概率论与数理统计第四章大数定律及中心极限定理(1)ppt课件

1、 前面我们引见了随机变量的数学期望，前面我们引见了随机变量的数学期望，它表达了随机变量取值的平均，是随机变它表达了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场所，仅仅知道随机变量但是在一些场所，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的取值的平均是不够的.4.3 随机变量的方差随机变量的方差 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各丈量乙两台仪器各丈量10次，将丈量结果次，将丈量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 假设让他就上述结果评价一下两台仪器的假设让他就上述结果评价一下两台仪器的优优 劣，他以为

2、哪台仪器好一些呢？劣，他以为哪台仪器好一些呢？乙仪器丈量结果乙仪器丈量结果a a甲仪器丈量结果甲仪器丈量结果较好较好丈量结果的丈量结果的均值都是均值都是 a由于乙仪器的丈量结果集中在均值附近由于乙仪器的丈量结果集中在均值附近例如例如, ,甲、乙两门炮同时向一目的射击甲、乙两门炮同时向一目的射击1010发发炮弹，其落点距目的的位置如图：炮弹，其落点距目的的位置如图：他以为哪门炮射击效果好一些呢他以为哪门炮射击效果好一些呢? ?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮由于乙炮的弹着点较集中在中心附近，由于乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好所以乙炮的射击效果好. .

3、中心中心中心中心 为此需求引进另一个数字特征，用它为此需求引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值相对于其中心的离来度量随机变量取值相对于其中心的离散程度散程度.这个数字特征就是下面要引见的这个数字特征就是下面要引见的方方 差差 设随机变量设随机变量X的数学期望为的数学期望为E(X), 假假设设E(X-E(X)2存在存在, 那么称它为那么称它为X的方的方差差(此时，也称此时，也称X的方差存在的方差存在)，记为，记为Var(X) 或或D(X) , 即即定义定义称称Var(X) 的算术平方根的算术平方根 为为X的规范差或均方差，记为的规范差或均方差，记为 (X). 方差的概念Var (X)=E(

4、X-E(X)2)ar(XV留意：留意： 1) Var(X)0，即方差是一个非负实数。，即方差是一个非负实数。2当当X 服从某分布时，我们也称某分布服从某分布时，我们也称某分布的方差为的方差为Var(X)。方差描写了随机变量的取值相对于其数学方差描写了随机变量的取值相对于其数学期望即均值的离散程度。期望即均值的离散程度。假设假设X X的取值比较分散，那么方差较的取值比较分散，那么方差较大大 . .假设假设X X的取值比较集中，那么方差较小；的取值比较集中，那么方差较小；方差的计算公式方差的计算公式 (1) 假设假设X为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为 pk= P(X=xk)

5、, k=1, 2, . , 且且Var(X)存在，那么存在，那么 21()()kkkVar XxE Xp 由定义可知，方差是随机变量由定义可知，方差是随机变量X的函数的函数 g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望 .2假设假设X为延续型随机变量，其概率为延续型随机变量，其概率密度为密度为f(x)，且，且Var(X)存在，那么存在，那么 3假设随机变量假设随机变量X的方差的方差Var(X)存在，存在，那么那么 2()( - ()( ) Var Xx E Xf x dx22()() ()Var XE XE X 证明：证明： Var(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：Var(X)=

6、EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质 常见随机变量的方差 (1) 参数为p的两点分布 分布列为： 前面曾经计算过：E(X)=p，又.1)0(,) 1(pXPpXP 所以.) 0(0) 1(1)(222pXPXPXE222()() .Var XE XEXpppq 分布列为： 已计算过：E(X)=np，又., 1, 0,)(nkqpCkXPknkkn 所以2() (1)E XE X XEX22()() .Var XE XEXnpq (2)二项分布B(n, p)0(1)nkkn knkk kC p q

7、np2 22 (2)2(1)(2)!(2)!()!nknkkn nnpqnpknk 22222 (2)222 0(1)(1)nkknknkn npCpqnpn npnp 分布列为： 已计算过：E(X)=，又., 2, 1, 0,!)(kekkXPk 所以2()(1)E XE X XEX22()() .Var XE XEX (3)泊松分布P()0(1)!kkk kek222(2)!knkek220.!kkek 概率密度为： 已计算过：E(X)=(a+b)/2，又.,0,1)(其其它它bxaabxf 所以bababadxabxdxxfxXE31)()(22222222()()() .12baVar

