湖南城市学院随机过程讲课件

1、3.1 线性变换的概念及基本定理线性变换的概念及基本定理3.2 随机过程的微分和积分随机过程的微分和积分3.3 随机微分方程随机微分方程3.4 随机过程通过线性系统的分析随机过程通过线性系统的分析第三章 随机过程的线性变换 3.5 随机序列的线性变换随机序列的线性变换3.1.13.1.1、线性变换的基本概念、线性变换的基本概念1 1、普通函数的变换概念，假设给定一个函数、普通函数的变换概念，假设给定一个函数x(t)x(t)，如果按照某种，如果按照某种法则法则T T能够确定一个新的函数能够确定一个新的函数y(t)y(t)，那么我们就说，那么我们就说y(t)y(t)是是x(t)x(t)经过经过变换

2、变换T T后的结果，记为：后的结果，记为： y(t)=Tx(t)y(t)=Tx(t)，其中，其中T T称为从称为从x(t)x(t)到到y(t)y(t)的变换。的变换。 定义定义3.1 3.1 给定一个随机过程给定一个随机过程X(t)X(t)，对于他的每一个样本函数，对于他的每一个样本函数x(t)x(t)，都能够确定一个对应的函数，都能够确定一个对应的函数y(t)y(t)，于是我们得到一个新的，于是我们得到一个新的随机过程随机过程Y(t), Y(t), 记为：记为： Y(t)=TX(t)Y(t)=TX(t)，其中，其中T T称为从随机过程称为从随机过程X(t)X(t)到到Y(t)Y(t)的变换。

3、的变换。Tx(t)（样本函数）X(t)（随机过程）y(t)（样本函数）Y(t)（随机过程）图图1 随机过程的变换示意图随机过程的变换示意图2、对于变换可以分为确定性变换和随机性变换。即，如果、对于变换可以分为确定性变换和随机性变换。即，如果e1和和e2是两个实验结果，且有是两个实验结果，且有x(t,e1)=x(t,e2)，其变换结果有，其变换结果有y(t,e1)=y(t,e2)，则称变换则称变换T为确定性变换，否则称为随机性变换。为确定性变换，否则称为随机性变换。线性变换线性变换线性系统：就是工作过程可以用线性微分方程描述的系统，对于线性系统：就是工作过程可以用线性微分方程描述的系统，对于离散

4、信号和系统而言，凡是工作过程可用线性差分方程描述的系离散信号和系统而言，凡是工作过程可用线性差分方程描述的系统称为线性系统。统称为线性系统。高放变频中放检波限幅低放负载天线本振图图2 通信接收机典型结构图通信接收机典型结构图线性系统非线性系统3、设某线性系统输入端加一信号、设某线性系统输入端加一信号x(t)，则在输出端得到响应信号，则在输出端得到响应信号y(t)，y(t)可以看作是线性系统对信号可以看作是线性系统对信号x(t)经过一定变换的结果。如经过一定变换的结果。如果这个变换果这个变换L是线性的，我们表示为是线性的，我们表示为y(t)=Lx(t)，则称输出，则称输出y(t)是是输入输入x(

5、t)的线性变换关系。的线性变换关系。 定义定义3.2 3.2 设有任意设有任意n n个随机变量个随机变量A Ak k以及任意以及任意n n个随机信号个随机信号X Xk k(t)(k=1,2,n),(t)(k=1,2,n),若若则称变换则称变换L L为线性变换。为线性变换。注意：注意：对于线性变换对于线性变换L L，必须保证无论，必须保证无论Ak(k=1,2,n),为何值，也为何值，也无论无论Xk(t)(k=1,2,n),为何种函数，上述关系式一定能够成立。为何种函数，上述关系式一定能够成立。4、线性变换的性质：、线性变换的性质：00( )( )nniiiiiiLaX taL X t( )( )

6、L kX tkL X t()()Y tL X t叠加性叠加性比例性比例性时不变性时不变性 定 义定 义 3 . 3 3 . 3 对 于 线 性 变 换对 于 线 性 变 换 L ,L , 即即 Y ( t ) = L X ( t ) Y ( t ) = L X ( t ) ， 如 果， 如 果Y(t+)=LX(t+)成立，其中成立，其中为为任意常数，即输入的延时对输出任意常数，即输入的延时对输出也只产生一个相应的延时，则称也只产生一个相应的延时，则称L为线性时不变的。为线性时不变的。L所对应的系所对应的系统称为线性时不变系统。统称为线性时不变系统。3.1.23.1.2、线性变换的基本定理、线性

7、变换的基本定理 定理定理3.1 3.1 设随机过程设随机过程X(t)X(t)，且，且Y(t)=LX(t)Y(t)=LX(t)，其中，其中L L是线性变是线性变换则有换则有即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。由于期望通过线性变换后的结果。由于因此该定理说明：当把因此该定理说明：当把L L和和E E看作算子的话，则看作算子的话，则L L和和E E算子的次序是算子的次序是可以交换的。可以交换的。 定理定理3.2 3.2 设随机过程设随机过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)，且，且Y(t)=LX(

8、t)Y(t)=LX(t)，其中，其中L L是是线性变换则有线性变换则有其中其中 表示表示t t1 1作作L L变换，变换， 表示表示t t2 2作作L L变换。变换。说明：说明： 从定理从定理3.13.1和和3.23.2可以看出，对于线性变换，系统输出的均可以看出，对于线性变换，系统输出的均值和相关函数可以分别由系统输入的均值和相关函数确定。值和相关函数可以分别由系统输入的均值和相关函数确定。推广：推广： 对于线性变换，输出对于线性变换，输出k k阶矩可以由输入的相应矩来确定。阶矩可以由输入的相应矩来确定。例如：例如：假设系统是线性是不变得，由线性是不变得基本特征和两个基本假设系统是线性是不变

