万有引力定律及基本应用(B级)学生

1、万有引力定律及基本应用知识框架知识点1 天体的运动1人类对天体运动的认识过程公元年，希腊天文学家托勒密提出了地心说他认为地球是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动，地球是宇宙的中心到了公元年，波兰科学家哥白尼发表了天体运行论，否定了地心说，提出了日心说由于地心说比较符合人们的日常经验（太阳从东边升起，在西边落下，好像太阳绕地球运动），同时也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以地心说统治了人们很长时间但是随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多

2、问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误日心说虽然比地心说更进一步，但还需要发展因为地球、太阳都在不停地运动，不可能静止太阳与九大行星组成太阳系，只不过是宇宙中的一个小星系，太阳系本身也在宇宙中不停地运动着2开普勒三定律（1）内容：开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等用公式表示：，其中比例常数与行星无关只与太阳

3、有关（2）对开普勒三定律的理解开普勒三定律是实验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，主要是从运动学的角度描述了行星绕太阳的运动规律开普勒三定律否定了天体运行的圆轨道想法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给出了太阳的位置；它还指出行星绕太阳运行时离太阳较远速率小，离太阳较近速率大；开普勒第三定律提示了周期和轨道半径的关系，该定律具有普遍性，后面将学到的人造卫星也涉及相似的常数，此常数与卫星无关，只与地球质量有关（3）天体运动与地面上物体匀速圆周运动的比较：天上、地上的物体都遵循牛顿运动定律，当天体轨道近似圆周时，天体运动可看成是匀速圆周运动，与地面上物体的匀速圆周运动遵循的圆周

4、运动规律是相同的向心力来源不同天体做圆周运动的向心力是天体间的万有引力（即将学到）提供的，地面上圆周运动的向心力可以由任何性质的力充当天体运动时圆周运动的周期都较长，角速度都很小天体运动都较复杂，一般是既有自转，又有公转例题精讲【例1】 大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对1A型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R和宇宙年龄

5、的关系，大致是下面哪个图像（）【例2】 关于开普勒行星运动的公式，以下说法正确的是（）Ak是一个与行星无关的常数B不同星球的行星，k值可能不同CT表示行星运动的自转周期DT表示行星运动的公转周期【例3】 一探空火箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的倍，则探空火箭绕太阳公转周期为多少年?【例4】 （1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。（2）开普勒定律不仅适用于

6、太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为，月球绕地球运动的周期为，试计算地球的质量M地。（，结果保留一位有效数字）知识框架知识点2 万有引力定律1万有引力定律的发现历程在开普勒等科学家的努力下，人们已经清楚行星如何运动，行星运动的轨道怎样，太阳与行星的位置关系，人们又开始探讨一个新的问题：行星为什么这样运动?17世纪前，人们思考这类问题后认为：圆周运动是最完美的，因而神圣和永恒的天体必然应该做匀速圆周运动，无需什么动因当时的人知识比较缺乏，又受到迷信思想的影响，多数人都赞同这样的观点，这种想法被后来的一些观点所取代，很多科学家的意见不一致（1）伽利略：认为一

7、切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动（2）开普勒：行星绕太阳运动着，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用（3）笛卡儿：认为行星的运动是因为在行星的周围有旋转的物质作用在行星上，使得行星绕太阳运动（4）胡克、哈雷；行星围绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受的引力大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比（5）牛顿：在前人研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明了，如果太阳和行星问的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆，并且阐述了普遍意义下的万有引力定律2万有引力定律（1）推导过程：简化轨道：把实际的椭圆轨道看成是圆形轨道，天体做匀速圆周运动

8、圆周运动条件：，即开普勒定律的运用由于，则，其中，所以牛顿第三定律的结论：太阳对行星的引力与行星质量成正比，与距离平方成反比，而根据牛顿第三定律可知太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，性质相同因此行星对太阳的引力一定与太阳质量成正比，因此（2）定律内容：把上面的结论写成等式，此式即为万有引力定律的公式表达形式定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比公式中的叫做引力常量，物理意义：对于任何物体来说，值都是相同的，它在数值上等于质量为的两个物体，相距 时的相互作用力3对万有引力定律的理解（1）适用条件：当两个物体间的距

