2021届贵州省遵义市高三第一次统一考试(9月)数学(理)试题Word版含解析

1、2021届贵州省遵义市高三第一次统一考试（9月）数学（理）试题一、单选题1. 已知集合A = x-Kx<Ot 集合B = xllg乓 1,贝（）A. xl-l<x< 10）B. xl-1 <x< 10C. xl0<x< 10D. IO<x< 10）【答案】C【解析】对集合B内的不等式进行计算，然后根据交集运算得到答案.【详解】集合3中，解不等式lgv<l,得0VM10,所以集合B=x|0<x<10而集合 A = xl-lx<10所以 AClB=xlO<xvlO,故选C项.【点睛】本题考查对数不等式的讣算，集合交

2、集的运算，属于简单题.2. 在复平面内，复数z满足（1-0 = 4,则复数二在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数J从而得到其在复平面对应的点的坐标, 得到答案.【详解】4由 z（l-0 = 4,得"= 2 + 2/所以z在复平面对应的点为（2,2）,所以对应的点在第一象限.故选A项.【点睛】本题考查复数的讣算，复平面的相关概念，属于简单题.I3. 已知两个单位向量方和的夹角为120', 2R,则I爲+力的最小值为（）3【答案】B【解析】对1爲+引平方，然后将单位向量方和5的模长和夹角带入

3、，得到关于R的函数，然后 得到其最小值，从而得到答案.【详解】ka+bf=k2a+2b+b2因为2和乙是单位向量，且夹角为120所以（1肋 + 力）=k2 a +2ka-b + b=k2 a +2k a b cos“,5）+ b= k2-k + 所以H滲所以1力+引的最小值为2【点睛】本题考查向量模长的表示，求模长的最小值，属于简单题,4.已知 tana = -r73 , <a<7r9 Jjl) sin a-cos a =()2A. W2Bc. T + dD.2 2 2【答案】A【解析】tana = -苗、<a<n22龙a =3 箔1 sm a =，cos a =22

4、1 + -3 sincr-cosa =2故选A5.已知： = log65, h = 03, c = ln|,则下列结论正确的是（）A. a <b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b【答案】D【解析】分别将"，c与特殊值0,1进行比较，然后判断出其大小关系，得到答案.【详解】c = In e (-oo,0)因为d = logs 5 w(0,1) , b =严 e(b+<o),所以c<a<b, 故选D项【点睛】本题考查比较指数值和对数值的大小，属于简单题.6-执行如图所示程序框图，若输入的k=49则输出的（

5、(开J )b4【答案】C【解析】根据程序框图的要求，得到每次循环对应的的值，再根据判断语句，结束循环,输出*的值，得到答案.【详解】根据程序框图的循环语句可知第一次循环，=4,/= 0,5 = 0,此时 n k , 72 = 1 , 5 = !;1x2第二次循环，k=4,n = l,s = ,此时nWk , n = 2, 5 = ! + 1x2第三次循环，= 4,/7 = 2,5 =,此时 nWk,八=3, s = - +1x2 2x31x2 2x3 3x4第四次循环，比=4丿=3,5 =丄+丄+丄，此时nWk, n = 4, s= 11111x2 2x3 3x4第五次循环，k=4/ = 3,

6、s = ,此时“WR, /J =5 1x2 2x3 3x4 4x511111+1x2 2x31 1 1+ 一+H1x2 2x3 3x4 4x5s =+1x2 2x3 3x4 4x5 5x6第六次循环，比=4丿=5,不满足循环停止,11111H+1x2 2x3 3x4 4x5 5x61111111111 + + + + 1223344556"6故选C项.【点睛】本题考查根据输入值求程序框图的输出值，裂项相消求数列的和，属于简单题.7.已知函数/(x) = x-sinx,贝怀等式/(I-丘)+ /(3“3)>0的解集是A. (yc.-4)U(1,+o)B. (p,-l)u(4,+s

