数学物理方程ppt24

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1Email: 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数任课教师：杨春任课教师：杨春数学科学学院数学科学学院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2本次课主要内容本次课主要内容贝塞尔函数及其性质贝塞尔函数及其性质(一一)、贝塞尔方程的引入、贝塞尔方程的引入(二二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数(三三)、贝塞尔函数的母函数及递推公式、贝塞尔函数的母函数及递推公式 0.8 1 0.6 0.4

2、0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3例例1、 设有半径为设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律温度分布规律 222222222220,0txyRuuuaxyRtxyux yu(一一)、贝塞尔方程的引入、贝塞尔方程的引入定解问题为：定解问题为：采用分离变量法求解采用分离变量法求解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4)()

3、,(),(tTyxVtyxu2( )( )0(1)T taT t (1)、时空变量分离、时空变量分离令：令：得：得：22220(2)VVVxy(2)、空间变量分离、空间变量分离对对(2)，采用极坐标并考虑边界条件得：，采用极坐标并考虑边界条件得：22222110,()(3)0RVVVVRV 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5)()(),( PV22( )( )() ( )0(5)PPP 令：令：得：得：( )( )0(4)(3)、求固有值问题、求固有值问题 ( )( )02 固有值为：固有值为：2,(0,1,2.)nn

4、n 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6), 2 , 1( ,sincos)()(2)(00nnbnaannn为常数222( )( )() ( )0(6)( )0,(0)PPnPP RP 固有函数为：固有函数为：另一个固有值问题为：另一个固有值问题为：为使该分离变量求解能进行下去，需要求解为使该分离变量求解能进行下去，需要求解(6)中中常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方程。程。再看一个例子：再看一个例子： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1

5、.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7例例2、在圆柱内传播的电磁波问题。设沿、在圆柱内传播的电磁波问题。设沿z方向均匀的方向均匀的电磁波在底半径为电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初速为向导数为零，从静止状态开始传播，初速为1-2 2 。求。求其传播规律（假设对极角其传播规律（假设对极角 对称对称,即园对称）即园对称） 2102001(),(0,01)0,0,1tttttua uutuuuu 定解问题为：定解问题为：(1)、分离变量、分离变量)()(tTRu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0

6、.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 80)()(2 tTatT220RRR22100(7)0,RRRRR (2)、求固有值问题、求固有值问题(7)中方程与中方程与(6)中方程形式相同！中方程形式相同！对对(6)中方程，作变换：中方程，作变换： 并记：并记：r( )rF rP 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9222( )( )() ( )0(8)r FrrF rrnF r 得到：得到：定义定义1：形如：形如(8)的常微分方程称为的常微分方程称为n阶贝塞尔方程，阶贝塞尔方程，n是实数或复数是实数或复数.

7、(二二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数假定方程形式为：假定方程形式为：0)(22222ynxdxdyxdxydx同时假定：同时假定：0n 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10假定方程有一个广义幂级数解假定方程有一个广义幂级数解, 其形式为其形式为 ：20120(),0ckkyx aa xa xa xa0c kkka x把假定解代入方程中确定把假定解代入方程中确定c与与ak (k=0,1,2,.)代入方程得代入方程得 ：0220.1.kkckxanxkckckc化简后得：化简后得：0.1.2

8、2221122022kkckkccxaankcxancxanc 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11于是得下列各式：于是得下列各式： 0)(220nca01221nca), 3 , 2( , 0222kaankckk于是得到：于是得到： nc01a暂取暂取 ： ，由此得由此得：nc 2(2, 3,.)(2)kkaakknk 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1201a由由 得：得： 07531aaaa022(22)aan而而062 4 6(22)

9、(24)(26)aannn042 4(22)(24)aann02( 1),1,2,2 4 62 (22)(24)(22 )mmaamm nnnm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13)()2)(1( !2) 1(20mnnnmamm于是得假定解的一般项为：于是得假定解的一般项为：)()2)(1(!2)1(220mnnnmxammnm012(1)nan为了简化上面系数的表示，特选取为了简化上面系数的表示，特选取 ：221( 1),0,1,2,2! (1)mmnmammnm 得得 ： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0

10、 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14于是得到于是得到n阶阶Bessel方程的一个特解为：方程的一个特解为：2120( )( 1),(0)2! (1)nmmnmmxy xnmnm定义定义2：n阶第一类阶第一类Bessel函数为：函数为：)0( ,) 1(!2) 1()(022nmnmxxJmmnmnmn取取 c=-n时时 ，用同样方法可得另一特解：，用同样方法可得另一特解： 220( )( 1),(0)2! (1)nmmnnmmxJxnmnm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15定义

