二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值

1、学习必备欢迎下载二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值1、一元二次方程ax2bx c 0根的分布情况设方程 ax2bx c 0a0 的不等两根为x1 , x2 且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2bx c0 ，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论ax10, x20x10, x2000bb002a2af 0 0f 0 000bb0

2、02a2af 0 0f 0 000bb002a2aa f 0 0a f 0 0一个大于 0 x10x2f 00f 00af 00）分布情况大致图象（a0）学习必备欢迎下载表二：（两根与 k 的大小比较）两根都小于 k 即两根都大于k 即一个根小于 k ，一个大于k 即x1k, x2kx1k, x2kx1kx2kkk得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a00bbkk2a2af k 0f k000bbkk2a2afk0fk000bkb2ak2aa f k0a f k 0f k0f k0af k0）学习必备欢迎下载表三：（根在区间上的分布）分两根有且仅有一根在m, n 内一根在m,n

3、 内，另一根在 p, q布两根都在情m, n 内内， mn p q况（图象有两种情况，只画了一种）大致图象（a0）得出的结论大致图象（0f m0f m 0f n 0f m f n0f n0f m f n 0f p0或0f p f qmbnf q02aa0）0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmfn的0p0或fpfq0结bf论mnfq02a综合结fmfn0论（fmfn0不fpfq0讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m, n 外，即在区间两侧x1m, x2n ，（图形分别如下）需满足的条件是学习必备欢迎下载（ 1） a0 时，fm0（ 2） a 0 时，fm0fn；fn00

4、二、典例分析例 1、已知二次方程2m1 x22mxm10 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。解：由2m 1f00即2m1 m101m1 即为所求的范围。，从而得2例 2、已知方程 2x2m1 xm 0 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。解：由0m28m0m 11m 3 2 2或 m 3 2 20m12 2m0m0f000 m 3 22 或 m322 即为所求的范围。例 3、已知二次函数2y m 2 x 2m 4 x 3m 3与 x轴有两个交点，一个大于1，一个小于，求实数1m 的取值范围。解：由 m 2 f1 0 即 m 2 2m 1 02m1即为所求的范围。2例 4、已知二次方程

5、 mx22m3 x 4 0 只有一个正根且这个根小于1，求实数 m 的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则 f 0 f 1 04 3m 1 0m1即为所3求范围。2、二次函数在闭区间m, n 上的最大、最小值问题探讨学习必备欢迎下载设 f x ax 2bx c 0 a0 ， 则二次函数在闭区间m, n 上的最大、最小值有如下的分布情况：mbmbbbnn 即m, nm n2a2a2a2a图象最fx maxfmfx maxmaxf n , f mx max大f、最fx minfnfx minfbx min小f值2a对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以

6、下两种结论：f n f mb（ 1）若m, n ，则 f x 2ab（ 2）若m, n ，则 f x 2amaxmaxmaxfm , fb， fx min min f m , fb, f n, f n；2a2amaxfm , f n， f x minminf m , f n另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴 越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、求函数 fx

7、x22ax1, x1,3的最小值。（定区间动轴）解：对称轴 x0a（ 1）当 a1 时， yminf122a ；（2）当1a3 时， yminfa1 a2；（ 3）当 a3时， yminf3106a改： 1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（ 1）当 a2 时， fx maxf3106a ；学习必备欢迎下载（ 2）当 a2时， fx maxf122a 。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（ 1）当 a1 时， fx maxf3106a ， fx minf122a ；（2）当 1a 2 时， f xmaxf 3 10 6a ， f xminf a 1 a2 ；（3）当 2a3 时， fx maxf12 2a ， f x minfa1 a2 ；（ 4）当 a3时， fx maxf122a ， fx minf3106a 。例 2、求函数 yx24x3 在区间 t, t1上的最小值。（定轴动区间）解：对称轴 x02（1）当 2t 即 t2 时， yminftt 24t3 ；（ 2）当t2t1即1t 2时，；yminf21（3）当 2t1 即 t1时， yminf t1t22t例 3、函数fxax22ax2b a0 在 2,3 上有最大值5 和最小值2，求 a, b 的值。解：对称轴 x012,3 ，故函数fx