7、)C. (74)D. (71)【答案】C【解析】山题意，根据函数的解析式，求解函数/(工)是定义域上的单调递增函数，且为奇函 数，把不等式转化为1-x2>-(3x + 3),进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数/(x) = A-sinA-,则Aa) = 1-cosx>0,所以函数/(x)是定义域上的单调递增函 数，乂由 f(-x) = -x-sin(-x) = -(x-sinx) = -/(x),即函数 /(x)定义域上的奇函数，又由不等式/(1-x2) + /(3x + 3)>0可转化为 /(I-x2) >-/(3x + 3) = f-(3x+

8、3)即 1-x2 >-(3+3),即x2-3x-4<0,解得Tvxv4,即不等式的解集为(-1，4),故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求 得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式x2-3x-4<0是解答的关键，着重 考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()【答案】B【解析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再山儿何概型的计算公式计算即可.【详解】4X_f阴影部分的面积S = J(cos.v sinx)dx = (sinx

9、+cosa)才=>/2 -1 止方形面积力，所以所k概072-1_4(72-1)率为艺T【点睛】本题主要考查与面积有关的儿何概型.9. 已知函数/(x) = sin.Y-cosx, g(Q是心)的导函数，则下列结论中错误的是A. 函数心)的值域与g(x)的值域相同B. 若兀是函数f(x)的极值点，则兀是函数gg的零点C. 把函数f(x)的图像向右平移彳个单位，就可以得到函数g(x)的图像D. 函数心)和巩对在区间(_f, ?)上都是增函数4 4【答案】C【解析】先求出/(X)的导数，结合解析式的特点来判断.【详解】 g(x) = cosx +sinx9所以选项A正确；山极值点定义可知选项

10、B正确：把八朗的图像向右平移故选C.彳个单位，得到 y = cos(x - 号)+ sin(x - £) = sin x - cos x 与 g (x)不相等;【点睛】 本题主要考查三角函数的图像和性质三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响.10. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数 学家杨辉所著的详解九章算法(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展 开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1, 1, b 1, 2, 1, 1, 3, 3, b b 4, 6, 4, 1记作数列©,若数

11、列色的前n项和为几，则焉=A. 265B. 521C. 1034D. 2059【答案】B【解析】先计算出杨辉三角中第47个数在第儿行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后 再求其前47项的和.【详解】根据题意杨辉三角前9行共有1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9,所以前 47 项的和 S47 = 2° 4-2*4-22 4- + 28+ 1+9 =2"-1 + 1 + 9 = 521故选B项.【点睛】本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题.11. 已知边长为4的等边三角形ABC,。为BC的中点，

12、以AD为折痕，将三角形ABC折成直二面角B-AP-C,则经过儿B, C,"球的表面积为()A. 12兀B. 16”C. 20龙D. 24龙【答案】C【解析】首先对平面图形进行转换，将三棱锥补齐成长方体，进一步求出长方体外接球体的半 径，最后求出所求球的表面积.【详解】如图所示，边长为4的等边三角形ABC,0为的中点，以AD为折痕，将三角形ABC折成直二面角B-AD-C.则 AD = 2羽,BD = CD = 2,将三棱锥D-ABC可补成一个长方体，则经过儿B, C,。球为长方体的外接球，设球的半径为厂故：（2广）2=初2+皮）2+仞2= 12+4+4 = 20所以厂=>/5所以

13、其表面积S = 4耐2 = 20兀故选C项.【点睛】本题考查通过补齐图形求三棱锥的外接球半径及表面积，属于中档题.12. 已知耳丹分别是双曲线C：石一$ = 1的左、右焦点，若巳关于渐近线的对称点恰落在以6为圆心|OFj为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A. 3B. 3C. 2D.运【答案】C【解析】求出尸2到渐近线的距离，利用尸2关于渐近线的对称点恰落在以F丄为圆心，为半径的圆上，可得直角三角形，山勾股定理得关于皿的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意，厲（c,0）f2（c,0）, 条渐近线方程为设F2关于渐近线的对称点为与渐近线交于启，MF2 =2MF2M的中点，乂O是耳巴的中