9、离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中是指两球心间距离当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力（2）万有引力的性质：普遍性：万有引力存在于任何两个有质量的物体之间相互性：万有引力的作用是相互的，符合牛顿第三定律一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著因此在涉及天体运动时，才考虑万有引力（3）万有引力定律的意义：万有引力定律的发现，是世纪自然科学最伟大的成果之一，将天地

10、间的规律统一起来，第一次提示了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑消除了人们的迷信思想，使人们有信心、有能力理解天地间的各种事物，解放了思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用例题精讲【例5】 牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿（）A接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想B根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即的结论C根据和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出D根据大量实验数据得出了比例系数G的大小【例6

11、】 设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较（）A地球与月球间的万有引力将变大B地球与月球间的万有引力将减小C月球绕地球运动的周期将变长D月球绕地球运动的周期将变短【例7】 两行星的质量分别为和，绕太阳运行的轨道半径分别是和，若它们只有万有引力作用，那么这两个行星的向心加速度之比（）A1BCD【例8】 万有引力定律和库仑定律都遵循平方反比律，因此引力场和电场之间有许多想念的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为，在引力场中可以有一个类似的物理量

12、来反映各点引力场的强弱，设地球质量为，半径为，地球表面处的重力加速度为，引力常量为，如果一个质量为的物体位于距离地心处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是（）ABCD【例9】 如下图所示，在半径、质量的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为要，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是，试求它们之间的相互吸引力知识框架知识点3 重力、重力加速度与万有引力的关系1地球上的重力和万有引力的关系在地球表面上的物体所受的万有引力可以分解成物体所受的重力和随地球自转而做圆周运动的向心力，如图所示，其中，而。

13、（1）当物体在赤道上时，、三力同向，此时达到最大值，重力加速度达到最小值；（2）当物体在两极的极点时，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为；因为地球自转角速度很小，所以在一般情况下计算时认为。2天体表面的重力和重力加速度在质量为、半径为的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为的物体的重力加速度可以认为是由万有引力产生的，则，得：（为天体半径，为天体质量）。由此可得不同星球表面重力加速度的关系为：3求某高度处的重力加速度设离星球表面高度为处的重力加速度为，则，则，重力加速度随高度的增加而减小。星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为：例题精讲【例10】 在地球表面

14、，放在赤道上的物体A和放在北纬的物体B由于地球的自转，它们的（）角速度之比线速度之比向心加速度之比向心加速度之比A只有正确B只有正确 C只有正确D只有正确【例11】 地球赤道上物体的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（）ABCD【例12】 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星的密度与地球相同。已知地球半径R6400km，地球表面重力加速度为g，这个小行星表面的重力加速度为（）A400gBC20gD【例13】 英

15、国新科学家（New Scientist）杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足（其中c为光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（）ABCD【例14】 火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为起动前，已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度（g为地面附近的重力加速度）。【例15】 地球A和某一行星B的半径之比为，平均密度之比为，若地球表面的重力加速度为，求：（1）B行星表面的重力加速度是多少？（2

16、）若在地球表面以某一初速度竖直上抛的物体最高可达20m，那么在B行星表面以同样的初速度竖直上抛一物体，经多少时间该物体可落回原地?（气体阻力不计）知识框架知识点1 天体质量和密度的计算1天体质量的计算（1）建立天体的运动模型：由于天体（如太阳）的质量通常都比较大，根据一般的方法是难以测定的，必须设计恰当的方法才能解决在天文学上，通常是通过绕该天体运行的行星的一些信息来实现对该天体（我们称之为中心天体）质量或密度的测量我们通常以某一行星为研究对象，把该行星看成质点，它绕中心天体做匀速圆周运动，建立的是匀速圆周运动模型（2）已知行星的公转半径，公转周期，设行星的质量为，中心天体质量为那么由万有引力