8、 XE XEX (4)区间a,b上的均匀分布Ua,b 概率密度为： 已计算过：E(X)=1/，又. 0,0; 0,)(xxexfx 所以2220()( )xE Xx f x dxxedx2221()() .Var XE XEX (5) 指数分布E()200()|2 ()xxxexedx02xxedx2022.xxedx 概率密度为： 已计算过：E(X)= ，所以222)(21)(xexf222212xyyyedy (6) 正态分布N(, 2)22()2221() ()2()xVarE XEXxedxX 22222211()()|22yyyeedy222212yedy阐明阐明 正态分布的概率密度

9、中的两个参数正态分布的概率密度中的两个参数 分别就是该分布的数学期望和方差，分别就是该分布的数学期望和方差，2, 因此，正态分布完全可由它的数学期望因此，正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定和方差所确定例例1 1甲甲、乙乙两两人人射射击击，他他们们的的射射击击水水平平由由下下表表给给出出：X：甲甲击击中中的的环环数数；Y：乙乙击击中中的的环环数数；试试问问哪哪一一个个人人的的射射击击水水平平较较高高？例例1 1续续解：比比较较两两个个人人的的平平均均环环数数甲甲的的平平均均环环数数为为8 0.39 0.210 0.5EX 9.2 环环8 0.29 0.410 0.4EY 9.2 环环从从平

10、平均均环环数数上上看看，甲甲乙乙两两人人的的射射击击水水平平是是一一样样的的，但但两两个个人人射射击击环环数数的的方方差差分分别别为为乙的平均环数为乙的平均环数为例例1 1续续 2228 9.20.39 9.20.210 9.20.5DX 0.76 2228 9.20.29 9.20.410 9.20.4DY 0.624 DYDX 由由于于，这阐明乙的射击程度比甲稳定这阐明乙的射击程度比甲稳定例例2. 设设0, 0, 0,ln)(,21,21XXXXgYUX求求 E (Y ), D(Y ).解解:dxxfxgYEX)()()(21211)(dxxg2101lndxx2121ln21212ln2

11、1dxxfxgYEX)()()(2221021lndxx2ln12ln2121ln121ln2122)()()(22YEYEYD22212ln212ln12ln21432ln212ln412例例3. 知知X的密度函数为的密度函数为其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中其中 A A，B B 是常数，且是常数，且 E(X) = 0.5. E(X) = 0.5. 求求 A，B.(2)设设 Y=X2, 求求 E(Y) , D(Y).解解: (1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA6, 6BA(2)103)66()()()(1022

12、22dxxxxdxxfxXEYE71)66()()()(1024442dxxxxdxxfxXEYE70037)()()(22YEYEYD性质性质1: 假设假设X=C，C为常数，那为常数，那么么 Var(X)=0 . 方差的性质假设假设b为常数为常数,随机变量随机变量X的方差存的方差存在，那么在，那么bX的方差存在，且的方差存在，且 Var(bX) = b2Var(X)性质性质2:Var (aX + b ) = a2 Var(X)结合性质结合性质1与性质与性质2就有就有假设随机变量假设随机变量X1,X2,Xn的方差都存在，的方差都存在，那么那么X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且 假

13、设随机变量假设随机变量X1,X2,Xn相互独立，那么相互独立，那么性质性质4:n2时就有时就有性质性质3:ninjjijiniiEXEXXXEXVar111)()()()()(11nnXVarXVarXXVarVar(XY)= Var(X) +Var(Y) 2E(X-EX)(Y-EY)Var(XY)= VarX +VarY假设假设X, Y独立，独立，普通地普通地证：证： 22( )( ) 2aVar XbVar YabE XEXYEY 假设假设 X,Y X,Y 独立，那么独立，那么E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)=0 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-E

14、Y)=0 故故22()( )a Var XbVar Y ()Var aXbY 22( )( ) 2aVar XbVar YabE XEXYEY 性质性质6: 性质性质6阐明除了以概率阐明除了以概率1等于常数的随机等于常数的随机变量外，任何随机变量的方差都大于变量外，任何随机变量的方差都大于0. 性质性质5: 对恣意常数对恣意常数C, Var(X ) C, Var(X ) E(X C)2 , E(X C)2 ,等号成立当且仅当等号成立当且仅当C = E(X ).C = E(X ).Var(X ) = 0 P (X = E(X)=1称为称为X X 依概率依概率 1 1 等于常数等于常数E(X).E

15、(X). 性质性质5阐明随机变量阐明随机变量X在均方误差的意义在均方误差的意义下间隔均值下间隔均值E(X)最近最近. 注：以后假设无特殊阐明，都以为随机变量的注：以后假设无特殊阐明，都以为随机变量的方差大于方差大于0。解：设解：设XB(n,p), 那么那么X表示表示n重贝努里实重贝努里实验中事件验中事件 A 发生的次数发生的次数 ，且在每次实验，且在每次实验中中A发生的概率为发生的概率为p. 引入随机变量引入随机变量 11,2, .kAkXknAk， 在第 次试验发生，0， 在第 次试验不发生，那么那么 是事件是事件A A发生的次数发生的次数1nkkXX例例4 设设X B(n, p)，求，求

