线性规划常见题型及解法(上课)

1、餡®观创曙c®圃凹型隠启温故1.不在3x+ 2y < 6表示的平面区域内的一个点是()2.已知点(3 ,1)和点(一4 ,a. mv7或m>24c m = 7 或 m = 24a. (0, 0)b(1, 1)c. (0, 2)d. (2, 0)6)在直线3x-2y + m = 0的两侧，贝!jb一7vmv24d. 一7wmw 24点p (x, y)3. 在zabc中，三顶点坐标为a (2 , 4) , b (一1, 2) , c (1 , 0 ) 在 abc内部及边界运动，则z=x-y的最大值和最小值分别是4. 在直角坐标系中，满足不等式x2-y20的点(x,

2、y)的集合(用阴影部分来表示)的 是()5.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )y > -2a. < 3x-2y + 6> 0x< 0y > -2c. v 3兀一2y+ 6>0x<0y >-2b < 3x 2y + 6> 0x<qy>-2d v 3x-2y+ 6 v 0x< 0由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行 域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类 常见题型。一、求线性目标函数的取值范4x + y =2x=2x<2例1、若x、y满足约束条件卜2

3、，则z=x + 2y的取值范围是 x + y >2a、2,6 b、2,5 c、3,6 d、(3,5解：如图，作出可行域，作直线/: x + 2y=0,将 /向右上方平移，过点a (2, 0)时，有最小值 2,过点b (2,2)时，有最大值6,故选a二、求可行域的面积2x+y-6>0例2、不等式组卜+y 3s0表示的平面区域的面积为()沙2a、4 b、1 c、5 d、无穷大求可行域中整点个数解：如图，作出可行域，aabc的面积即为所求，由梯形ombc 的面积减去梯形omac的面积即可，选b例3、满足| x|+|y|w2的点(x, y)中整点(横纵坐标都是整数)有()a、9 个 b.

4、10 个 c> 13 个 d、14 个x+y<2(x>0,y>0)解：|x|+|y|w2等价于x-y<2 (x>o,yo) -x+y<2 (xyo,yno)- y <2 (x y 0, y y 0)作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)，容易得到 整点个数为1 3个，选d四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。兀+y例4、已知x、y满足以下约束条件< “一 y + 5<0 使z二x + ay (a>0)取得最小值的最优解有 x<3无数个，则a的值为()a > 3 b > 3 c、 一1 d >

5、; 1o x=3 x解：如图，作出可行域，作直线/: x + ay=o,要使目标函数 z = x + ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将/向右 上方平移后与直线x+y=5重合，故a = 1 ,选dx>0,练习.已知实数小满足l<1,若目标函数"姒+歹(心0)取得最小值时2x-2y + l<0.【优解有无数个,则实数°的值为1d. 1l<xy<4例5 已知变量x, y满足约束条件2<x_y<2若目标函数z = ax+y (其中q>o)仅在点(3,1)处取得最大值，则°的取值范围为解析：如图5作出可行

6、域，由z = ax+y>y = -cix + z其表示为斜率为-a, 纵截距为z的平行直线系，要使目标函数z =(其中q>0)仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y =过a点且在直线x+y = 4,x = 3 (不含界线)之间。即cl v i q > 1 则a的取值范围为(l,+oo) ox-y=2 1)五、条件含参数形式,求目标函数最值范居点评：本题通过作出可行域,在挖掘-d与z的几何意义的条件下，借助用数 形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即 可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。x>0y>0例3、在

7、约束条件y +尢ss下，当3sw5时，目标函数z = 3x + 2y的最大值的变化范围是() y + 2x<4a6,15 b巧 c. 6,8 d. 7,8解析：画出可行域如图3所示，当3s$v4时，目标函数z = 3兀+ 2y在b(4 - y, 2$ - 4)处取得最大值，即= 3(4-5)+ 2(25-4) = a' + 4g 7,8)；当4gs5时，目标函数z = 3x + 2y在点£(0,4)处取得最大值,即 zmax =3x0+2x4 = 8,故zw7,8,从而选d;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数z关于s的函数关系是求解的关

8、 键。求非线性目标函数的最値（1 ）当目标函数形如z=x2+y2是点（x, y ）到原点的距离的平方 2x+y-2>0例5、已知x、y满足以下约束条件< x-2y + 4> 0 ,则z = x2+y2的最大值和最小值分别是（3x-y-3<0a、 13, 14c、 13, 一5b、 13, 2解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x, y）到原点的距离 的平方，故最大值为点a （2, 3）到原点的距离的平方， 即|a0|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的4平方，即为一，选cx> 1,例2、已知r-y + 15 0,则%2 + y2的最小值是2x-y

9、-2<03x - y - 3 = ()/|图2解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域， 而%2 + r表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知a (1, 2)是满足条件的最优解。x2 + y2的最小值是为5。点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优 解。(2)当目标函数形如z =工二巴时，可把z看作是动点p(x9 y)与定点q(b,a)连线的斜率，这样目标函数的 x-b最值就转化为pq连线斜率的最值。则丫的取值范围是().xy+2w0, 例 已知变量x, y满足约束条件5x1,、x+y-7w0,9(8, 5 u 6, +8(