17、定律得：根据圆周运动规律，即，所以即如果知道绕中心天体（如太阳）运行的行星（如地球）的运行半径和运行周期，就可以求中心天体的质量（3）已知天体：半径和天体表面的重力加速度，根据得（4）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度和轨道半径，根据，得：（5）已知行星绕中心天体运行的线速度和周期，根据和得：2天体密度的测定（1）天体质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即式中为行星的公转轨道半径，为中心天体的半径，为行星的公转周期若行星为中心天体的近地卫星，则，中心天体的密度（2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，根据，求出天体质量，则天体密度3“星体自转不解体”模型指星球表面

18、上的物体随星球自转而绕自转轴（某点）做匀速圆周运动，其特点为：具有与星球自转相同的角速度和周期；万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动（二者轨道半径虽然相同，但周期不同），也不同于同步卫星的运转（二者周期虽相同，但轨道半径不同）这三种情况又极易混淆，同学们应弄清例题精讲【例16】 太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速度约为地球绕太阳公转速度的7倍，其轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系的所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳

19、的质量，则银河系中恒星的数目约为（）ABCD【例17】 设在地球上和在天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为（均不计阻力），且已知地球和天体的半径比也为，则地球质量与此天体的质量比为（）ABCD【例18】 已知万有引力常量和下列各组数据，能计算出地球质量的是（）A月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离B地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离C人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期D若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度【例19】 地球绕太阳公转，轨道半径为，周期为，月球绕地球运行轨道半径为，周期为，则太阳与地球质量之比为多少？【例20】 组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样

20、的星球有一个最大的自转速率。如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。下列表达式中正确的是（）ABCD【例21】 一均匀球体以角速度绕自己的对称轴自转，若维持球体不被解体的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少?知识框架知识点3 圆周运动各物理量与轨道半径的关系1基本方法：将天体运动或卫星运动看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，因此可以根据万有引力定律、牛顿第二定律及向心力公式来求解各类问题式中为中心天体的质量，为环绕天体的质量，和分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度

21、和周期根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解2当天体做稳定的匀速圆周运动时，天体、间的关系如下：例题精讲【例22】 三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图所示，已知，则对于三个卫星，正确的是（）A运行线速度关系为 B运行周期关系为C向心力大小关系为 D半径与周期关系为【例23】 据美国媒体报道，美国和俄罗斯的两颗通信卫星11日在西伯利亚上空相撞。这是人类有史以来的首次卫星碰撞事件。碰撞发生的地点位于西伯利亚上空490英里（约790公里），恰好比国际空间站的轨道高270英里（434公里），这是一个非常常用的轨道，是用来远距离探测地球和卫星电话的轨道。则以下相关说法中，

22、正确的是（）A碰撞后的碎片若受到大气层的阻力作用，轨道半径将变小，则有可能与国际空间站相碰撞B在碰撞轨道上运行的卫星的周期比国际空间站的周期小C发射一颗到碰撞轨道运行的卫星，则发射速度要大于7.9km/sD在同步轨道上，若后面的卫星一旦加速，将有可能与前面的卫星相碰撞【例24】 据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127 min。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用上述条件能求出的是（）A月球表面的重力加速度B月球对卫星的吸引力C卫星绕月球运行的速度D卫星绕月球运行的加速度【例25】 探测器探测到土星外层上有一个环为了判断它是土星的一部分还是土星的

23、卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定（）A若，则该环是土星的一部分B若，则该环是土星的卫星群C若，则该环是土星的一部分D若，则该环是土星的卫星群【例26】 2008年9月25日21时10分载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走，已知神舟七号飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的质量和半径分别为M和R，万有引力常量为G，在该轨道上，神舟七号航天飞船（）A运行的线速度大小为B运行的线速度小于第一宇宙速度C运行时的向心加速度大小D翟志刚太空行走时速度很小，可认为

