2020高考数学二轮复习导数基础篇

1、高考冲刺之导数(基础篇)1导数的几何意义函数 y f (x)在xx0处的导数 f (x0)是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0) 处切线 l 的斜率，切 线l 的方程是 yf(x0)f(x0)( xx0)2导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为sf (t)，则 f (t 0)是物体运动在 t t 0时刻的瞬时速度3函数的单调性在( a， b)内可导函数 f( x) ， f (x) 在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f (x) 0? 函数 f ( x)在( a，b)上单调递增； f (x) 0? 函数 f ( x)在( a， b)上单调递减 4函数的极值(1) 判断 f ( x0)是

2、极值的方法一般地，当函数 f (x)在点 x0处连续时， 如果在 x0附近的左侧 f (x) >0，右侧 f (x) <0，那么 f (x0) 是极大值； 如果在 x0附近的左侧 f (x) <0，右侧 f (x)>0，那么 f ( x0)是极小值(2) 求可导函数极值的步骤求 f (x) ； 求方程 f (x) 0 的根； 检查 f (x)在方程 f (x) 0 的根左右值的符号如果左正右负，那么f ( x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f ( x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点5函数的最值(1) 在闭区间 a，b上连续的函

3、数 f ( x)在 a， b上必有最大值与最小值(2) 若函数 f ( x)在 a，b上单调递增， 则 f ( a)为函数的最小值， f ( b)为函数的最大值；若函 数 f(x)在a，b 上单调递减，则 f ( a)为函数的最大值， f ( b)为函数的最小值(3) 设函数 f(x)在 a，b 上连续，在 ( a，b)内可导，求 f ( x)在 a，b上的最大值和最小值的 步骤如下：求 f( x)在( a， b)内的极值；将 f ( x)的各极值与 f ( a) ，f ( b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 6利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 分析实际问题中各量

4、之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系式 yf (x)；(2) 求函数的导数 f (x) ，解方程 f(x) 0；(3) 比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大 (小)值；(4) 回归实际问题作答两个注意(1) 注意实际问题中函数定义域的确定(2) 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值 还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较三个防范(1) 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另 外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2) f (x

5、0) 0 是 yf( x) 在 xx0取极值的既不充分也不必要条件 如y| x|在 x 0处取得极小值，但在 x0处不可导； f(x)x3，f(0) 0，但 x0不是 f(x)x3的极值点(3) 若 yf(x)可导，则 f(x0)0是 f(x)在 xx0处取极值的必要条件 易误警示直线与曲线有且只有一个公共点， 直线不一定是曲线的切线； 反之直线是曲线的切线， 但直 线不一定与曲线有且只有一个公共点两个条件(1) f (x) > 0在( a， b)上成立是 f (x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2) 对于可导函数 f(x)，f(x0)0是函数 f(x)在 x x0处有极值的必要不充

6、分条件 三个步骤求函数单调区间的步骤：(1) 确定函数 f ( x)的定义域； (2) 求导数 f (x) ；(3) 由 f (x) >0( f (x) <0)解出相应的 x 的范围当 f (x) >0 时， f ( x)在相应的区间上是增函数；当 f(x)<0 时， f ( x)在相应的区 间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间小题分类ln 2 x1. (导数与积分)定积分exdx 的值为 ( )0A. 1 B. 1 C. e2 1 D. e2【答案】B(2)当 x 0时，函数 y x2 与函数 y 2 x的图像所围成的封闭区域的面积是【答案】（3）用 max

7、a，b表示 a，b 两个数中的最大数，设 f （x） max x2， x （x 1） ，那么由4 1函数 y f（x）的图象、x 轴、直线 x 和直线 x 2所围成的封闭图形的面积是4【答案】121 1 1 2(4)若 a 0xdx,b 0 1 xdx,c 0 1 x2dx，则 a, b, c的大小关系是 ( )A. a b c B. a c b C. b a c D. c b a 【答案】 A变式(sinx cosx）dx ，则（a x 1 ） 6的二项展开式中含x2 的系数是 （A192 B 19296 96解析：因为 a (sinx cosx)dx ( cosx sinx) | 0 (

