二次函数图像性质和试题

1、第十二讲 二次函数的图象和性质知识点回顾： 1. 二次函数解析式的几种形式： 一般式：（a、b、c为常数，a0） 顶点式：（a、h、k为常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标。 交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a0，（也叫两根式）。 2. 二次函数的图象 二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。 任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。 在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将

2、的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。 3. 二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a0（a、h、k为常数，a0） a0a0a0a0图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线

3、开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大。(3)当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小 (4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当xh时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当xh时，y有

4、最大值  4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a0，y有最小值，当xh时，；若a0，y有最大值，当xh时，。 公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当 5. 抛物线与x轴交点情况： 对于抛物线 当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。 当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。 典型例题 例1. （1）抛物线是由抛物线怎样平移得到的？（2）若抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式。

5、例2. 二次函数的图象如图所示，对称轴为x1，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 例3. 已知抛物线如图所示，直线是其对称轴 （1）确定a，b，c，的符号； （2）求证： （3）当x取何值时，当x取何值时，。   例4. 已知二次函数，其中m为常数，且满足，试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。 例5. 求抛物线的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x取何值时，y随x的增大而增大，当x取何值时，y随x的增大而减小？ 例6. 下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是（ ） 例7.

6、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m。 （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。 （2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？   例8. 如图，半圆的直径AC2，点B在半圆上，CB不与C、A重合，F在AC上，且AEBC，EFAC于F，设BCx，EFy，求y与x的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。  

7、例9. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元。 （1）求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。 （2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高

8、这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？ 巩固试题 1. 抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴各是什么，最值为多少？指出x值取何值时，函数y随x的增大而减小？ 2. 把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则b_，c_。 3. 已知函数 （1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。 （2）求出图象与x轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小； （4）当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大（小）值； （5）函数图象可由的图象经过怎样的平移得到？ 4. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；。其中正确结论的个数是（ ） A. 4B. 3C. 2D. 5 5. 下列命题中，错误的是（ ） A. 抛物线不与x轴相交 B. 函数的图象关于直线对称 C. 抛物线形状相同，位置不同 D. 抛物线经过原点 6. 已知函数的图象经过第一、二、三象限，那么的图象大致为（ ） 7. 某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则至少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最