167;32一11维非稳态导热过程分析及周期性非稳态导热

1、heat transfer传热学传热学 building energy efficiency is the wave of the future !3 非稳态导热非稳态导热 建筑环境与设备工程专业主干课程之一建筑环境与设备工程专业主干课程之一 !chapter3 unsteady-state (transient) conductionl o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 、重点内容：、重点内容： 非稳态导热的基本概念及特点；非稳态导热的基本概念及特点； 集总参数法的基本原理及应用；集总参数法的基本原理及应用； 一维及二

2、维非稳态导热问题。一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容：、掌握内容： 确定瞬时温度场的方法；确定瞬时温度场的方法； 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。无限大物体非稳态导热的基本特点。 l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department v一、无限大平板加热（冷却）过程分析一、无限大平板加热（冷却）过程分析厚度厚度 2 2 的无限大平壁，的无限大平壁， 、a a为已知常数为已知常数； =0=0时温度为时温度为 t t

3、0 0; ;突然把两侧介质温度降突然把两侧介质温度降低为低为 t t 并保持不变；壁并保持不变；壁表面与介质之间的表面表面与介质之间的表面传热系数为传热系数为h h。两侧冷却情况相同、温两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原度分布对称。中心为原点。点。3-2 一维非稳态导热过程分析及周期性非稳态导热一维非稳态导热过程分析及周期性非稳态导热l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 导热微分方程：导热微分方程：22xtat初始条件：初始条件： , 00tt 边界条件：边界条件： ( (第三类第三类) )0 , 0 xtx)(-

4、 ,tthxtxl o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 22xtat , 00tt )(- ,0 , 0tthxtxxtx过余温度 ),(txt22xa00 , 0 -tt0 , 0 xxxhxx- , l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 采用分离变量法求解：采用分离变量法求解：22xa00 , 0 -ttxhxxxx- ,0 , 02211dxxdxdda只能为常数：只能为常数：2211dxxdxdda只为只为 的函数的函数只为只为 x x 的函

5、数的函数)()(),( xxx假设：l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 对对 积分积分a1得到得到aec1式中式中c c1 1是积分常数，常数是积分常数，常数值值的正负可以从物理概的正负可以从物理概念上加以确定。念上加以确定。当时间当时间趋于无穷大时，过程达到稳态，物体趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以达到周围环境温度，所以必须为负值必须为负值，否则，否则物体温度将无穷增大。物体温度将无穷增大。l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering departme

6、nt 令令221dda则有则有 以及以及2221dxxdx以上两式的通解为：以上两式的通解为：21aec)sin()cos(32xcxcx于是于是:)sin()cos(),(2xbxaexal o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 常数常数a a、b b和和可由边界条件确定。可由边界条件确定。00 , 0 -ttxhxxxx- ,0 , 0(1)(2)(3)由边界条件（由边界条件（2 2）得）得b=0b=0)sin()cos(),(2xbxaexa（a）（a a）式成为）式成为 (b)(b)cos(),(2xaexa边界条件

7、（边界条件（3 3）代入）代入(b) (b) 得得 (c)(c)htg)(l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department htg)(将将 右端整理成：右端整理成：bihhy1注意，这里注意，这里bibi数的尺度为数的尺度为平板厚度的一半。平板厚度的一半。显然，设显然，设=，是两曲线交点对应的所是两曲线交点对应的所有值。式有值。式(c)(c)称为特征方称为特征方程。程。 称为特征值。分称为特征值。分别为别为1 1、 2 2 n n。htg)(l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering d

8、epartment 至此，我们获得了无穷个特解：至此，我们获得了无穷个特解：)cos(),(11121xaexa)cos(),(22222xaexa)cos(),(2xaexnnann.1)cos(),(2nnnaxaexn将无穷个解叠加：将无穷个解叠加：l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 利用初始条件利用初始条件 求求a an n00 , 0 -tt1)cos(),(2nnnaxaexnnnnnnacossinsin20解的最后形式为：解的最后形式为：)exp()cos(cossinsin2),(221n0nnnnn

