泛函分析知识点

1、名师总结优秀知识点泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1. 距离空间的定义：设 X 是非空集合，若存在一个映射d：X×X R，使得x,y,zX, 下列距离公理成立：（1）非负性： d(x,y) 0， d(x,y)=0x=y;（ 2）对称性： d(x,y)=d(y,x);（ 3）三角不等式： d(x,y) d(x,z)+d(z,y);则称 d(x,y)为 x 与 y 的距离， X 为以 d 为距离的距离空间，记作（X， d）2. 几类空间例 1 离散的度量空间例2 序列空间 S例 3 有界函数空间 B(A) 例 4 可测函数空 M(X)例

2、5 Ca,b 空间 即连续函数空间例 6 l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1. 开球定义设（ X,d）为度量空间，d 是距离，定义U(x 0,) x X | d(x, x 0) <为 x0 的以为半径的开球，亦称为x0 的一领域.2.极限定义若 x n X,x X, s.t. lim d xn , x0 则称 x 是点列 x n 的极限 .n3. 有界集定义若 d Asup d x, y，则称 A 有界x, y A4. 稠密集定义 设 X 是度量空间， E 和 M 是 X 中两个子集，令 M 表示 M 的闭包，如果 E M , 那么称集 M 在集 E 中稠密，当 E=X 时称

3、 M 为 X 的一个稠密集。5. 可分空间定义 如果 X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。第三节连续映射1.定义设 X=(X,d),Y=(Y ,d )是两个度量空间， T 是 X 到 Y 中映射， x0X ,如果对于任意给定的正数，存在正数0 ，使对X 中一切满足dx, x0的 x，有d Tx,Tx0，名师总结优秀知识点则称 T 在 x0 连续 .Y, dX 连续的充2.定理 1设 T 是度量空间（ X,d ）到度量空间中的映射，那么 T 在 x0要条件为当 xnx0n时，必有 TxnTx0 n3.定理 2度量空间 X 到 Y 中的映射 T 是 X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开

4、集M 的原像T 1M 是X中的开集 .第四节柯西（ cauchy）点列和完备度量空间1.定义设 X=(X,d) 是度量空间， xn 是 X 中点列，如果对任意给定的正数0 ，存在正整数 NN,使当 n,m>N 时，必有d xn , xm，则称 xn是 X 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d ）中每个柯西点列都在（X,d ）中收敛，那么称（X,d ）是完备的度量空间 .【注意】（ 1） Q 不是完备集（ 2） Rn 完备（ 3） cauchy 列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy 列.（ 4）Ca,b 完备2.定理第五节完备度量空间 X 的子空间度量空间的完备化M 是完备空间

5、的充要条件为M 是 X中的闭子空间.1.定义设（ X,d ）,( X, d )是两个度量空间，如果存在X 到X上的保距映射T ，即 dd x, y ，则称 （X,d ）和 (X , d )等距同构，此时T 称为X 到 X上等距同构映射。2.定理1（度量空间的完备化定理）设 X= （X,d ）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=( X, d )，使X与X的某个稠密子空间W 等距同构， 并且X在等距同构意义下是唯一的，即若 (X , d )也是一完备度量空间， 且 X 与 X 的某个稠密子空间等距同构，则 (,与,Xd )( X等距同构。d )3.定理 1 设 X=（X,d）是度量空间，那么

6、存在唯一的完备度量空间X =( X , d )，使 X 为 X 的稠密子空间。第六节 压缩映射原理及其应用1.定义设 X 是度量空间，T 是 X 到 X 中的映射，如果存在一个数， 0<<1，使得对名师总结优秀知识点所有的 x, yX ,d Tx, Tyd x, y ,则称 T 是压缩映射。2.定理 1（压缩映射定理） （即 Barnach 不动点定理）设 X 是完备的度量空间，T 是 X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x, 有且只有一个解）.补充定义：若Tx=x, 则称 x 是 T 的不动点。x 是 T 的不动点x 是方程 Tx=x 的解。3.定理

7、2设函数fx, y 在带状域axb,y中处处连续，且处处有关于y 的偏导数f y'x, y .如果还存在常数m 和 M 满足0mf y' x, yM , mM ,则方程 fx, y0 在区间a,b 上必有唯一的连续函数yx 作为解：fx,x0, xa,b第七节线性空间1.定义 1设 X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：（1）关于加法成为交换群，即对任意 x,y X ，存在 u X 与之相对应，记为 u=x+y, 称为 x 和 y 的和，满足1）2）x y y x ；x y z x y z 任何 x, y, zX ；

8、3）在 X 中存在唯一元素，使对任何x X,成立xx ，称为 X 中零元素；4X中每个元素x，存在唯一元素xX，使xx，称x为 x 的负元素， 记为x ；）对（2）对于 X中每个元素 x X ，及任意实数（或复数）a，存在元素 u X 与之对应，记为 uax ，称为 a 与 x 的数积，满足1） 1xx ；2） a(bx)ab x 对任意实数（或复数）a 和 b 成立；3） ab xaxbx, a x y axby ，则称 X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X 是实（复）线性空间。例 1 Rn,对 Rn 中任意两点 x=

