高等数学第六版第一章第八节连续函数的运算及性质

1、作业作业P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6P74 (习题110） 1; 2 ; 3; 5; 6复习 第一章（习题课） *P65 3; 4 ; 5内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数连续性的运算法则一、函数连续性的运算法则 第九节二、初

2、等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 定理定理2. 连续的单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续一、函数连续性的运算法则一、函数连续性的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 连续函数的

3、复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.即若 函数)(xu,0连续在点 x00()xu0( )yf uu函数在点连续00lim( )() ,uuf uf u则)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf即复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1）复合函数连续性定理可以写成下面两种形式00lim

4、 ( )lim( )(1)xxxxfxfx00lim ( )lim( )(2)xxuufxf u(1)式表示, 在定理的条件下, 函数符号和极限号可交换.(2)式表示, 在定理的条件下, 可通过代换化复合函数为简单函数.2）由于连续是由极限定义的,因此计算涉及连续函数的极限时,实际是如下计算的：0lim( )xxf x1. 0lim( ( )xxf g x2. 00(lim )()xxfxf x0(lim( )xxfg x0( (lim)xxf gx 0( ()f g x 3）关于连续函数运算法则,有如下结果:(1)函数 f (x) 在 x0 处连续, g (x) 在 x0 处间断,则F(x)

5、= f (x) + g (x)在 x0 处必间断.(2)函数 f (x)与g (x)在 x0 处都间断,则F(x) = f (x) g (x)在 x0 处可能连续也可能间断.(3)函数 f (x)在 x0 处连续, g (x)在 x0 处间断,则F(x) = f (x) g (x)在 x0 处可能连续也可能间断.(4)函数 u=(x) 在 x0 处间断,u0=(x0) , y = f(u) 在 u0 处连续,则y = f (x) 在 x0 处可能连续也可能间断.二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间

6、内连续例如例如,21yx的定义域为 -1，1 ，则连续区间为1, 1(端点为单侧连续)，lnsinyx的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 设)()(xgxf与均在,ba上连续,证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、例题分析三、例题分析例例2.

7、求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim010log lim(1)xaxx1loglnaea例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当时, 有0 xlog (1) lnaxxa1ln ,xaxaln(1) ,xx1xex机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求3sin0lim(12 ).(1 )xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xx30sinlimln(1 2 )xxxe30lim26xxxee说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)

8、()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1,41,)(xxxxx例例5. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0( ),f xx若在点连续20( ),( )

9、fxf xx在是否连续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处间断,)(, )(2xfxf处处连续 .反之是否成立?提示提示:“反之” 不成立 .第十节 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结2.闭区间上连续函数的性质则设, ,)(baCxf在1)( )f x上达到最大值与最小值;上

10、可取最大与最小值之间的任何值;4) 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在2)( )f x,ba在3) ( )f x,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节一一、最值定理与有界性、最值定理与有界性 二、介值定理二、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第二章 *三三. 一致连续性一致连续性注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffb

11、xa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论(有界性定理). 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 说明：定理1的条件不满足

12、,结论不一定有,如(1) , (,),( )(,)a bf xx 改为在1(2) , ,( )(0,1)a bf xx改为有限非闭 如在上无界；1(3)( ) , ,( )(1)f xa bf xx x在上不连续 如 1,2, f在有间断在其上无界；上无界；证证:例例1. 证明: 若 令,)(limAxfx则给定,0,0X当Xx 时, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根据有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在(,) 内连续,lim( )xf x存在, 则)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1Myox机动 目录 上页 下页 返回

13、结束 定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )二、介值定理(0,1( )10 xxf xx1xyo1(0)(1)10,ff (0,1),( )0.f却没有使2)定理提供了判断 根的存在性的( )0f x 新方法. 1)( , )( ),a bf x在内连续的说明 ( )( )0,f af b满足( , ) ,( )0:a bf不一定有使，如例例2. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (

14、f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则,4,0)(上连续在闭区间xf例3. 13xex至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理 , )4,0(,0)(f使原命题得证 .)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上

15、页 下页 返回 结束 证明：例4 设( )0,1,f xC 证 若记( )( ),F xf xx由于( )0,1,F xC(0)(0)0且Ff (0)0,f (1)F又(1)0.1f ( )1,且 0f x 因此, 若(0)0F(1)0)F或则问题得证.若(0)0(1)0FF且，则由零点存在定理 (0,1),( )0.使F 即( ).f 0,1,( ).使 f ,0,1,( ).综上使 f 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(b

16、a)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(CfAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）开区间内的连续函数12( )0142xxf xxx如，(1,2)在上取不到 ；0112234xy( )yf x（2）闭区间上的不连续函数 (仍用此例)。 1)介值定理的条件不满足, 可能取不到 .2) , 若在fa b上严格单调，则介值定理中的 唯一；说明Mm , ,若 fC a b 3)则f(x)可以取到它最大值M与最小值 m 之间的一切值. (推论)y 123 根据最值定理 例5( )( , ),f xC a b设12,na

17、xxxb( , ),a b则至少 一点11( )().nkkff xn使证( )( , ),f xC a b1( ),nf xC x x121, ,( , ) ,nx xa b 11,()min ( )使nxxxff xm 12,()max ( ),nxxxff xM 根据最值定理推论于是( )(1,2,3,.)imf xM i11().nkkmf xMn1 ,( , ) ,nx xa b至少 一点11( )().nkkff xn使0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例6. 设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()

18、()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(aCx 易证0)()0(a1. 设一点2. 设( ) , ,f xC a b且( ),( ),f aaf