9、naxxl o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 2foa傅里叶准则傅里叶准则的内能变化单位时间体积为的导热量面积厚为单位时间通过32322focafofo：称之为傅里叶准则或傅里叶数，其称之为傅里叶准则或傅里叶数，其物理意义表物理意义表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能的对比关系性能的对比关系，是给定系统的动态特征量，是给定系统的动态特征量 .l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 2foa

10、hbix 无量纲距离无量纲距离) ,fo bi,(),( 0 xfxl o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 非稳态导热的正规状况 对无限大平板对无限大平板 当当 取级数的首项，板中心温度，取级数的首项，板中心温度， 误差小于误差小于1%1% 20af2 . 0f0efxx021)cos(cossinsin2),(111110efm021111100cossinsin2)(),0(l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department )cos()(),(1xxmefx

11、x021)cos(cossinsin2),(111110efm021111100cossinsin2)(),0(l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department )(00ttcvq考察热量的传递考察热量的传递q q0 0 -非稳态导热所能传递的最大热量非稳态导热所能传递的最大热量l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department ),()cos(cossinsin2),(111110021xbifofxxef正规热状况的实用计算方法正规热状况的实用计算方法线算图法线算图法诺

12、谟图诺谟图三个变量，因此，需要分开来画三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，以无限大平板为例，f00.2 f00.2 时，取其级数首项即可时，取其级数首项即可(1)(1)先画先画),(0bifofml o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department (2) (2) 再根据公式再根据公式(3-23)(3-23) 绘制其线算图绘制其线算图),()cos()(),(1xbifxxm(3) (3) 于是，平板中任一点的温度为于是，平板中任一点的温度为00mm同理，非稳态换热过程所交换的热量也可同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用

13、（以利用（3 32424）和（）和（3 32525）绘制出。）绘制出。l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department ttcqfqq02000m2 );bi fo,(平壁每l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 如何利用线算图如何利用线算图a a）对于）对于由时间求温度的步骤由时间求温度的步骤为，计算为，计算bibi数、数、fofo数和数和x/x/ ，从图，从图3-53-5中查找中查找mm/ / 0 0 和从图和从图3-63-6中中查找查找 / / mm ，计

14、算出，计算出 ，最后求出温度，最后求出温度t t tttt00b) b) 对于对于由温度求时间步骤由温度求时间步骤为，计算为，计算bibi数、数、 x/x/和和 / / 0 0 , ,从图从图3-63-6中查找中查找 / / mm, , ，计算，计算mm/ / 0 0然后从图然后从图3-53-5中查找中查找fofo, ,再求出时间再求出时间 。 c c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算）平板吸收（或放出）的热量，可在计算0 0和和bibi数、数、fofo数之后，从图数之后，从图3-73-7中中/0 0查找，再计算查找，再计算出出 00l o g ol o g o建筑工程系 construct

15、ion engineering department 解的应用范围解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且热及冷却过程，并且f0=0.2f0=0.2l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 二、无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析二、无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析1. 1.无限长圆柱无限长圆柱t tr rt tt tt t0 00rrfobiftttt,00式中式中r r为无限长圆柱

16、体的半径为无限长圆柱体的半径 2,rafohrbi类似有类似有 ： 和和rrbiffobifmm,2100fobif,30l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 2.2.球体球体ttrt0 00球体处理方法与无限大圆柱球体处理方法与无限大圆柱体完全相同，相应的线算图体完全相同，相应的线算图见教材。见教材。这里要注意的是特征尺寸这里要注意的是特征尺寸r r为球体的半径，为球体的半径，r r为球体的为球体的径向方向。径向方向。 l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering depar

17、tment 对分析解的讨论对分析解的讨论1. fo1. fo准则对温度分布的影响准则对温度分布的影响fofo 0.20.2时，进入正规状况阶时，进入正规状况阶段，平壁内所有各点过余温段，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间按线性规度的对数都随时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都律变化，变化曲线的斜率都相等相等。fofo0.20.2时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温度变化速率不同度变化速率不同l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 2. bi2. bi准则对温度分布的影响准则对温度分布的影响