8、cos sin ) ( 0cos0 sin0) 2，所以 （a x6，则可知其通项6rTr1 ( 1) rCr626r x62 r r2（1）rCr626rx3r，令 3r2? r1，所以展开式中含 x2项的系数是 （1） rCr626r （ 1） 1C61 261 192，故答案选 B.2（2）若等比数列 a n的首项为 3，且 a4 4（1 2x）dx ，则公比等于 312 4 2 3解析： 4（1 2x）dx （xx2）| 41 （4 16） （1 1） 18，即 a4183·q3? q3.3122.（ 导数的单调性 ）若 f x x2 2x 4ln x，则 f （ x）的单调

9、递增区间为（）A 1,0 B 1,0 2, C 2, D 0, 【答案】 C（ 2 ） 函 数 f （x） 的 定 义 域 为 R ， 对 任 意 实 数 x 满 足 f （x 1） f （3 x） ， 且f (x 1)f(x 3)当 l x 2 时，函数f(x) 的导数 f (x)0 ，则 f（x） 的单调递减区间是 （ ）A 2k,2k 1(k Z)B 2k 1,2 k( k Z)C 2k,2k 2(k Z)2k 2,2k(k Z)答案】 A3)已知函数 f(x) (ax2 2x 1) e x(a R， e为自然对数的底数 ). 若函数 f(x) 在-1 ，1 上单调递减，求 a的取值范围

10、【答案】解： f (x) (2ax 2) e x (ax2 2x 1) e x e xax2 2ax 2x 3 令 g(x) ax2 2(a 1)x 3若 a 0，则 g(x) 2x 3，在 ( 1，1) 内， g(x) 0，即 f (x) 0，函数 f(x) 在区间 1，1 上单调递减 . 7 分若 a 0，则 2 a 1g(x) ax2 2(a 1)x 3 ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x1 ，当且仅a当g(1) 0，即0 a 1时，在 ( 1，1)内 g(x) 0， f (x) 0，函数 f(x)在区间 1，1上单调递减 .若 a 0，则 g(x) ax2 2(a 1)x 3 ，其

11、图象是 开口向下的抛物线，g( 1) 05当且仅当 ，即 a 0 时，在 ( 1，1) 内 g(x) 0， f (x) 0 ，g(1) 03函数 f (x) 在区间 1，1 上单调递减综上所述，函数 f(x)在区间 1，1 上单调递减时， a的取值范围是3. (导数与切线斜率)设 a R, 函数 f(x) exa e x 的导函数是53 f (x) ，1 12 分且 f (x) 是奇函数，若曲线f(x) 的一条切线的斜率是 32则切点的横坐标为(A. ln 22案】DB.ln 2C.ln 2D.ln 22)已知函数f (x)13x3率最112(a时的1)x2 x(a a切线0)，则 f(x)在

12、点 (1, f (1)处的切线的斜方程答案】 y13(3) 曲线 y 3x1A.9 案】A x 在点1，43 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为B.C.D.4.( 导数与图像 ) 函数 yf ( x)3在定义域( 2， 3)内的图像如图所示记函数为 yf ( x)，则不等式x)0的解集为yf ( x)的导B 1，124，8333，1144D(2，3 2 ，3 43 ， 3 )答案】 C1A 3，12，3)31C2，2 1，2)【答案】 A2)设 f (x)是函数 f ( x)的导函数 , y f (x) 的图象如右图所示，则 y f(x) 的图象最有可 能的是23)已知 R 上可导函数 f (

13、x) 的图象如图所示，则不等式 (x2 2x 3)f (x) 0的解集为)【答案】 DA(,2)(1, ) B ( ,2) (1,2)C(,1)( 1,0) (2, )D. ( ,1) ( 1,1)(3,)5. (导数的 运 用 ) 已 知 定 义 在 R上的函数f (x),g(x)满足f(x)x a，且g(x)f (x)g(x)f (x)g (x),f(1)f(1)55 ，则 a 的值是()g(1)g(1)2A2B 1C3D123答案】 B2)已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 满足 f (1) =1，且 f (x) 的导数 f (x) 在 R 上恒有1 的解集为(2f (x)<

