甘肃省部分普通高中2011届高三数学第一次联合考试理

1、2011 年甘肃省部分普通高中高三第一次联合考试数学试题（理科）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合A0,1,2,3 ，集合 B x | x2a, aA ，则（）AABABAB ACABBDABA2yf ( x)的反函数f 1 (x)x 1，则f (2)等于已知函数A 1B 3C 5D 103设 an为等差数列， Sn 为其前 n 项和，且 a3a54 ，则S7 等于A 13B 14C 15D 164函数 ytan(x5) 的单调递增区间是A (k ,k ), k Z73k ), k Z22B (k ,1010

2、C( 3k , 7k ), k ZD (k ,k ), k Z1010555 “a1 ”是“直线 a2 x y60 与直线4x(a3) y 90 互相垂直 ”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6设 ,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是A若 l,，则 lB若 l / /, / /，则 lC若 l,/ /，则 lD若 l / /,，则 l7已知向量 a(2,1), ab10,| a b | 52, 则 |b |=A 5B 10C 5D 258正方体 ABCD-AB11C1D1中， E、F 分别是 BB 、CC 的中点，则 AE、 BF所成的角的余弦值是

3、1111262ABCD55559设 0 x 1，则 49的最小值为x 1xA 24B 26C 25D 110 F1、 F2 分别是椭圆 x22y 21的左、右焦点，点 P 在椭圆上，线段PF2 与 y 轴的交点为M ，且 F1M1 ( F1F2F1 P) ，则点 M 到坐标原点 O 的距离是211C 1D 2AB42用心爱心专心-1-11下列四个命题 分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异面直线 一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等，那么这两个平面平行 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角相等或互补 过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线

4、和这两条异面直线同时相交其中正确命题的个数是A 1B2C 3D 412有下列数组排成一排：(1),( 2, 1),( 3, 2, 1),( 4 , 3, 2 ,1),( 5 ,4 ,3, 2 ,1),112123123412345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,则此数列中的第 2011项是1 121231234123 45A 7B 6C 5D 457585960二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5分，共20 分把答案填在答题卡中相应的横线上）xy5013已知实数 x, y 满足xy0，则 zx2y 的最小值是x314在

5、ABC 中，A90 ,且 ABBC2, 则边 AB 的长为15对于连续函数f ( x) 和 g ( x) ，函数 f (x)g ( x) 在闭区间 a, b 上的最大值称为f (x) 与g( x) 在闭区间 a, b 上的 “绝对差 ”，记为( f (x), g (x). 则(1x3 ,1x22x)ax b2 x 33216已知点 P(t,t ), tR ，点 M 是圆 x2( y1) 21上的动点，点 N 是圆 (x2) 2y 2144上的动点，则 | PN | PM|的最大值是三、解答题：（本大题共6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10 分）在A

6、BC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为a、b、c ，向量p(1sin A, 12), q(cos 2A, 2sin A) ，且 p / q 7（）求 sin A 的值；（）若 b2,ABC 的面积为 3 ，求 a 用心爱心专心-2-18（本小题满分12 分）已知等差数列an 满足： a37 ， a5 a726 an 的前 n 项和为 Sn （）求 an 及 Sn ；（）令 bn=1（ nN* ），求数列bn 的前 n 项和 Tn an2119（本小题满分12 分）如图， DC平面 ABC， EB/DC， AC=BC=EB=2DC=2，ACB90 ，P、 Q 分别为 DE、AB 的中点。（

7、）求证：PQ/ 平面 ACD；（）求几何体BADE 的体积；（）求平面ADE与平面 ABC所成锐二面角的正切值。20（本小题满分12 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩， 经预测， 一个桥墩的工程费用为256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x ) x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。（）试写出y 关于 x 的函数关系式；（）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？21（本小题共12 分）已知抛物线C: y 22 px( p0) 上横坐标为

8、4 的点到焦点的距离为5（）求抛物线C 的方程；（）设直线ykxb 与抛物线C 交于两点A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，且 | y1y2 |a（ a0 ，且 a 为常数）过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交抛物线于点D，连结 AD、BD得到ABD 用心爱心专心-3-（ 1）求证： a2 k 2 16(1 kb) ；（ 2）求证： ABD 的面积为定值22（本小题共12 分）已知函数12(0)f (x)ln x, g(x)axbx a2（）若 a2时，函数 h( x)f ( x)g( x), 在其定义域是增函数，求b 的取值范围；（）在（1）的结论下，设函数(

9、 x)e2 xbex , x 0, ln 2, 求函数( x) 的最小值；（）设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C2 交于 P、 Q，过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M 、N，问是否存在点 R，使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N处的切线互相平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由。2011 年高三第一次联合考试数学答案（理科）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）DCBBACCBCAAB二、填空题：131314215 1016 23三、解

10、答题：17 （本小题共10 分）（） p / q12(1sin A)2sin A ， (2 分)cos2 A76(12sin 2 A)7sin A(1sin A) ， 5sin 2 A 7sin A 60 ，(4 分)3. (sin A舍)(5分 )sin A25（）由 S ABC1 bc sin A3, b2 ，得 c5 ， (6 分)2又 cos A1sin 2A4(7 分)5a2b2c22bc cos A42522 5cos A 29 20cos A ， (8 分)当 cos A4 时， a213,a13 ； (9 分)5当 cos A4 时， a245,a3 5 (10 分)518（本