18、bi bi （bi=bi=h h / / ）表征了给定导热系统内的导热热表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系 。当当 bibi 时，意味着表时，意味着表面传热系数面传热系数 h h ，对，对流换热热阻趋于流换热热阻趋于0 0。平壁。平壁的表面温度几乎从冷却的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降过程一开始，就立刻降到流体温度到流体温度 t t 。l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 当当bibi0 0时，意味着物体时，意味着物体的热导率很大、导热热阻的热导率

19、很大、导热热阻 0 0（bi= bi= h h / / ）。物）。物体内的温度分布趋于均匀体内的温度分布趋于均匀一致。一致。可用集总参数法求解可用集总参数法求解. .l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 三、多维非稳态导热的图解法三、多维非稳态导热的图解法应用上面讨论线算图可以求出厚度为应用上面讨论线算图可以求出厚度为2 2 的大平的大平板、半径为板、半径为r r的无限长圆柱体、及半径为的无限长圆柱体、及半径为r r的球的球体的温度分布和传导的热量。体的温度分布和传导的热量。 对非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面对

20、非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？ 用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。 l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 二维及三维问题的求解二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体考察一无限长方柱体( (其截面为其截面为 的长方形的长方形)22122122ft 21),(),(),(ppyxyxl o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 一个二维非

21、稳态导热问题的解可以用两个导热方向相互垂一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。 同理，一个三维非稳态导热问题的解可以用三个相互垂直的同理，一个三维非稳态导热问题的解可以用三个相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示一维非稳态导热问题解的乘积来表示。 22 2yx021 1例如：例如：1.1.矩形截面的长棱柱（正矩形截面的长棱柱（正四棱柱）四棱柱）：可由两个大平板正交：可由两个大平板正交构成，因而温度分布为两个大平构成，因而温度分布为两个大平板对应的温度分布的乘积板对应的温度分布的乘积 20100ppl o

22、 g ol o g o建筑工程系 construction engineering department yzx2.2.矩形块体矩形块体( (立方体立方体) ) 可由三个大平可由三个大平板正交构成，因而温度分布为三个大板正交构成，因而温度分布为三个大平板对应的温度分布的乘积平板对应的温度分布的乘积 3020100ppp2xrr03.3.短圆柱体短圆柱体可由一个长圆柱体和可由一个长圆柱体和一个大平板正交构成，因而温度一个大平板正交构成，因而温度分布为一个长圆柱体和一个大平分布为一个长圆柱体和一个大平板对应的温度分布的乘积板对应的温度分布的乘积 cp0100l o g ol o g o建筑工程系

23、construction engineering department 0), x(0), v(rl2122232 cpyxyx),(),(),(l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department rx04.4.半长圆柱体半长圆柱体可由一个长圆柱体和一可由一个长圆柱体和一个半无限大固体正交构成，因而温度个半无限大固体正交构成，因而温度分布为一个长圆柱体和一个半无限大分布为一个长圆柱体和一个半无限大固体对应的温度分布的乘积固体对应的温度分布的乘积 sc000需要强调的是，我们要确定某一点的温度时，一定要首需要强调的是，我们要确定某一点的温度时，一定要首先确定该点在对应的几个一维空间上的位置，再去确定先确定该点在对应的几个一维空间上的位置，再去确定相应的一维温度值，最终乘积得出物体在该点的温度值相应的一维温度值，最终乘积得出物体在该点的温度值。 l o g ol o g o建筑工程系 construction engineering department 四、半无限大的物体四、半无限大的物体v半无限大系统指的是一个半无限大的空间，也半无限大系统指的是一个半无限大的空间，也就是一个从其表面可以向其深度方向无限延展就是一个从其表面可以向其深度方向无限延展的物体系统。的物体系统。v很多实际