14、点，.：OE/FM, F1MF2为直角,A MF1F2为直角三角形，由勾股定理得4c2 = c2 +4fe2> 3c2 = 4(c2 a2),c2 =4a29c = 2a, .- e = 2,故选 C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下儿种情况：直接求出从而求出&构造a,c的齐次式，求出采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解.二、填空题13. 直线/：3x + 4y-1=0与圆C:x2 + r=6/2 （其中兴/O无公共点，则实数8的取值范围是【答案】（-|,o）u

15、（o,|）【解析】直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，将圆的圆心和半径表示出来，然 后利用公式，得到关于d的不等式，解出答案.【详解】圆C:x2 + y2=a2 （其中aeR）,圆心为（0,0）,半径为问，且qhO因为直线/：3x + 4y-l=0与圆C:F + y2=/无公共点则圆心（0,0）直线/的距离大于半径，|_1| 1即后+于W同VgHdHO解得°的范围为（-g，o）u（o£）.【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于简单题.14. 甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分 别为X、匕，则

16、X：匕等于【答案】1 : 3【解析】山三视图可知：该儿何体是山上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥.利 用体积讣算公式即可得出.【详解】 由三视图可知：该儿何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥. y/=lxl3 = ,133= 7rx22 x3 = 4/r ,-3%：匕= 1:3.【点睛】本题考查三视图还原儿何体，求球和圆锥的体积，属于简单题.S3 + 215. 已知数列匕、他均为等差数列，且前力项和分别为S”和7；,若有=七,则仿23【答案】vO【解析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的¥=舒，再由等差数列的求和公式,转化为?，从而得到答案.11【详

17、解】因为数列"“、0”均为等差数列a. 2a. 所以,J 5+57(勺+如)2 一为7(忙)T7.3x7 + 2_237 + 1 T【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.16. 已知函数/(x) = log。("3)-1 (“>0且dHl)的图象恒过定点仏 若点/在直线1 ?加x + ny + 4 = °上，其中加>0,贝IJ+的最小值为.4【答案】-【解析】先山函数/(兀)得到定点A坐标，再把人代入直线，得到?，"的关系，再由基本不等 式得到答案.【详解】函数/(x) = logn(x + 3)-l (“>0

18、且X1)的图象恒过定点(-2,-1),所以 A(-2,-l),将4(2,-1)代入到直线wtv + ny + 4 = 0中，得到2m + n = 4,即 2(/7? +1) + 7? =614>-(2 + 2x2 + 2)= -6 3当且仅当m=n = 3时，等号成立.24所以答案为：【点睛】本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.三.解答题17. 设函数/(x) = sin(2x-+2cos2 x-.O(I)当go申时，求函数.2)的值域；(U) AABC中，角儿B, Q的对边分别为a, b, c,且/(A) = i, 2"2=3F, c = Z忑,求 AAB

19、C的面积.【答案】(I)(II)进色【解析】(I)对/(X)进行化简，得到正弦型函数，然后根据X的范圉，求出2X + ?的范围，6得到/'W的值域.(1【)由/(A) = |得到A的值，根据2(=3戻和正弦定理得到3的值，再 由sinC = sin(A + B)求出sinC,根据c + *和正弦定理，得到由面积公式求出A4BC的 面积.【详解】解：(I ) fM = sin(2x - ) + 2 cos2 x -1 6=sin 2xcos 一 cos 2xsin + cos 2x6 6=sin 2x + cos 2x = sin(2x + ),2 2 6£<2x+

20、63;<Z6 6 671Vxe0.-,2/< sin(2x + ) < 1 2 6函数 fW = sin(2x - 2)+ 2 cos. -1 的值域为,1 o2一一 (Q(II )0< A <> / < 2Ah <9&6 6乂 : /(A) = , / sin(2A + )=,2o 22A + - = ,即 /! = -.663由2a2 = 3b2 ,由正弦定理，屈 =丁动：V?sinA = VJsinB, sinB =芈.0<B<2斤T-4sin C = sin(A + B) = 4:b = 2Swc=besin A =2

