反比例函数经典例题(有答案)

1、8反比例函数专题复习一、反比例函数的对称性1、直线y=ax（a0）与双曲线y= 3/x交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则4x1y2-3x2y1= 2、如图1，直线y=kx（k0）与双曲线y= 2/x交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为（） A、-8 B、4 C、-4 D、0解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称因此两交点A、B也关于原点对称X2=-X1，Y2=-Y1双曲线形式可变化为XY=2，即双曲线上点的横纵坐标乘积为2因此X1Y1=2X1Y2+X2Y1=X1（-Y1）+（-X1）Y1=-X1Y1

2、-X1Y1=-4 图1 图2 图3 图4二、反比例函数中“K”的求法1、如图2，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线RtABC中直角边AC=4，BC=3将BC边在直线l上滑动，使A，B在函数 y=k/x的图象上那么k的值是（）A、3 B、6 C、12 D、 15/4解析：BC在直线X=1上，设B(1，M)，则C(1，M-3)，A(5，M-3)，又A、B都在双曲线上，1*M=5*(M-3)，M=15/4 即K=15/42、如图3，已知点A、B在双曲线y= k/x（x0）上，ACx轴于点C，BDy轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若ABP的面积为3，则k= 解析：A(x1,k/x

3、1),B(x2,k/x2)AC:x=x1 BD:y=k/x2P(x1,k/x2)k/x2=k/2x1 2x1=x2BP=x2-x1=x1AP=k/x1-k/x2=k/2x1S=x1*k/(2x1)*1/2)=k/4=3 k=123、如图4，双曲线y= k/x（k0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A、 y=1/x B、 y=2/x C、 y=3/x D、𝑦=6/𝑥解析：设E(x0,k/x0)E是BC中点，B(x0,2k/x0)B、D两点纵坐标相同，D(x0/2,2k/x0)BD=x0/2,OC=x0,

4、BC=2k/x0梯形面积=(BD+OC)×BC/2=3k/2=3k=2 双曲线的解析式为：y=2/x三、反比例函数“K”与面积的关系1、如图5，已知双曲线 y1=1/x(x0)， y2=4/x(x0)，点P为双曲线 y2=4/x上的一点，且PAx轴于点A，PBy轴于点B，PA、PB分别次双曲线 y1=1/x于D、C两点，则PCD的面积为（ ） 图5 图6 图7解析：假设P的坐标为（a,b），则C（a/4,b), D(a,b/4), PC=3/4*a PD=3/4*bS=1/2*3/4*a*3/4*b因为点P为双曲线y2=4/x上的一点 所以a*b=4所以S=9/82、如图6，直线l和

5、双曲线 y=k/x(k0)交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设AOC的面积为S1、BOD的面积为S2、POE的面积为S3，则（）A、S1S2S3 B、S1S2S3 C、S1=S2S3 D、S1=S2S3解析：结合题意可得：AB都在双曲线y=kx上，则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2S33、如图7，已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 y=k/x交于C、D两点，且SAOC=SCOD=SBOD，则k= 。解析：SAOC=SCOD=SBOD=3/2 所以，CD两点的

6、坐标为（2,1）（1,2） k=24、反比例函数y= 6/x 与y= 3/x在第一象限的图象如图8所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则AOB的面积为（） A、 3/2 B、2 C、3 D、1解：设直线方程：y=b,则A(6/b,b) B(3/b,b)|AB|=(6/b-3/b)=3/b ,h(o-AB)=bs(OAB)=(1/2)*(3/b)*b=3/2 图8 图9 图10 图115、如图9，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BCAO，ABAO，过点C的双曲线 y=k/x交OB于D，且OD：DB=1：2，若OBC的面积等于3，则k的值（） A、等于2 B、

7、等于 3/4 C、等于 24/5 D、无法确定解析：如图，设点B(a,b)，过点D作x轴垂线，垂足为E则点A(a,0)点C的纵坐标为b，那么x=k/y=k/b 所以，点C(k/b,b)OB所在的直线为y=(b/a)x，它与y=k/x相交所以，(b/a)x=k/x => x2=ak/b => x=(ak/b) 这就是点D横坐标已知OD/DB=1/2，所以：OD/OB=1/3则，OE/OA=OD/OB=1/3=> (ak/b)/a=1/3 => a=3(ak/b)=> a2=9ak/b => ab=9k又BC=a-(k/b)所以，SOBC=(1/2)*BC*AB