10、c) (一8, 3 u 6, +oo)(d) 3, 6解析 z是可行域内的点m (x, y)与原点0(0, 0)连线的斜率，当直线过点 脊，时，f取得9y最小值三；当直线0"过点(1, 6)时，上取得最大值6.答案a0x求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x-y + m|<3表示的平面区域包含点(0, 0)和(-1,1),则m的取值范围是 ()a、(-3, 6) b、(0, 6) c、(0, 3) d、(-3, 3)j2无一丁+加+3>0m： |2x-y + m|<3 等价于 l2x-； + m-3<0由右图可知,故 0vmv3,选 c课后作业i.不等式卜

11、|+卜|<3表示的平面区域内的整点个数为（）a. 13 个b. 10 个c. 14 个d. 17 个x-y+5>02已知兀，y满足约束条件兀+丿°,贝lz = 4x-y的最小值为x < 3x + 2 y - 5 < 0y3己知兀，y满足 x>l,y>0 ，则;的最大值为，最小值为兀+2），-3*4.己知平面区域如右图所示，z = mx-y（m>q）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则加的值为720 丄2720d.不存在5. 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至 少买3件，

12、磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有种.（选做）.有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？种4轮船飞机小麦300吨150吨大米250吨100吨高中学生学科素质训练线性规划一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.不在3x+ 2y < 6表示的平面区域内的一个点是c. (0, 2)6)在直线 3x-2y + m = 02.a. (0, 0)b. (1, 1)已知点(3 ,1)和点(一4 ,a mv7或m>24c m=7或m = 24d. (2, 0)

13、的两侧，则(b. 7vmv24d. 7wm w243.2,则目标函数y的取值范围是4.a. 2 , 6 b. 2, 5(兀_+ 5)(兀+y)>0表示的平面区域是一个不等式5.6.c. 3, 6d- 3, 5a.三角形b.直角三角形 c.梯形在厶abc中，三顶点坐标为a (2 , 4) , b (-1, 2), 运动，则z=x-y的最大值和最小值分别是a. 3, 1b 一1, -3 c 1, 一3d.矩形(1,0),d. 3, -1点p (x, y)( )在aabc内部及边界在直角坐标系中，满足不等式x2-y20的点d, y)的集合(用阴影部分来表示) 是(7.不等式|彳+卜|<3

14、表示的平面区域内的整点个数为a. 13 个b. 10 个c. 14 个)&不等式| 2兀+ y +加|< 3表示的平面区域包含点(0,0)和点(-1,1),则m的取值范围是a. - 2 < m < 3 b. 0 < m < 6c. - 3 < m < 6 d. 0 < m < 39.已知平面区域如右图所示，z = mx + y（m > 0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则的值为二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）x-y+5>011.已知x, y满足约束条件>0,贝uz = 4x-y的最小值为

15、.x<3x+2y<812-已知约束条件（2x+y<8 ,目标函数z=3x+y,某学生求得y二一时，zmax= >这显然不合要 +333xg nye at求，正确答案应为兀=; y=; zmax=13某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件 至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有种.x + 2y 5 5 014. 已知y满足 x> ,v>0，则丄的最大值为，最小值为 三、解答题（本xx+2y-3>0大题共6题，共76分）15. 由ys2及同5）<忖+ 1围成的几何图形的面积是多少？

16、（12分）16.已知« g（0,2）,当a为何值时，直线厶：祇-2y = 2a-4与厶：2x + /y = 2+4及坐标轴围成的平面区域的面积最小？ （12分）17有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:种轮船飞机小麦300吨150吨大米250吨100吨在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？（12分）0<x<l18.设z = 2y-2x + 4,式中变量兀满足条件0<y<2 ,求z的最小值和最大值.（12分）2y-x>参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5

17、0分）题号12345678910答案dbaccbaaac二. 填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11一12.512. 3, 2, 1113.714.2, 0三、解答题（本大题共6题，共76分）15. （12分）解析:如下图由ys2及|*川忖+ 1围成的几何图形就是其阴影部分，且s =*42 - *21 = 37416. (12 分)解析:如图 v /, :y-2 = -(x-2)/./1 恒过 a 2)，交x轴分别为 3 (2一一,0),c(0,2-a)2a仏：y 2=:-寻(兀2)k恒过a(2,2),交兀,)轴分别为d (/+2,0),c(0,2+2)，acr4_ 0 v c/ v 2 2 一 v 0,2 g > 0 ,由题意知h与-及坐标轴围成的平面区域为acod,a1 .41 4°1 °15 sacod = seod 一 saeca =牙(力 + 2)(2 + ) - - ( + ) 2 = 6/-ci + 4 = (a-y + ,2 a 2 a24当d = £ 时 f(acod)min = -6x+3 >4017. (12分)解析:设轮船为兀艘、飞机为y架，则可得5x + 2y>30 ,目标函数z=x+y