绝对收敛与条件收敛(3)课件

1、200902239.5 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛一、绝对收敛一、绝对收敛 ., 11也收敛也收敛则则收敛收敛若若 nnnnaa证法证法1 1：收敛，收敛， 1nna时时，NnN , 0 .,*11成成立立对对Npaaapnnkkpnn .1收敛收敛 nna.,|*11成成立立对对Npaaapnnkkpnn , 收收敛敛又又 na.1收敛收敛 nna 称称“条条件件收收敛敛”发发散散如如称称“绝绝对对收收敛敛”收收敛敛如如收收敛敛设设111,nnnnnnaaa证法证法2 2：),(nnnnaaaa nnnaaa20 .)(也收敛也收敛 nnaa例例1.1. 12!sinnnn21na

2、n 绝对收敛绝对收敛. . 11)11ln()1(nnn条件收敛条件收敛. ,1)11ln( 发散发散nann., 收收敛敛知知由由莱莱法法na2)11()21(1nnnn 2)11(21nnnna 12)11(21limlim enannnnn，不不，不不由由于于00nnaa发散发散例例2.2.)1()1()1(111 pnnnpnpnpnnnap1)1(1,11 时时当当绝对收敛绝对收敛nnapnn1)1(1 ,11 时时当当不绝对收敛不绝对收敛但是，但是，. ,收收敛敛判判别别法法由由 naLeibniz.1;1时时条条件件收收敛敛时时绝绝对对收收敛敛 pp1) 1() 1() 1()

3、1(21111nnnannnnn例例3.3.sin)1(21条件收敛条件收敛证证nnnn 解：解：nnnnan22cos1sin2 收敛；收敛；发散；发散；由由 nnn22cos21.发发散散 na故条件收敛故条件收敛. .收敛易见收敛易见二、更序问题二、更序问题（加法交换律推广）（加法交换律推广）更序定理：更序定理：的的各各项项任任意意交交换换收收敛敛设设 nnaa,证明：证明： 1nna考虑正项级数考虑正项级数,)(:121SabbbBbnnnnn 的的部部分分和和.,SBbn 且且其其和和收收敛敛同样，同样，. BSbann 知知更更序序所所得得，看看成成是是将将BS .,1且和不变且和

4、不变也绝对收敛也绝对收敛的次序所得的次序所得 nnb.1Sann 设设 na对对任任意意级级数数,0 002 nnnnnnaaaaaa记记 00 02nnnnnnaaaaaa正部正部负部负部显然：显然： nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa，且且， 00. , nnnnnnaaaaaa且且. 收收敛敛，收收敛敛 nnnaaa对更序级数对更序级数 nb, ,11更序所得更序所得分别是由分别是由 nnnnnnaabb.;1111 nnnnnnnnabab收收敛敛且且等等于于收收敛敛且且等等于于. )(11111收收敛敛 nnnnnnnnnnnaaabbb注意：注意： 绝对收敛的级数具有交换律（

5、与结合律）绝对收敛的级数具有交换律（与结合律） 0lim,:11nnnnnnnaaaa 条条件件收收敛敛知知2.2.条件收敛的更序定理（条件收敛的更序定理（RiemannRiemann） 条件收敛条件收敛, ,则适当交换各项的次序则适当交换各项的次序, ,可以收敛到任意指定的实数可以收敛到任意指定的实数S,S,也可以发散也可以发散到到+,-.+,-.例例4.4.更序对计算速度的影响：更序对计算速度的影响： 12211)10121(1012110121kkk na设设更序为：更序为： 4322111011012110110121 1212)10110121(kkkk原级数部分和：原级数部分和：m

6、mmkkkmS33316109121910)10121( 更序后：更序后：mmmkkkkmS42212126109121910)10110121( mmmmSSR4266109121 nmmRR266第一种方法要收敛快得多！第一种方法要收敛快得多！计算实例：计算实例：111. 1910 S误差：误差：mmmmSSR3366109121 6 12 30 600.861.04861.110861.1111101（5位）位） 0.9861.0955 1.111107 1.1111111102 （8位）位） 1.0471.10721.111111051.1111111111102 （11位）位）m6

7、mkkkk21212)10110121( mkkk31)10121( mkkkk21212)1012121(将较大的项向前调整，会使计算加速将较大的项向前调整，会使计算加速. .例例5.5. 514131211已已知知条条件件收收敛敛 5181613141211 :求求.41241121的的和和 kkk解：解：2ln)21121()4131()211(2 mmSm设设)41241121()816131()41211(3mmmSm 111)1(nnn2ln kkkkkk221)12(2112141241121 由于由于)21121(21kk mmSm2112141312112132ln21212 mS2ln2141313 mSSmm2ln2141241323 mmSSmm. 2ln21nS例例6.6. 115141312111)1(nnn级级数数条件收敛条件收敛. .级数重排：级数重排：. ,个个负负项项再再取取个个正正项项先先取取qp ,再依次进行再依次进行:则所得新级数则所得新级数;qp 收敛收敛; , 级