导数的几意义

1、导数的几何意义 复习1、平均变化率？2、平均变化率的几何意义？3、瞬时变化率？4、瞬时变化率的几何意义？ 概括：函数概括：函数 在在 处的处的 导数导数 的的几何意义几何意义就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的处的切线切线ad的斜率的斜率. （数形结合）（数形结合） )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,(00 xfxa 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定

2、义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 2l1lxyabc练习：求y=x3在（0，0）处的切线方程ppp 根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点p附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点p处的切线近似代替处的切线近似代替 。 大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大致可来看，大致可看作看作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线可以用过此某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即点的切线近似代替，即“以直代曲以直代曲” （以简（以简单的对象刻画复杂的对象）单的对象刻画复杂的对象） 1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形

3、来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0ot (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thto3t4t0t1t2t (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率

4、附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝多值的大小的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 0t曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调0t,1t,1

5、t2t如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升递增递增2l1l3l4l3t4t上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减递减下降下降小于小于下降下降,3t4t 2如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6

6、,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1) 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率, 就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,它表示它表示曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf 抽象概括抽象概括：是确定的数是确定的数是的函数是的函数x 导函数的概念：导函数的概念：)(/xfxxfxxfxfx

7、)(lim0000/ xxfxxfxfx)(lim0/t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 3 . 004 . 15 . 0例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点p(1,2)处的切线方程处的切线方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)

8、(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 归纳归纳:求切线方程的步骤求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。练习:小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线ad的斜率的斜率（数形结合）（数形结合） )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxaxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切线切线 ad的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称