9、(1,2,n ),y=( 1,2,n)和任何实 (复)数a,定义x+y=( 1+1, 2+2, , n+n),ax=(a 1,a 2, ,an).名师总结优秀知识点容易验证 Rn 按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间 .2.定义 2设 x1 ,x2,xn 是线性空间 X 中的向量 ,如果存在 n 个不全为零的数 1,2,n,使 1 x1 +2 x2 + +nxn =0, (1)则称 x1,x2 , ,xn 线性相关 ,否则称为线性无关 .不难看出 ,x1n2 ,xn 线性无关的充要条件为 若i xi 0 ,x ,i 1必有 1 =2 = =n =0.3.定义 3设 M 是线性空间 X 的一个

10、子集 ,如果 M 中任意有限个向量都线性无关 ,则称 M 是 X 中线性无关子集 .设 M 和 L 为 X 中两个子集 ,若 M 中任何向量与 L 中任何向量都线性无关 ,则称 M 和 L 线性无关 .4.定义 4 设 X 是线性空间 , M 是 X 中线性无关子集 ,如果 ·spanM= X,则称 M 的基数为 X 的维数 ,记为 dim X, M 称为 X 的一组基 .如果 M 的基数为有限数 ,则称 X 是有限维线性空间 ,否则称 X 是无限维线性空间 .如果 X 只含零元素 ,称 X 为零维线性空间 .第八节赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间1.定义 1 设 X 是实

11、(或复 )的线性空间 ,如果对每个向量 x X,有一个确定的实数 , 记为 x与之对应 ,并且满足 :1° x 0,且 x=0 等价于 x=0;2° x=| x其中 为任意实 (复 )数;3° x+y x + y ,x,y X,则称 x为向量 x 的范数 ,称 X 按范数 x成为赋范线性空间 .2. 引理 1(H?lder 不等式 ) 设 p>1, 111， fLp a,b , g Lq a, b 那么 f(t)g(t)pq在 a,b上 L 可积 ,并且bf t g t dtf p g qa3 引理 2(Minkowski 不等式 ) 设 p1,f,g L

12、pa,b, 那么 f+g L pa,b, 并且成立不等式f+gp f p +gp4.定理 1当 p1 时,L pa,b按 (6)中范数 fp 成为赋范线性空间 .5.定理 2L p a,b(p 1)是 Banach 空间 .6.定理 3设 X 是 n 维赋范线性空间 ,e1,e2,en是 X 的一组基 ,则存在常数 M 和M ,使得对一切nxkekk 1成立Mx1n 22kMx .k 17.推论 1 设在有限维线性空间上定义了两个范数x和 x 1 ,那么必存在常数M 和M ,使得名师总结优秀知识点M x x 1 M x .8. 定义 2 设 (R1, x 1 )和 (R2 , x 2) 是两个

13、赋范线性空间.如果存在从 R1 到 R2 上的线性映射 和正数 c1 ,c2 ,使得对一切 x R1,成立c1 x2 x 1 c2 x 2则称 (R1 ,x 1)和(R 2, x 2 )这两个赋范空间是拓扑同构的 .8.推论 2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构 .(二)有界线性算子和连续线性泛函第一节有界线性算子和连续线性泛函定义 1设 X 和 Y 是两个同为实 (或复 )的线性空间 ,D 是 X 的线性子空间 ,T 为 D 到 Y 中的映射,如果对任何 x,y D, 及数 ,有T(x+y)= Tx+ Ty,(1)T( x)= Tx,(2)则

14、称 T 为 D 到 Y 中的线性算子 ,其中 D 称为 T 的定义域 ,记为 D(T),TD 称为 T 的值域 ,记为R(T), 当 T 取值于实 (或复 )数域时 ,就称 T 为实 (或复 )线性泛函 .定义 2设 X 和 Y 是两个赋范线性空间 ,T 是 X 的线性子空间 D(T) 到 Y 中的线性算子 ,如果存在常数 c,使对所有 xD(T), 有 Tx c x ,(3)则称 T 是 D(T) 到 Y 中的有界线性算子 ,当 D(T)= X 时 ,称 T 为 X 到 Y 中的有界线性算子,简称为有界算子 .对于不满足条件(3) 的算子 ,称为无界算子 .本书主要讨论有界算子 .定理 1设

15、 T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子 ,则 T 为有界算子的充要条件为 T是X上连续算子 .定理 2设 X 是赋范线性空间 ,f 是 X 上线性泛函 ,那么 f 是 X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间 N(f) 是 X 中的闭子空间定义 3T 为赋范线性空间X 的子空间 D(T) 到赋范线性空间 Y 中的线性算子 ,称TTx(4)supx 0xx D T为算子 T 在 D(T) 上的范数 .引理 1设 T 是 D(T) 上有界线性算子 ,那么Tsup Txsup Tx（ 6）x D Tx D Tx 1x 1 .有界线性算子和连续线性泛函的例子例 6赋范线性空间 X 上的相似算子 Tx= x 是有界线性算子 ,且 T =| |,特别 I X =1, O =0.第二节有界线性算子空间和共轭空间 .有界线性算子全体所成空间定理 1当 Y 是 Banach空间