复变函数课件2-1解析函数的概念课件

1、1第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考2一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:, , , )( 00的的范范围围不不出出点点点点中中的的一一为为定定义义于于区区域域设设函函数数DzzDzDzfw , )( . )( 00的的导导数数在在这这个个极极限限值值称称为为可可导导在在那那末末就就称称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记记作作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 3在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是

2、任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可可导导在在区区域域内内就就称称我我们们内内处处处处可可导导在在区区域域如如果果函函数数DzfDzf4例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 5例例3 是是否否可可导导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim

3、0 ，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设zxzz xyoz0 y6xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不不存存在在的的导导数数所所以以.2)(yixzf 72.可导与连续可导与连续: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时

4、时使使得得当当 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令8, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因因为为 , )()(lim 000zfzzfz 所所以以 . )(0连连续续在在即即zzf证毕证毕 ,)( )(0zzzzf 93.求导法则求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而因而实变函数中的求导法则都可以不加更改

5、地推广实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来到复变函数中来, 且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为为复复常常数数其其中中cc .,)()2(1为为正正整整数数其其中中nnzznn 10 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为

6、反函数的单值是是与与其中其中114.微分的概念微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线线性性部部分分的的的的改改变变量量是是函函数数小小的的高高阶阶无无穷穷是是式式中中则则可可导导在在设设函函数数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记记作作的的微微分分在在点点称称为为函函数数定义定义12. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在

7、如果函数在如果函数在zzfz特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf13二、解析函数的概念二、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义. )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数全纯函数或正

8、则函数个解析函数个解析函数内的一内的一区域区域是是或称或称内解析内解析区域区域在在则称则称内每一点解析内每一点解析区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfDzf142. 奇点的定义奇点的定义.)( , )(00的奇点的奇点为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzf根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等不等价价的概念的概念. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该点不一定在该点处解析处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要

9、求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.15例例4 .)( 2)(,)( 22的的解解析析性性和和研研究究函函数数zzhyixzgzzf 解解由本节例由本节例1和例和例3知知: ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处处处不不解解析析yixzg , )( 2的的解解析析性性下下面面讨讨论论zzh zzhzzh )()(00zzzz 202016zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趋趋于于沿沿直直线线令令 zzyixyix xy

10、ixyi 11ikik 1117 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它它在在复复平平面面内内处处处处不不解解根根据据定定义义不不可可导导而而在在其其他他点点都都处处可可导导仅仅在在因因此此 zzzh18例例5.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解 , 0 1 处处处处可可导导在在复复平平面面内内除除因因为为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除所所以以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z19例例6.

11、)Re()( 的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处处可可导导在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()(20)Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因因为为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy 21 . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在复平面内处处不解

12、它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf , )( , 0 不不可可导导时时即即当当zfz 课堂练习课堂练习.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .22定理定理 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每

13、一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则可利用求导法则.23根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它它的的奇奇点点使使分分母母为为零零的的点点是是的的零零的的点点的的区区域域内内是是解解析析在在不不含含分分母母为为任任何何一一个个有有理理分分式式函函数数zQzP24三、小结与思考三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法. 注意注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求它们的一些求导公式与求导法则也一样导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,