14、; 1(x R) ，则不等式 f(x2)2( , 1) (1, )A (1,)B (, 1)C ( 1,1) D答案】 D(3)函数 f(x) 的定义域为 R, f ( 1) 集为( )2, 对任意 x R, f '(x)2,则 f (x) 2x 4的解A. ( 1,1)B. ( 1, )C. ( , 1)D.R【答案】 B( 4 ) f (x)cos( 3x )(0) , 若 f(x) f (x)是 奇 函 数 ， 则 =答案】5) f(x)是定义在 (0, )上的非负可导函数 ，且满足 xf (x) f (x) ，对任意的正数a、b ，若 a b，则必有 A af (b) bf (

15、a) B af (a) bf (b) C af (a)bf (b)Daf (b) bf (a) 【答案】A大题冲关1. (研究函数的单调性、极值、最值等问题)例 1. 设函数 f (x) (1 x)22ln(1x)(I)求 f (x) 的单调区间；(II )当0<a<2 时，求函数g(x) f (x)2x ax1在区间0，3 上的最小值解：(I )定义域为 ( 1, ) f (x)2(1 x)12x(x 2) x1x1令 f (x) 0 ，则 2x(x2)0 ，所以 x2或x 0 x1因为定义域为 ( 1, ) ，所以x 0 令 f (x)0 ，则 2x(x 2) 0，所以 2x

16、0 x1因为定义域为 ( 1, ) ，所以1x0所以函数的单调递增区间为(0,) ，单调递减区间为 ( 1,0) (II ) g(x) (2 a)x 2ln(1x) (x1) g (x) (2 a)x2(2 a)x a 1x1x因为 0<a<2，所以 2 a0，a0 令 g (x) 0 可得 xa2 a 2 a所以函数 g(x) 在(0, a )上为减函数，在 ( a , ) 上为增函数2 a 2 a当 0 a 3 ，即 0 a 3 时，2 a 2在区间 0，3上， g(x)在(0, a )上为减函数，在 ( a ,3) 上为增函数2 a 2 a2a 2ln 2a所以当ag( x)

17、min g( )min 2 a33 ，即 32a2a2 时，g(x) 在区间 (0，3)上为减函数所以g(x)ming(3)3a2ln4综上所述，当0时，g(x)min a 2ln 2 2 a ； 当 23 a 2 时 ，2 a 2g( x) min 6 3a 2ln4例 2. 已 知 函 数 f (x )a ln xx1，曲 线 yf(x) 在点 (1,f(1)处的切线 方程 为0。)求 a 、b 的值；)如果当1时，f (x) xln xkk ，求 k 的取值范围。x解：f (x)a(xx(x1 ln x)1)2由题意知f (1)f (1)11即2f ( x)ln x x1以，f(x)(

18、ln x( x 11x)x1 x22lnx(k1)(x2x1)设 h( x)2ln x(k1)(x2x1),(x0)则， h(x)(k1)(x21)2x2x如果 k0，由 h(x) k(x2 1)(x 1)2 知，当x 1时， h (x) 0 ，而 h(1) 0故，由当x (0,1)时h (x) 0,当x (1, ),时h (x)10 得：2 h( x ) 01- x 2从而，当如果 k而 h(1)x 0时， f(x) (ln x k) 0,即 f(x) lx11)kx(0,1) ，则当， xx 1 x x12 (1,)时， (k 1)(x21k11 2 h(x) 0 与题设矛盾； -x22x

19、0,h (x)00；h(x) 0 得：1如果k1 ，那么，因为h(x) 0而 h(1) 0，x(1,) 时，由h(x)0得12 h(x)0 与题设矛盾；综合以上情况可得： k,01- x例 3设函数x k 2 f (x) e xx.2()若k0，求 f(x) 的最小值()若当 x 0 时f (x)1，求实数 k 的取值范围 .解：()k0 时， f(x)ex x ， f '(x) ex 1.当x(,0) 时，f '(x)0；x (0, )时， f '(x) 0.所以 f(x)在( ,0) 上单调减小，在 (0, )上单调增加故 f ( x)的最小值为 f(0) 1()