11、定义3：负：负n阶第一类阶第一类Bessel函数函数为：220( )( 1),(0)2! (1)nmmnnmmxJxnmnm 对于正、负对于正、负n阶第一类贝塞尔函数，当阶第一类贝塞尔函数，当n为整数时，称为整数时，称为第一类整数阶贝塞尔函数，为第一类整数阶贝塞尔函数，n为分数时，称为第一类为分数时，称为第一类分数阶贝塞尔函数。分数阶贝塞尔函数。1()()0 , (0 )(1)21()(), (0 )(1)2nnnnxJxxnxJxxn由于当由于当n为非整数时有：为非整数时有：所以，正、负非整数所以，正、负非整数n阶贝塞尔函数是阶贝塞尔函数是n阶贝塞尔方程的两阶贝塞尔方程的两个线性无关特解，于

12、是得非整数个线性无关特解，于是得非整数n阶贝塞尔方程通解为：阶贝塞尔方程通解为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16)()(xBJxAJynn由达朗贝尔判别法：由达朗贝尔判别法：2221limlim04()mmmmaam mn所以，第一类贝塞尔函数的收敛域为：所以，第一类贝塞尔函数的收敛域为：0 x 第一类贝塞尔函数一般是级数表达式，但一些特殊阶第一类贝塞尔函数一般是级数表达式，但一些特殊阶贝塞尔函数有初等函数形式贝塞尔函数有初等函数形式(要关注！要关注！)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.

13、5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17例例1、试证半奇阶、试证半奇阶Bessel函数函数 xxxJsin2)(21022122121) 121(!2) 1()(mmmmmmxxJ证明：证明：12)12(531)23(mmm由于：由于： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18所以：所以：211022( 1)2( )sin(21)!mmmJxxxxmx例例2、求如下贝塞尔方程通解、求如下贝塞尔方程通解22221()04d ydyxxxydxdx解：这是解：这是1/2阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程122( )sin

14、Jxxx122()cosJxxx1222sincosyCxCxxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19整数阶贝塞尔函数整数阶贝塞尔函数2()2( )()( 1)2!(1)mnmnmnxxJxmmn性质：对于性质：对于n 阶整数阶贝塞尔函数有：阶整数阶贝塞尔函数有：( )( 1)( )nnnJxJx 证明：证明：令：令： 则则mnl220()2( )()( 1)2()! !lnnnlnlxxJxnll 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2020(

15、 )2( 1)( 1)( 1)( )! (1)l nnlnnlxJxlnl 该性质表明：对于该性质表明：对于n 阶整数阶贝塞尔函数，阶整数阶贝塞尔函数，Jn(x)与与J-n(x)是线性相关的，因此，不能由它们直接的线性组合写出是线性相关的，因此，不能由它们直接的线性组合写出对应的方程的通解。但如果定义：对应的方程的通解。但如果定义：( )cos( )( )*sinnnJxJxY xLim可以验证可以验证*为为n阶贝塞尔方程的特解，且可以证明：阶贝塞尔方程的特解，且可以证明：00( ),( )(nnxxLimY xLimJxC 常数） 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5

16、1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21定义第二类定义第二类Bessel函数为：函数为： 2100200( 1) ( )2212( )( )()2(!)1mmmmkxxY xJx Lncmk( )cos( )( )*sinnnJxJxY xLim利用洛比达法则可得：利用洛比达法则可得： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 225772. 0)131211 (LnnnLimcn结论：不论结论：不论n是否为整数，是否为整数，Bessel方程的通解都可表方程的通解都可表示为示为 ：)()(xBYxAJynn12021

17、100021(1)!( )( )()( )2!2( 1) ( )1112()!()!11nnmnnmmnmn mmmkkxnmxY xJx Lncmxm nmkk 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 231、整数阶、整数阶Bessel函数的母函数（生成函数）函数的母函数（生成函数） 20( )2!kxzkkxezk120( )2()!lxzllxezl(三三)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式、贝塞尔函数的母函数及其递推公式 考虑函数考虑函数 (x为参数为参数)在在0|z| +内罗朗展式：内罗朗展式：1()2(,)xzzGx

18、ze所以：所以： 1()20020(1)()! !2(1)()( )()! ! 2xlzklklzklllnnnnnlnxezk lxzJx znll 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24为整数阶为整数阶Bessel函数的母函数。函数的母函数。1()2( , )xzzG x ze定义：称函数定义：称函数如果令：如果令： ，则：，则：iiez cos01( )2( )cosixnnneJxi Jxn当当x为实数时，通过等式的比较可得：为实数时，通过等式的比较可得：021cos( cos )( )2( 1)( )cos2mmmxJxJxm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25210sin( cos )2( 1)( )cos(21)mmmxJxm例例3、 用母函数证明整数阶贝塞尔函数加法公式：用母函数证明整数阶贝塞尔函数加法公式： kknknyJxJyxJ)()()(1()exp()2nnnxyJxy zzz证明：在母函数等式中用证明：在母函数等式中用x+