9、得，由线性是不变得基本特征和两个基本定理可以看出：如果输入过程定理可以看出：如果输入过程X(t)X(t)是狭义平稳的，则输出过程是狭义平稳的，则输出过程Y(t)Y(t)也是狭义平稳的；也是狭义平稳的；如果输入过程如果输入过程X(t)是广义平稳的，则输出过程是广义平稳的，则输出过程Y(t)也是广义平稳的。也就说，线性变换不改变随机过程的平稳也是广义平稳的。也就说，线性变换不改变随机过程的平稳性。性。3.2.1 3.2.1 、随机过程的极限、随机过程的极限 定义定义3.4 3.4 设一随机变量序列设一随机变量序列 ，n=1,2n=1,2，又设有随机变，又设有随机变量量X X，如果，如果其中其中为任

10、意小的正数，则称随机变量序列为任意小的正数，则称随机变量序列 依概率收敛于随依概率收敛于随机变量机变量X X；或者说，随机变量；或者说，随机变量X X的随机序列的随机序列 依概率收敛意义下依概率收敛意义下的极限，记作的极限，记作 定义定义3.5 3.5 设一随机变量设一随机变量X X及随机变量序列及随机变量序列 ，n=1,2n=1,2，都有二阶矩，即都有二阶矩，即 , , ，并且有，并且有 则称则称 依均方收敛于随机变量依均方收敛于随机变量X X；或者说，随机变量；或者说，随机变量X X是随机序是随机序列列 依均方收敛意义下的极限，记作依均方收敛意义下的极限，记作 定义定义3.6 3.6 设一

11、随机过程设一随机过程X(t),X(t),当当 时，时，X(t)X(t)依概率收敛于依概率收敛于随机变量随机变量X X的定义的定义或者称随机变量或者称随机变量X X是随机过程是随机过程X(t)X(t)当当 时依概率收敛意义下时依概率收敛意义下的极限，记作的极限，记作 定义定义3.7 3.7 设一随机过程设一随机过程X(t),X(t),当当 时，时，X(t)X(t)依均方收敛于依均方收敛于随机变量随机变量X X的定义的定义或者称随机变量或者称随机变量X X是随机过程是随机过程X(t)X(t)当当 时依均方收敛意义下时依均方收敛意义下的极限，记作的极限，记作3.2.2 3.2.2 、随机过程的连续性

12、、随机过程的连续性 定义定义3.8 3.8 设随机过程设随机过程X(t),X(t),若果有若果有即即则称则称X(t)X(t)依均方收敛意义下在依均方收敛意义下在t t时刻是连续的。以后简称时刻是连续的。以后简称X(t)X(t)在在t t时刻连续。时刻连续。 定理定理3.3 3.3 如果随机过程如果随机过程X(t)X(t)的自相关函数的自相关函数 在在t t1 1=t=t2 2=t=t处二元连续，则处二元连续，则X(t)X(t)在每一时刻在每一时刻t t都是依均方意义下连续。都是依均方意义下连续。 定理定理3.4 3.4 如果随机过程如果随机过程X(t)X(t)依均方意义下连续，则其均值依均方意

13、义下连续，则其均值 也也必为连续的。即有必为连续的。即有或或平稳随机过程的连续性平稳随机过程的连续性设设X(t)X(t)是平稳随机过程，则其相关函数为：是平稳随机过程，则其相关函数为：于是可以得出：于是可以得出：很明显，只要平稳随机过程很明显，只要平稳随机过程X(t)X(t)的相关函数的相关函数 在在=0=0处是连续处是连续的，则当的，则当 时，上述式子的右边趋于零，反之亦然。因此可时，上述式子的右边趋于零，反之亦然。因此可以得出结论：只要平稳随机过程以得出结论：只要平稳随机过程X(t)X(t)的相关函数的相关函数 在在=0=0处处连续，则平稳随机过程连续，则平稳随机过程X(t)X(t)就是依

14、均方收敛意义下连续的。就是依均方收敛意义下连续的。3.2.3 3.2.3 、随机过程的微分、随机过程的微分 定义定义3.93.9均方导数的定义均方导数的定义 0. .tdX tX ttX tXtl i mdtX t 或或 20lim0tX ttX tEXtX t 柯西判别准则：柯西判别准则：如果如果成立，则随机过程成立，则随机过程X(t)X(t)的导数存在。的导数存在。 定理定理3.5 3.5 平稳随机过程平稳随机过程X(t)X(t)存在均方意义下的导数条件是其自相存在均方意义下的导数条件是其自相关函数在关函数在=0=0处存在处存在的二阶导数。的二阶导数。证明：略。证明：略。 定理定理3.6

15、3.6 非平稳随机过程非平稳随机过程X(t)X(t)存在均方意义下的导数条件是当存在均方意义下的导数条件是当t t1 1=t=t2 2时，其自相关函数存在二阶偏导数。时，其自相关函数存在二阶偏导数。 定义定义3.103.10如果随机过程如果随机过程X(t)X(t)满足可微条件，则经微分后得到的导满足可微条件，则经微分后得到的导数是一个时间函数，这个函数也是一个随机过程，将其称之为导数是一个时间函数，这个函数也是一个随机过程，将其称之为导数过程，记作数过程，记作对于导数过程对于导数过程Y(t)Y(t)的数学期望和相关函数分别记为的数学期望和相关函数分别记为 和和因此可以得到：因此可以得到：那么随机过程那么随机过程X(t)X(t)与导数过程与导数过程Y(t)Y(t)的互相关函数为的互相关函数为用类似的方法