8、=(1/2)*a-(k/b)*b=3=> ab-k=6 => 9k-k=6 => k=3/46、如图10，反比例函数 y=k/x(x0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）A、1 B、2 C、3 D、4解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则SOCE= |k|/2，SOAD= |k|/2，又M为矩形ABCO对角线的交点，则矩形ABCO的面积为4|k|，由于函数图象在第一象限，k0，则 k/2+ k/2+6=4k，k=2故选B7、如图11，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OABC，上底

9、边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（） A、根号3 B、 3 C、根号3-1 D、根号3+1解析：四边形AOEC是梯形，需求出EC、OA和高（两平行线的距离）；必须确认反比例函数是xy=1，否则反比例函数很靠近或远离坐标轴将使所得图形面积变化不定。直线BEC的方程为： y=x-2，与反比例函数交点坐标C的y坐标满足：(y+2)y=1，解得y=2-1；因直线BEC的斜率是1，EC2*C点y坐标=2*(2-1)=2-2；E到平行线OA的距离h=(2/2)*OE=(2/2)*E点x坐标=(2/2)*22；A点坐标(1,1)，所以OA=2；四边形AOEC的面

10、积=(EC+OA)*h/2=(2-2+2)*2/2=2；8、如图，A、B是双曲线y= k/x（k0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若SAOC=6则k= 解析：A，B是双曲线y=k/x(k>0)上的点则 A(a,k/a) , B2a,k/(2a)AB直线方程：(y-k/a)/(x-a)=(k/a-k/(2a)/(a-2a)2a2 y-2ak=-k(x-a)0-2ak=-k(x-a)x=3a AB的延长线交x轴于点C（3a,0)SAoc= (k/a)(3a)/2=6k=4 y=6/x 图1 图2 图3 四、反比例函数与一次函数综合：1、如图1，若正方

11、形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y= 1/x（x0）的图象上，则点E 的坐标是 解析：很明显B（1,1）设正方形ADEF边长为a则E（1+a,a)在Y=1/X上即(1+a)a=1a2+a-1=0用求根公式得a=(-15)/2（因为a>0)E的坐标是（(15)/2 ，(-15)/2 ）2、如图2，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 y=-4/x和y=2/x的图象交于A 点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则ABC的面积为（）A、3 B、4 C、5 D、6解析：设P点坐标为（0，a），则A点坐标为（-4/a,a）B点坐标为（2/a,a)所以AB

12、的距离为2/a-（-4/a）=6/a点C到AB的距离为a所以三角形ABC的面积为1/2×6/a×a=33、如图3，直线y=-x+b（b0）与双曲线y= k/x（x0）交于A、B两点，连接OA、OB，AMy轴于M，BNx轴于N；有以下结论：OA=OB；AOMBON；若AOB=45°，则SAOB=k；当AB= 2时，ON-BN=1；其中结论正确的个数为（）A、1 B、2 C、3 D、4解:-x+b=k/x得出X值(用公式法解)一个为A的横坐标一个为B的横从标,把B的横坐标代入y=-x+b得B的纵坐标与A的横从标相等即MO=ON,因为三角形AMO与三角形BON面积相等,

13、所以MA=BN,所以：AOMBON,由勾股定理可得OA=OB,把A,B坐标表示出来,AB用两点间的距离公式可算出AB=根号2乘以根号下B平方减4K,因为AB=根号2,所以根号下B平方减4K=1,ON-BN=根号下B平方减4K,所以ON-BN=1,最难的是第三个结论解法如下:过O作OM垂直AB于点D ,可得三角形AOM与AOD面积相等,三角形ODB与OBN面积相等,所以三角形AOB面积为K 选D4、如图4，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 y=4/x(x0)图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F则

