函数的单调性与极值(16)课件

1、复习复习 1 、 某点处导数的定义某点处导数的定义这一点处的导数这一点处的导数即为即为这一点处切线的斜率这一点处切线的斜率x x) )f f( (x xx x) )f f( (x xl li im m) )( (x xf f0 00 00 0 x x0 0 2 、 某点处导数的某点处导数的几何意义几何意义 3 、 导函数的定义导函数的定义x xf f( (x x) )x x) )f f( (x xl li im m( (x x) )f f0 0 x x 4、由、由定义定义求导数的步骤（三步法）求导数的步骤（三步法）f f( (x x) )x x) )f f( (x xy y求求增增量量( (1

2、 1) )x xf f( (x x) )x x) )f f( (x xx xy y算算比比值值( (2 2) )x xy yl li im my y求求极极限限( (3 3) )0 0 x x5、 求导的公式与法则求导的公式与法则 0)(/C)()(*1/Nnnxxnn如果函数如果函数 f(x)f(x)、g(x) g(x) 有导数，那么有导数，那么( (x x) )g g( (x x) )f fg g( (x x) ) f f( (x x) )/ / / /( (x x) )C Cf ff f( (x x) ) C C/ / /6、 求导的方法求导的方法 定义法定义法公式法公式法练习：练习：1

3、、设、设f（x）=ax3-bx2+cx，且，且f （0）=0， f （1）=1，f （2）=8，求，求a、b、c a=1, b=1, c=0引入：引入： 函数单调性体现出了函数单调性体现出了函数值函数值y随自变随自变量量x的变化而变化的情况的变化而变化的情况, 而而导数导数也正是研究也正是研究自变量的增加量自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？研究单调性呢？ 设函数设函数y=f(x)在某个区间内有导数，在某个区间内有导数，如果在这个区间内如果在这个区间内y0，那么，那么y=f(x)为这为这个

4、区间内的个区间内的增函数增函数；如果在这个区间内；如果在这个区间内y0增函数增函数y0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间（3）求解不等式求解不等式f(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递减递减区间区间注、注、单调区间不单调区间不 以以“并集并集”出现。出现。 导数的应用一、导数的应用一、判断单调性、求单调区间判断单调性、求单调区间例例2、确定函数确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间的单调区间引例：引例：确定确定y=2x3-6x2+7的单调区间的单调区间 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)在在x=x0及其

5、及其附近有定义，如果附近有定义，如果f(x0)的值比的值比x0附近所附近所有各点的函数值都大，我们就说有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是是函数的一个函数的一个极大值极大值，如果，如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就附近所有各点的函数值都小，我们就说说f(x0)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。 极大值与极小值极大值与极小值统称统称为极值为极值. 函数极值函数极值的定义的定义 如果如果x0是是f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在x0的左侧附近的左侧附近f(x)0，那么是那么是f(x0)函数函数f(x)的一个的一个极小值极小值. 导数的应用二、导数的应用

6、二、求函数的极值求函数的极值 如果如果x0是是f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在x0的的左侧附近左侧附近f(x)0，在，在x0右侧附近右侧附近f(x)0，那么那么f(x0)是函数是函数f(x)的一个的一个极大值极大值 (1) 求导函数求导函数f (x)； (2) 求解方程求解方程f (x)=0； (3) 检查检查f (x)在方程在方程f (x)=0的根的左右的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小的符号，并根据符号确定极大值与极小值值.口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的用导数法求解函数极值的步骤步骤：例例1 、求

7、函数、求函数y=x3/3-4x+4极值极值. 练练:(1)y=x2-7x+6 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3表格法表格法注、注、极值点是导数值为极值点是导数值为0的点的点导数的应用之三、导数的应用之三、求函数最值求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的问题，这就是我们通常所说的最值问题最值问题. (2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较，其比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值中最大的一

8、个为最大值，最小的一个最小值 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)表格法表格法一是利用函数性质一是利用函数性质二是利用不等式二是利用不等式三是利用导数三是利用导数 注：注：求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用配方，利用二次函数单调性处理二次函数单调性处理例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区

9、间1，5内内 的极值与最值的极值与最值 故函数故函数f(x) 在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1,2）2（2,5）5y00y_+3112导数导数导数的定义导数的定义求导公式与法则求导公式与法则导数的应用导数的应用导数的几何意义导数的几何意义多项式函数的导数多项式函数的导数函数单调性函数单调性函数的极值函数的极值函数的最值函数的最值例例1、 若两曲线若两曲线y=3x2+ax与与y=x2-ax+1在在点点x=1处的切线互相平行，求处的切线互相平行，求a的值的值. 分析分析 原题意等价于函数原题意等价于函数y=3x2+ax与与 y=x2-ax+1在在x=1的导数相等，的导数相等， 即：即：6+a=2-a 例例2 、 已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c通过点通过点P(1，1)，且在点，且在点Q(2，-1)处与直线处与直线y=x