20、f '(x) ex kx 1 ， f (x) ex k当 k 1时， f (x) 0 (x 0) ，所以 f (x) 在 0, 上递增，而 f (0) 0，所以 f '(x) 0 (x 0)，所以 f (x)在 0, 上递增，而 f(0) 1，于是当 x 0时， f(x) 1 . 当k 1时，由 f (x) 0得x lnk当x (0,ln k)时， f (x) 0，所以 f (x)在(0,ln k)上递减，而 f (0) 0，于是当 x (0,ln k)时， f '(x) 0，所以 f (x)在(0,ln k)上递减，而 f (0) 1，所以当 x (0,ln k)时，

21、 f (x) 1.综上得 k 的取值范围为 ( ,1.变式训练 1. 已知函数 f(x)x3 ax2 4(a R ).()若函数 y f (x)的图象在点 P(1，f (1) )处的切线的倾斜角为，求 f(x)在 1,14上的最小值；)若存在 x0 (0, ) ，使 f (x0) 0，求 a 的取值范围答案【(1)当x1,1 时， f x 最小值为 f 04. (2)(3,) .】x变式训练 2. 已知函数 f(x) (x k)2ek .(1) 求 f(x) 的单调区间； f /(x) 1 (x2(2) 若对xk2)ekf，令 f1x (0, ) ，都有 f (x) ， e(x) 0 得 x

22、k求 k 的取值范围。解： (1)k当 k 0 时，f (x) 在 (, k) 和(k,) 上递增，在 ( k,k) 上递减；当 k 0 时，f (x) 在 (,k) 和( k,) 上递减，在 (k, k) 上递增(2) k 的1 ,0)取值范围为2。2. (研究函数的零点存在问题)例 1. 已知函数 f (x)1x4 2x3 ax2 2x 2在区间 1,1 上单调递减，在区间431,2 上单调递增 .()求实数 a 的值；()若关于 x的方程 f (2x) m有三个不同实数解，求实数 m的取值范围；()若函数 y log 2 f (x) p 的图象与坐标轴无交点，求实数 p 的取值范围解：(

23、)函数 f (x)在区间 1,1 上单调递减，在区间 1,2 上单调递增， x 1为其极小值点， f (1) 0， a 1214()由( 1)得 f ( x)x44f (x) x 3 2 x2 x 2可得函数 f ( x) 的极大值为 f ( 1)2 3 1 2 2 2x x 2x 2 32x 1 x 2 x 1152,f(2)8，极小值为 f (1) 373 12关于 x的方程 f (2x) m有三个不同实数解，令2x t(t 0) ，即关于 t 的方程y f (t) 的图象与直线 y m 在t 0,上有三个不同的交点，画出 yf (t) 的图像，观察可得37m12合得5121712例 2.

24、 已知函数 f (x ) ax3 取值范围为 (1,3) ，2bx2 cx 在点 x0 处取得极小值 4，使其导数 f '( x)0的x的求：(1) f (x) 的解析式；(2)若过点 P( 1,m) 可作曲线 yf (x) 的三条切线，求实数m 的取值范围2(1)由题意得： f '(x) 3ax2 2bx c 3a(x 1)(x 3),( a 0) 在 ( ,1)上 f '(x) 0；在 (1,3)上 f '(x) 0；在 (3, )上 f '(x) 0 a b c4，f '(1)3a 2bc 0 ，f '(3) 27a 6b c 0

25、a1由联立得：b6， f (x)x3 6 x29xc9因此 f(x)在 x0 1处取得极小值 42y ( 3t2 12t 9)( x t )(t3 6t 29t)2( 3t 2 12t29)x t(3t 212t9)(t 2 6t 9)2( 3t2 12t29)x t(2t 26t)过 ( 1,m)m2( 3t 2 12t39)( 1) 2t36t2 g(t )2t32t212t9 m 0令2 g '(t) 6t 2 6t212 6(t 2t2) 0，求得：t1,t2，方程需：g( 1) 023129m0m16g(2) 016 12249m0m112)设切点 Q(t, f (t)，f