21、3+y/32【点睛】本题考查三角函数的化简，求正弦型函数的值域，正弦定理解三角形，三角形面积公式，属于 简单题.18. 未来创造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现 的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已 经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间. 某制造企业向4高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精 度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，度量其内 径的茎叶图如图（单位：“加）.9 77810 2578911 3

22、4<1）计算平均值"与标准差（2）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：创）：86、95、103、109、118,试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？参考数据：P（"-2bvZv“ + 2b）=0.9544, P（"-3b vZ v“ + 3b） = 0.9974, 0.9544= 0.87 ,0.99744 = 0.99, 0.04562 = 0.002.【答案】（1） “ = 105“m b =（2）机器异常，需要进一步调试【解析】（1）由均值与方差的定义公式计算；(2)

23、由正态分布求得概率P(“-3b<Zv“ + 3b)后知零件内径在(87,123)外的概率只有 0. 0026,而86在(87,123)外，因此机器异常.【详解】(1)=105/Z?,97+97 + 98 + 102 + 105 + 107 + 108 + 109 + 113 + 11410(-8)2 +(-8)2 +(-7)2 +(-3)2 +02+22+32+42+82+92 io所以b = 6“？(2)结论：需要进一步调试.理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,6j,P(“ 一 3b v Z v “ + 3b) =P(87<Z<123) = 0.9974

24、,零件内径在,123)之外的概率只有0.0026, 而86(87,123),根据3o原则，知机器异常，需要进一步调试.【点睛】本题考查均值与方差公式，考查正态分布，解题时山相应公式计算即可.属于基础题.19.如图所示，四棱锥 P-ABCD 中,PA 丄底面 ABCD, PA = 2, ZABC = 90°f AB =長,BC = fAD = 2忑,CD = 4, E为CD的中点.(1)求证：肚平面PBC；求二面角B - PC - D的余弦值.【答案】详见解析；(2)【解析】(1)分别计算/册和ZGE得出两角相等，得出血应；故而庖平面丹G (2) 建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量

25、，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：/ AB = V3,BC = 1,ZABC = 90：.AC = 2.ZBAC = 60在 AACQ 中，/ AD = 2x/3, AC = 29CD = 4, /. AC2 + AD2 = CD1AACD是直角三角形乂£为仞的中点，/. AE = -CD = CEAanZACD = = >/3 2ACZACD = 60/. AACE是等边三角形， ZCAE = 60 = ZBCA, BC/AE乂 AEcz 平面 PBC.BCu 平面 PBC:.AE/平面 PBC设2=1，则Z2 = 1宀=由（1）可知ZBAE = 90

26、,以点A为原点,以AB.AE.AP所在直线分别为x轴、，轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P（002）,B（Go,0）, C（V5丄0）,£（-更3,0）, £（0,2,0）,丙=（馆,0,-2）,兀=（馆丄-2）, 而=（-馆,3,-2）,胚=（0,2,-2） 设用=（心也）为平面PBC的法向量，则/T设 X = 1,则 ” =0,Z = ,帀=1,0,设加=（冷必勺）为平面PBC的法向量,则帀号0,即m PC = 0,'一 2z2 = 0,+ >2 22 = °，二二面角B-PC-D的余弦值为占【点睛】 本题考查了线面平行的判定，空间向量与

27、二面角的计算，属于中档题.一般证明线面平行是从 线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面 平行。232。顺次连接椭圆的四个项点，怡好构成了-个边长为厲且面积为 2血的菱形.（I）求椭圆C的方程；（H）设M（-3,0）,过椭圆6右焦点尸的直线/交椭圆C于&、万两点，若对满足条件的任意直 线/,不等式MA恒成立，求几的最小值.【答案】（I）斗+卄1; （II）y【解析】（I）根据题意列出4"的方程组，解出得到椭圆方程；（II）按斜率不存在 和存在分别表示出直线/,直线与椭圆联立，得到x,+x2，v2,将顾砺坐标表示出来，代 入坷+尤2，人

