变主轴与应力主轴一致。主轴与应力主轴一致。o 应力与应变的分配关系应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，在任意加载瞬间，塑性应变塑性应变各分量与该各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例，小变形瞬时相应的各偏差应力分量成比例，小变形考虑弹性变形。考虑弹性变形。 2021-11-124数学表达式数学表达式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2021-11-125o 总的变形iji

3、jmijpijeijijeg)2121(2021-11-126小变形理论用于大变形小变形理论用于大变形对于大塑性变形，材料为刚塑性材料，采用对于大塑性变形，材料为刚塑性材料，采用简单加载条件简单加载条件，此时应力，此时应力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。相应的应力应变关系广义全量表达式为各向同性材料泊松比, 5 . 02021-11-1271122332121221221221或或取主轴时：取主轴时： )23(32)2(32113211m2021-11-128o 因此因此1313323221212021-11-1299 等

4、效应力、等效应变等效应力、等效应变o 把把 s看成经过某一变形程度看成经过某一变形程度下的单向应力状态的屈服极下的单向应力状态的屈服极限限,则可称则可称 s为为变形抗力变形抗力。abcd o 如图所示，拉伸变形到如图所示，拉伸变形到c点，然后卸载到点，然后卸载到d点，如点，如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载时所对应的应力附近（即点时所对应的应力附近（即点c处）发生屈服。这一处）发生屈服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，金属加工硬化的结果

5、。所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极限，统称为限，统称为金属变形抗力（抵抗金属变形的力）金属变形抗力（抵抗金属变形的力）。 s c2021-11-1210等效应力等效应力o s是单向拉伸的是单向拉伸的情况下得到的，情况下得到的，等于等于 1 1 。那么对那么对于复杂应力状态，于复杂应力状态， s与与 1 2 3 又有又有何种关系何种关系？ 1232021-11-1211o 由由mises屈服条件屈服条件2221323222162ks可以改写为可以改写为s213232221212021-11-1212o 若令若令se2

6、1323222121e则金属屈服时有则金属屈服时有则为则为等效应力等效应力，把变形体所受的，把变形体所受的6个应力分量个应力分量等效于一个单向拉伸时应力。等效于一个单向拉伸时应力。 e2021-11-1213o 对于单向拉伸对于单向拉伸s1时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态s1时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态同样同样，复杂应力状态时，复杂应力状态时，se时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态se时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态2021-11-1214o 在一般应力状态下，等效应力为在一般应力状态下，等效应力为 2222222621 3zxyzxyxzzyyxei当材料屈

7、服时有当材料屈服时有 kse3其中其中 s，为单向应力状态下获得的屈服极限，为单向应力状态下获得的屈服极限 2021-11-1215 此式表示的应变增量此式表示的应变增量 就是主轴时的就是主轴时的等效应变增量，非主轴等效应变等效应变增量，非主轴等效应变增量如下：增量如下：ed21323222192ddddddde)(692222222yzxzxyzxzyyxedddddddddd2021-11-1216比例加载时，即比例加载时，即 采用全量理论采用全量理论2322212132322213292ee为等效应变为等效应变 )(692222222yzxzxyzxzyyxe2021-11-1217o

8、由由levymises流动法则（增量理论），流动法则（增量理论）， ijijdd21323222192ddddddde代入代入213232221292dde213232221292d2021-11-1218o 得到得到eedd32eedd23或或此式即为等效应变增量此式即为等效应变增量与等效应力的关系与等效应力的关系 则则levymises流动法则可以写成流动法则可以写成 ijeeijdd232021-11-1219同理在塑性大变形时，等效应变与等效应力关系：ee32ee23或或2021-11-1220o 这样，由于引入等效应变这样，由于引入等效应变 与等效应力与等效应力 ，则本构方程中的比例

9、系数则本构方程中的比例系数 便可以确定，便可以确定，从而也就可以求出应变增量的具体数值。从而也就可以求出应变增量的具体数值。 ee2021-11-1221变形抗力曲线变形抗力曲线o 不论是一般应力状态还是简单应力状态作出不论是一般应力状态还是简单应力状态作出的的 曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗力曲线。力曲线。 ee等效应变与等效应力的意义在于，等效应力将6个应力分量的对变形体的作用，等效于一个单向拉伸力的作用。而等

10、效应变将6个应变分量，等效于一个单向拉伸力所产生的应变。利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关系。2021-11-1222o 单向拉伸单向拉伸 200132321；、se1011lnlle2021-11-1223o 单向压缩单向压缩 200321213；、se3013lnhhe可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；等效应变等于绝对值最大主应变。等效应变等于绝对值最大主应变。 2021-11-1224o 薄壁管扭转薄壁管扭转 00231213、；、kse331132e2021-11-1225单向拉伸实验所得应力应变关系常有如下几种：试验所得的真实应力应变曲线一般都不是简单的函数关系。为了实际应用，常希望将此曲线描绘成一函数。根据对真实应力应变的曲线的研究，可将它归纳成2种类型：在变形过程中由于加工硬化的结果，随着变形程度的增大，变形抗力增大。一般在变形过程中由于加工硬化的结果，随着变形程度的增大，变形抗力增大。一般可采用下述关系式来确定（幂指数硬化曲线）。可采用下述关系式来确定（幂指数硬化曲线）。neebb强化系数，与材料有关的常数n硬化指数，2021-11-1226neeb