16、Var(X)由于由于Xk只依赖于第只依赖于第k次实验，而各次实验次实验，而各次实验相互独立，于是相互独立，于是 X1，X2，Xn 相互独立，而且相互独立，而且都都 服从两点分布，故服从两点分布，故 Var(Xk)= p(1- p) k=1,2,n.因此因此1()()nkkVarXVar X1(1)().nkkVanrpXp那么那么11()niiEXn例例5. 5. 设设X1, X2, , XnX1, X2, , Xn相互独立，有共同的期望相互独立，有共同的期望 和方差和方差 ，2.1)1(,)1(211nXnVarXnEniinii证明证明:211()niiVarXn11()niiEXn11(

17、)niiE Xn211()niiVarXn211()niiVar Xn21.n例例6.6.知随机变量知随机变量X1,X2,XnX1,X2,Xn相互独立，且每个相互独立，且每个XiXi的期望都是的期望都是0 0，方差都是，方差都是1 1， 令令Y= X1+X2+Xn .Y= X1+X2+Xn .求求 E(Y2). E(Y2).解：由知，那么有解：由知，那么有( )E Y2()E Y因此，因此，( )D Y12( )()()nE YE YE Y012( )()()nD YD YD Yn2( )( )D YE Y. n例例7.7.设随机变量设随机变量X X和和Y Y相互独立，且相互独立，且 X XN

18、(1,2),N(1,2), Y YN(0,1), N(0,1), 试求试求 Z=2X-Y+3 Z=2X-Y+3 的期望和方差的期望和方差。 由知，有由知，有E(X)=1, D(X)=2,E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, E(Y)=0, D(Y)=1, 且且X X和和Y Y独立。因此，独立。因此，D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5, 解解: :注：由此可知注：由此可知 Z ZN N5,95,9。则且相互独立，若, 2 , 1),(2niNXiii.,12212211niiiniiinnCCCNCXC

19、XCXC的常数。是不全为这里，0C,C,Cn21结论：结论：规范化随机变量规范化随机变量设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X )、方差、方差D(X )都存在都存在,且且D(X ) 0, 那么称那么称)()(XDXEXX为为 X 的规范化随机变量的规范化随机变量. 显然，显然，1)(, 0)(XDXE解：解：1()()E XE XVar XE X22()() ()ED XXE X1 ()(0()E XE XVar X2()()XE XEVar X21( )( )E XE XVar X()1(Var XVar X()().XE XXVarXXX即的数学期望为0，方差为1.称为的标准化变量C

20、. 两个不等式两个不等式 定理定理3.2 (马尔可夫马尔可夫(Markov)不等式不等式)：对随机变量对随机变量X 和恣意的和恣意的 0，有，有.0,|1|XEXP证明证明: : 设为延续型设为延续型, , 密度函数为密度函数为f(x), f(x), 那么那么|E X| |( )xf xdx| |( )| |( )xf x dxxf x dx( )( )f x dxf x dx()()P XP X (|)P X上式常称为切比雪夫上式常称为切比雪夫Chebyshev不等式不等式 |( )|P XE X在马尔可夫不等式中取在马尔可夫不等式中取=2, X为为X-EX 得得是概率论中的一个根本不等式是

21、概率论中的一个根本不等式. 221|( )|E XE X2( )Var X当方差知时，切比雪夫不等式给出了随机当方差知时，切比雪夫不等式给出了随机变量变量 X与它的期望的偏向小于与它的期望的偏向小于 的概率的的概率的下限的估计式下限的估计式 . 如取如取 322|()| 3 10.88899PXE X 可见，对任给的分布，只需期望和方差可见，对任给的分布，只需期望和方差 存在，那么存在，那么 r.v X取值偏离取值偏离E(X)小于小于 3 的的 概率不小于概率不小于0.8889 .2 例例8.8.知某种股票每股价钱知某种股票每股价钱X X 的平均值为的平均值为1 1元，元，规范差为规范差为0.

22、10.1元，求元，求a a，使股价超越，使股价超越1+a1+a元或低元或低于于1-a1-a元的概率小于元的概率小于10%10%。解：由切比雪夫不等式解：由切比雪夫不等式201. 0)| 1(|aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a 例例9. 9. 在每次实验中，事件在每次实验中，事件A A发生的概率为发生的概率为 0.75, 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n n需求多么大需求多么大时，才干使得在时，才干使得在n n次独立反复实验中次独立反复实验中, , 事件事件A A出出现的频率在现的频率在0.740.760.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?0.90?解：设解