28、図2,得到关于斜率k的不等式，从而求出其最大值，得到兄的范围.【详解】丄2a” = 20解：（I ）由已知得：2,a2+h2=3解得 a = >/2 , b = I,所以，椭圆C的方程为y + /=l.（II）设心,必），8（%2，必）MA-MB = (Xj +3, y1)(x2 +3, y2) = (xi +3)( +3) + y,y2, 当直线/垂直于X轴时，召=T，儿=-儿，且y.2 = | 此时m4 = (4，x), mA = (4,)，2)，:=2当直线/不垂直于X轴时，设直线l：y = k(x-l)9llKy = £(x_l) x + 2)，= 231F+72k2+

29、 31即2的最小值为子得(1 +2d 4宀+ 2“ 一 2 = 04k22/-2 xt + x2 =1 + 2/'牡一1 + 2 疋'/ MA-MB = xx2 + 3(x, +x2) + 9 + k1(xl -l)(x2 -1)=(1 + &')召厂 +(3 &')(召 +x2) + 2 + 9 =31< 2要使不等式莎MB< A(2 e R)恒成立,【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，椭圆中的范围问题，属于中档题.21.已知.f(x) = nxt (x) = -x3+6/a- .(I)讨论函数g(x)的单调性；(H)记m

30、ax伽,”表示m,刀中的最大值，若F(x) = max/(x),g(x)(x>0),且函数y = F(x)恰有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】(I人当go时，g(x)的单减区间为(YO,F)；当d>0时，g(x)的单减区间为(-卩-亦)和(需,+8)，单增区间为(-需,亦).【解析】(I)对g(x)求导，得到"，然后分心0和“<0,分别要求"(X)的正负，从而得到g(x)的单调区间;(II)分*0和。>0进行讨论,当*0时,可知证明y = F(x)至多有两个零点，不合题意，当d>0时，先得出g(Q关于0,-亍 对称，所以F(X)要有3个零

31、点， /则必须在(0,1)上取到2个零点，得到关于d的不等式组，解出d的范围，得到答案.【详解】解：(I ) (x) = -xy +ax的定义域为斤，34g'(x) = -x2 + a . 当底0时，g'(x)WO,所以g(Q的单减区间为(p,+oo)； 当 a>0 时，令 g'(x)>0,得 x e(-y/a,yfa),令 g'CQvO,得 Ae(-ao,->/fl)U(/n,-Ko),综上得，当広0时，g(x)的单减区间为(yo,2)；当“>0时，g(x)的单减区间为(-8,-亦)和(亦,+oo),单增区间为(-亦，亦).(II )

32、F(x) = max/(x),g(x)(x>0),f(x) = nx的唯一一个零点是兀=1 ,(x) = -x2+«(x>0),由(1)可得：(i )当広0时，g(x)的单减区间为(p,2),此时y =尸(切至多有两个零点，不符合题意(ii)当d>0时，令G(x) = g(x) +逅，则GM = - § X + g的图象关于点(0,0)对称,即如的图象关于严切中心对称,注意到In x在(1,2)上恒正，F(x)要有3个零点,则g(x)必须在(0,1)上取到2个零点,极大值g(亦)0,且g(l)v0则有综上,g <0，g(苗)>034丨丁3(&#

33、171;)" +a屈 >034(3 V3 1) a e ,+ - 4 43 /【点晴】本题考查利用导数求函数的单调区间，极大值和零点问题，属于难题.x = 1 t22.在平面直角坐标系®中，曲线G的参数方程为严+(其中为参数)以坐标原点O为原点，"轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p = 4V2sin| + |.(I) 写出曲线G的普通方程和曲线C?的直角坐标方程；(II) 设点P, 0分别在曲线G, C,上运动，若P, 0两点间距离的最小值为2迈,求实数加 的值.【答案】(I)G：x + y-加+ 1=0, C2：U-2)2+(y-2)2=8； (II)皿=一3 或加