11、小题共12 分）用心爱心专心-4-（）设等差数列an 的首项为 a1 ，公差为 d,(1 分)a37, a5a726,a12d7, 2a110d26, 解得： a13, d2, (4 分)故 an2n1, snn(n2) (6分 )（）21,21 4 (1) ，故1111(8 分)annann nbn4n(n1)(n n)41Tnb1b2. bn1(11111111n422.n)(1)4(n 1)3n14n 1所以数列bn的前 n 项和 Tn=n(12 分 )4(n1)19（本小题共12 分）（）证明：取BC 的中点 M ，连接 PM ,QM ，易证平面 PQM 平面 ACD又 PQ 平面 P

12、QM . PQ平面 ACD （分）（） DC平面 ABCACDC ,又ACBC,AC 平面 BCDE （ 分）SB ADESA-BDE1SBDEAC4（分）33（） 延长 BC、 ED, 交于点 F , 连接 AF ,则AF为所求二面角的棱，易知 CF BC2,过C作CGAF于G, 连接DG,由已知， DGC为所求二面角的平面角， （ 10 分）因为 CD=1,易得 CG= 2,所以 tanDGC2（12 分）2注：用向量法请对应给分（法 2）解：以 C 为原点， CA、 CB、CD 所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系C xyz,则A（2，0，0）B（0，2，0）C（0，0，0）

13、D（0，0， 1）E（0，2，2）则A D( 2,0,1)D,E( 0 , 2 ,C1)D,( 0 设,0面 ADE 法向量为 n ( x, y, z)nAD02xz0则2 yz0nDE0可取 n(1,1,2)，则 cosCD , nCD n6CDn3即面 ADE与面 ABC 所成的二面角余弦值为63易得面 ADE 与面 ABC所成二面角的正切值为2（12分）220（本小题共12 分）用心爱心专心-5-（）设需要新建 n 个桥墩， (n 1)xm，即 n= m 1（3 分）x所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+x )x=256( m -1)+m (2x ) xxx256 xmx2m2

14、56. （6 分）x256m13m3（）由（）知，22f '( x)x22mx2x2 ( x512). （7 分）3令 f '(x)0 ，得 x 2512 ，所以 x =64 （ 8 分）当 0< x <64 时 f'( x) <0，f (x) 在区间（ 0， 64）内为减函数； （ 9 分）当 64 x640时， f '(x) >0f (x) 在区间（ 64，640）内为增函数， （ 10分)所以 f (x) 在 x =64 处取得最小值，此时，nm164019. （11 分）x64故需新建 9 个桥墩才能使y 最小。 （12 分）21

15、（本小题共 12 分）（）依题意得：4p5 ，解得 p2 所以抛物线方程为y24x (4 分)2（）（1）由方程组ykxb,4 y4b0 （）y24x,消去 x 得： ky 2依题意可知： k0 由已知得 yy4， y y4b22(6分)1k1k由y1 y2a ， 得 ( y1y2 )24 y1 y2a2，即161b 6 a2 ， 整 理 得k 2k16 16kba2k 2 所以 a2 k 216(1kb)(8 分)（ 2）由（ 1）知 AB 中点 M (2bk2D (12(9 分)k2, )，所以点2, ) ， kkk依题意知 S ABD1 DMy1y211bka (10 分)22k 216

16、16kb ，得 1kb1 1bka又因为方程 （）中判别式0 所以 S ABDk 2，2由（）可知 1bka2 k2，所以 S ABD1a2a3 (11 分 )16216a32又 a 为常数，故 S ABD 的面积为定值(12分)22（本小题共 12 分）（）依题意： h(x)ln xx 2bx.用心爱心专心-6- h( x)在( 0,) 上是增函数，h( x)12xb0对 x(0,) 恒成立， （ 2x分） b12x. x0,则 12x22. b 的取值范围为 (,22. （ 4 分）xx（）设 tex , 则函数化为 yt 2bt ,t 1,2 y(tb2b 2. 当b2b22时 ,函数

17、y在1,2 上为增函数，)41,即22当 t=1 时， yminb1.(5 分)当bb,b212,即 4 b2时,当 t时ym i n;(6)224 分当b2,即 b4时,函数 y在 1,2 上为减函数，2当 t=2 时，ymin4bb2 . (7分)综上所述，当2b22时 ,(x)的最小值为 b 1.当4b2时 ,( x)的最小值为b2.2当b4时,( x)的最小值为 42b (8分)（）设点 P、 Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), (x2 , y2 ), 且0x1x2 .则点 M、 N 的横坐标为 xx1x2 .2C1 在 M 处的切线斜率为k12. C2 在点 N 处的切线斜率k2a( x1x2 ).x1x22b假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行，则k1 k2即2a( x1x2 )b.x1x22则 2( x2x1 )a( x22x12 )b( x2x1 )( a x22bx2 ) ( a x12bx1 )y2