14、AFBE=（） A、8 B、6 C、4 D、 6倍根号2 图4 图5解：过点E作ECOB于C，过点F作FDOA于D，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，A（6，0），B（0，6），OA=OB，ABO=BAO=45°，BC=CE，AD=DF，PMOA，PNOB，四边形CEPN与MDFP是矩形，CE=PN，DF=PM，P是反比例函数 图象上的一点，PNPM=4，CEDF=4，在RtBCE中，BE= = CE，在RtADE中，AF= = DF，AFBE= CE DF=2CEDF=85、如图5，反比例函数 y=k/x（

15、k0）与一次函数 y=1/2x+b的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1-x2|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（）A、k= 1/2，b=2 B、k= 4/9，b=1 C、k= 1/3，b= 1/3 D、k= 4/9，b= 1/3解析：y=k/x y=x/2+b联立得，x²/2+bx-k=0x1+x2=-2b，x1*x2=-2k|x1-x2|=(x1+x2)²-4x1*x2=2整理，(b²+2k)=1【从这一步，就能推断出答案，只能选择答案是D】|AC|/|BC|=|x1|/|x2|=2【第一种情况】设x1<0

16、，x2>0x1=-2x2,|x1-x2|=3x2=2，故x2=2/3，x1=-4/3x1+x2=-2b=-2/3，即b=1/3x1*x2=-2b=-8/9，即,k=4/9.【第二种情况】x1>0，x2<0x1=-2x2,|x1-x2|=-3x2=2，故x2=-2/3，x1=4/x同理，解出b=-1/3，k=4/9综上可得，k=4/9，b=1/3或-1/3。【没有设置b的条件，故，b可取负值也可取正值。】五、综合（函数与几何）1、如图，ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y= k/x上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是A

17、BE面积的5倍，则k= 解：过点D作x轴的垂线，垂足为M，过点C作y轴的垂线，垂足为NDM与CN交于点F则ABOCDF DF=2，CF=1四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍(BC+AD)=5AEDE=2AE MO=2AO点D的横坐标为2， 点C的横坐标为3设点的坐标为（2，m）点C的坐标为（3，m-2）C，D都在函数y=k/x 的图象上k=2m=3(m-2) 解得m=6,k=122、如图，已知C、D是双曲线，y= m/x在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），连接OC、OD（1）求证：y1OCy1+ m/y1；（

18、2）若BOC=AOD=a，tana= 1/3，OC= 根号10，求直线CD的解析式；（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得SPOC=SPOD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由解：1.因为CG<OC<CG+OG,所以y1<OC<y1+my12.因为OG:CG=1:3,OC=根号10，所以OG=1，CG=3.解析式为y=10/x3 双曲线y= 上存在点P，使得SPOC=SPOD，这个点P就是COD的平分线与双曲线y= 的交点证明如下：点P在COD的平分线上点P到OC、OD的距离相等又OD =OC SPOD=SPOC3、如图，将一矩形OABC放在直角坐际

19、系中，O为坐标原点点A在x轴正半轴上点E是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反比例函数 y=k/x(x0)的图象与边BC交于点F（1）若OAE、OCF的而积分别为S1、S2且S1+S2=2，求k的值；（2）若OA=2.0C=4问当点E运动到什么位置时四边形OAEF的面积最大其最大值为多少？解：四边形OAEF的面积=矩形OABC的面积 - 三角形OCF的面积 - 三角形BEF的面积= 4*2 - (1/2)OC*CF - (1/2)EB*FB= 8 - (1/2)

20、*4*k/4 - (1/2)(4 - k/2)(2 - k/4)= 8 - k/2 -(1/2)(8 - k - k + k²/8)= 4 + k/2 - k²/16= 5 - (k - 4)²/16k = 4时，四边形OAEF的面积最大，为5。 此时E(2, 2)4、如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= m/x（x0）交于点B（2，1）过点P（p，p-1）（p1）作x轴的平行线分别交双曲线y= m/x（x0）和y=- m/x（x0）于点M、N（1）求m的值和直线l的解析式；（2）若点P在直线y=2上，求证：PMBPNA；（3