概率论与数理统计复习资料知识点总结

1、学习必备欢迎下载概率论与数理统计第一章随机事件与概率1事件的关系ABABABABAAB2运算规则（1） ABBAAB BA（2） ( A B) C A (B C)(AB)C A(BC)（3） ( A B)C (AC) (BC)(AB) C (A C)(B C)（4） ABABABAB3概率 P( A) 满足的三条公理及性质：（1）0 P(A) 1（2）P( ) 1nn（ 3）对互不相容的事件12, An ，有 P(Ak )P( Ak )（ n 可以取）A,A ,k1k 1（4） P( )0（5） P( A) 1 P( A)（6）P( AB) P(A) P(AB) ，若 AB ，则 P(BA)

2、P(B) P(A) ，P( A) P(B)（7） P( A B) P(A) P(B) P(AB)（8） P( ABC )P( A) P( B)P(C)P( AB)P(AC)P(BC ) P( ABC)4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（ 1）定义：若 P(B)0，则 P(A|B)P( AB)P( B)（ 2）乘法公式： P( AB) P(B) P( A | B)若 B1,B2,Bn 为完备事件组，P(Bi )0 ，则有n（ 3）全概率公式：P( A)i 1P( Bi )P( A | Bi )（ 4）Bayes 公式：P( Bk| A)P( Bk ) P( A | Bk )nP

3、( Bi )P( A | Bi )i17事件的独立性：A, B 独立P( AB )P( A) P( B)（注意独立性的应用）学习必备欢迎下载第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，P( X xi ) pi 满足（ 1） pi0 ，（ 2）pi =1i（ 3）对任意 DR， P(XD )pii: xi D2 连续随机变量：具有概率密度函数f (x) ，满足（ 1） f ( x)0,f ( x) dx1；-（ 2） P(aX b)bR， P(Xa) 0f ( x)dx ；（ 3）对任意 aa3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布 B(1, p)P(X1)

4、p ， P( X 0)q 1pppq二项式分布 B(n, p)P( Xk )C nk p k qn k , k0,1,2,n ，npnpqkPoisson 分布 P()几何分布 G ( p)均匀分布 U (a,b)指数分布 E()正态分布 N(,2)P( Xk)ek!, k0,1,2,P(Xk)qk 1,1,2,1qp kpp 2f (x)b1 , axb ，a b(b a) 2a212f()ex,x011x21( x) 2f (x)e22224 分布函数F ( x)P( Xx) ，具有以下性质（1）F()0, F()1；（ 2）单调非降；（ 3）右连续；（ 4） P(aXb)F (b)F (

5、 a) ，特别 P( Xa) 1 F (a) ；（ 5）对离散随机变量，F ( x)pi ；i: xix（ 6）对连续随机变量， F ( x)x' (x)f (x)f (t )dt 为连续函数， 且在 f ( x) 连续点上， F5 正态分布的概率计算以( x) 记标准正态分布N ( 0,1) 的分布函数，则有（ 1） (0)0.5 ；（ 2） ( x) 1( x) ；（ 3）若 X N ( ,2 ) ，则 F ( x)( x) ；学习必备欢迎下载（ 4）以 u 记标准正态分布N (0,1) 的上侧分位数，则 P( X u )1(u )6 随机变量的函数Yg( X )（ 1）离散时，求

6、Y 的值，将相同的概率相加；（ 2 ） X 连 续 ， g( x) 在 X 的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 ， 且 有 一 阶 连 续 导 数 ， 则fY ( y)f X ( g 1 ( y) | (g 1 ( y) ' |，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章随机变量的数字特征1期望(1) 离散时E( X )xi pi ， E( g( X )g (xi ) pi；ii(2) 连续时 E( X )xf ( x)dx ， E (g( X )g( x) f (x)dx ；(3) 二维时 E(g ( X ,Y)g( xi , y j ) pij ， E( g (X , Y)g( x

7、, y) f ( x, y)dxdyi , j(4) E(C) C ；（5） E(CX ) CE(X ) ；（6） E(XY)E(X)E(Y) ；（7） X ,Y 独立时， E( XY)E( X )E(Y)2方差（1）方差 D(X)E(XE(X)2E(X 2)(EX )2，标准差(X)D(X) ；（2） D(C)0, D(XC)D(X)；（3） D(CX )C2D(X)；（4） X,Y 独立时， D(XY)D(X)D(Y)3协方差（ 1） Cov ( X ,Y )E( XE( X )(YE(Y )E( XY )E( X )E(Y ) ；（ 2） Cov ( X ,Y)Cov (Y, X ),

8、Cov (aX ,bY )abCov( X ,Y) ；（ 3） Cov( X 1X 2 ,Y )Cov( X 1 ,Y)Cov ( X 2 ,Y ) ；（ 4） Cov( X ,Y)0 时，称 X ,Y 不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（ 5） D ( XY )D ( X )D (Y)2Cov ( X ,Y)学习必备欢迎下载4相关系数XYCov ( X ,Y)；有 |XY |1，|XY |1a, b, P(YaXb) 1(X ) (Y)5 k阶原点矩kE( X k ) ， k阶中心矩k E( XE( X ) k第五章大数定律与中心极限定理1 Chebyshev 不等式P| XE(

9、X)|D(X )或P| XE(X) | 1D(X)222大数定律3中心极限定理（1）设随机变量 X1,X2, X n 独 立 同 分 布 E( X i ), D ( X i )2 ， 则nn2)，或1n2X inX i N ( n, nX i N ( ,)或 i 1 N (0,1) ，i 1近似n i 1近似nn近似（ 2 ） 设 m 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 A 发 生 的 次 数 ， P( A)p ， 则 对 任 意 x ， 有lim P m npx( x) 或理解为若 X B(n, p) ，则 X N (np, npq)nnpq近似第六章样本及抽样分布1总体、样本（ 1）简

10、单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（ 2）样本数字特征：1n2，D(X)样本均值 XX i （ E( X )）；n i 1n样本方差S21n11nS( X i X ) 2n1 i 1n( X iX ) 2（E(S2 )2）样本标准差i1样本 k 阶原点矩k1nX ik，样本 k 阶中心矩 k1n( X iX ) kn i 1n i12统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1） 2 分布2X 12X 22X n22 (n) ，其中 X1,X2, X n 独立同分布于标准正态分布 N (0,1)，若X2 ( n1 ),

11、Y 2 (n2 ) 且独立，则X Y 2(n1 n2 ) ；学习必备欢迎下载（ 2） t 分布 tX t (n) ，其中 X N (0,1), Y 2 (n) 且独立；Y / n（3） F 分布FX / n1 F ( n1 ,n2 ) ，其中 X 2 (n1 ),Y 2 ( n2 ) 且独立，有下面的Y / n2性质1 F (n2 , n1 ),F1 ( n1 , n2 )F1F( n2 , n1 )4正态总体的抽样分布(,2/) ；1n22（ 1）；XNn（ ）2( X i) (n)2i 1（ 3）(n1) S22( n1)且与 X独立；（4） tX t (n 1) ；2S /n（ 5） t(X Y) (12 )n1n2 t (n1 n22)， S2(n1 1)S12(n21)S22Sn1n2n1n222/2（6） FS11 F ( n11, n21)2/2S22第七章参数估计1矩估计：（ 1）根据参数个数求总体的矩；（ 2）令总体的矩等于样本的矩；（ 3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（ 1）写出极大似然函数； （ 2）求对数极大似然函数（ 3）求导数或偏导数； （ 4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计 （如无解回到 （ 1）直接