24、没有加速度【例27】 设行星和行星是两个均匀球体与的质量之比为；与的半径之比，行星的卫星沿圆轨道运行的周期为，行星的卫星沿圆轨道运行的周期为，两卫星的圆轨道都非常接近各自的行星表面，则它们运行的周期之比为（）ABCD【例28】 地球同步卫星轨道半径为地球半径的6.6倍，设月球密度与地球相同，则绕月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为（）A1hB1.4hC6.6hD24h【例29】 2007年10月24日18时05分，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空。已知月球半径为，若“嫦娥一号”到达距月球表面高为处时，地面控制中心将其速度调整为时恰能绕月球匀速飞行将月球视为质

25、量分布均匀的球体，则月球表面的重力加速度为（）ABCD【例30】 一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（）A恒星的质量为B行星的质量为C行星运动的轨道半径为D行星运动的加速度为课堂检测1 美国天文学家宣布，他们发现了可能成为太阳系第十大行星的以女神“塞德娜”命名的红色天体，如果把该行星的轨道近似为圆轨道，则它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的470倍，是迄今为止发现的离太阳最远的太阳系行星，该天体半径约为1000km，约为地球半径的由此可以估算出它绕太阳公转的周期最接近（）A15年B60年C470年D104年2 1798年英国物理学家

26、卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为（地球自转周期），一年的时间（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离，地球中心到太阳中心的距离为你估算出（）A地球的质量B太阳的质量C月球的质量D可求月球、地球及太阳的密度3 据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为的人在这个行星表面的重量将变为。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（）A0.5B0.2C3.2D44 我国自主研制的“神七”载人飞船于2008年9月25日21时10

27、分04秒，在酒泉卫星发射中心成功发射。第583秒火箭将飞船送到近地点，远地点的椭圆轨道的入口，箭船分离。21时33分变轨成功，飞船进入距地球表面约的圆形预定轨道，绕行一周约90分钟，关于“神七”载人飞船在预定轨道上运行时下列说法中正确的是（）A“神七”载人飞船可以看作是地球的一颗同步卫星B飞船由于完全失重，飞船中的宇航员不再受到重力的作用C当飞船要离开圆形轨道返回地球时，要启动助推器让飞船速度增大D飞船绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大5 假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是（）A地球的向心力

28、变为缩小前的一半B地球的向心力变为缩小前的1/16C地球绕太阳公转周期与缩小前的相同D地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半6 “神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船运动过程中下列说法正确的是（）A飞船的重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变B飞船的重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小C飞船的绕地球运行的最小周期可能是65分钟D

29、飞船绕地球做匀速圆周的线速度是112km/s7 两颗人造卫星绕地球作圆周运动，周期之比为，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（）A，B，C，D，8 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（）A线速度B角速度C运行周期D向心加速度9 2010年1月17日零时12分，我国第三颗北斗导航卫星在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭发射升空，这一颗卫星为静止轨道卫星。此前，已成功发射了两颗，该系统在2008年南方冰冻灾害救援、四川汶川地震抗震救灾和北京奥运会中发挥了

30、重要作用。若“北斗”系统中两颗卫星1和2均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置（如图所示）若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力则以下判断中正确的是（）A这两颗卫星的环绕速度大小相等，均为B这两颗卫星的加速度大小相等，均为C卫星1要想追上卫星2必须从较低轨道上加速D卫星1由位置A运动到位置B所需的时间为课后作业1 一颗质量为m的卫星绕质量为M的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期（）A与卫星的质量无关B与卫星轨道半径的3/2次方有关C与卫星的运动速度成正比D与行星质量M的平方根成正比2 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（）A火星和地球的质量之比B火星和太阳的质量之比C火星和地球到太阳的距离之比D火星和地球绕太阳运行速度大小之比3 两个行星质量分别为M1.M2，绕太阳运行轨道的半径之比为R1.R2,那么它