26、(t)f (t)( x t)y三个根。g(t)0有f (t) m在 t 0, 上有三个不同实数解，即故： 11 m 16；因此所求实数 m 的范围为： ( 11,16)f(x) a(x 1) 2ln x(a R) x课后练习 1. 【北京市朝阳区 2020 届高三上学期期末理】已知函数)若 a 2，求曲线 y f(x)在点 (1, f (1)处的切线方程； ()求函数 f(x) 的单调区间；a()设函数 g(x) a 若至少存在一个 x0 1,e ，使得 f(x0) g(x0) 成立，求实数 a的 x取值范围答案】解：函数的定义域为 0,f (x) a(1x12) x2xx2ax 2x a2x

27、1分f(1) 0 ，f (1) 2 1)当 a 2时，函数 f(x) 2(x 1) 2ln x， x所以曲线 y f ( x)在点(1, f (1)处的切线方程为 y 0 2(x 1)，即 2x y 2 0 2. 【北京市东城区 2020届高三上学期期末理】已知 a R，函数 f(x) a ln x 1x()当 a 1时，求曲线 y f(x)在点 (2, f (2)处的切线方程；)求 f (x) 在区间 0,e 上的最小值答案】解： ()当 a 1时， f (x)1ln x 1x， x (0,)，所以 f (x)1 1 x 12 2 ， x xxx(0, ) .因此1f (2) 14即曲线 y

28、1 f(x) 在点 (2, f (2) 处的切线斜率为 14. 又 f (2)ln 2 1 ，2所以曲线 yf(x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程为y (ln211) (x 2) ，24即 x 4y4ln 2 4 0 )因为 f(x) a ln x 1 ，所以 f (x)a2 1 x 2axx2 x x2令 f (x) 0，得 x a若 a0 ，则 f (x)0 ， f x 在区间0,e 上单调递增，此时函数f (x) 无最小值若 0 a e，当 x 0,a 时， f (x) 0 ，函数 f x 在区间 0,a 上单调递减，当 x a,e 时， f (x) 0 ，函数 f x 在区间

29、 a,e 上单调递增，所以当 xa 时，函数 f (x) 取得最小值 lna 10分若 ae ，则当 x 0,e 时， f (x)0 ，函数 f x 在区间 0,e 上单调递减，所以当 xe时，函数 f (x)取得最小值 a e12分综上可知，当 a0 时，函数 f x 在区间 0,e 上无最小值；当 0 a e 时，函数 f x 在区间 0,e 上的最小值为 lna ；3. 【北京市房山区当 a e时，函数 f x 在区间 0,e 上的最小值为 a e b ax 2 . x12020届高三上学期期末理】知函数 f(x)若函数 f(x)在x 1处取得极值 2，求 a,b的值；)当 2b a2

30、1时，讨论函数 f (x) 的单调性 .解：()f '(x)a(x2 1) 2x(b ax)22(x2 1)2(x R)ax2(x2bx a2 1)2依题意有，f '(1)a 22b 2a 0(12 1)2f (1)ba12 1解得 b 0 ， a经检验，a 4,b0 符合题意，所以，a 4,b()当 2b2a2 1时， f '(x)2ax(a2(x2 1)21)x a (ax 1)(x a)(x2 1)2当a0 时，f '(x)x22(x2 1)2解 f '(x) 0， 得x 0x(,0) 时，f '(x) 0 ；当x(0, ) 时， f &#

31、39;(x) 0所以减区间为(,0) ， 增 区 间 为 (0, ) . 当 a 0 时 ， 解 f '(x)1x1,x2 a ，a当 a 0 时，1 a当 x ( , 1)或 x (a,) 时，f '(x)0；当 x (,a) 时， aaaf '(x) 0所以增区间为 (1) ， (a, ) ，减区间为 ( a1,a). a1当 a 0 时，aa当x ( ,a) 或 x( 1a, a) 时，f '(x)0；当x (a,1) 时， af '(x) 0所以增区间为 (a,1a)，a减区间为 ( ,a),( 1a, a).综上所述：当 a0时,f (x) 减区间为 (,0) ，增区间为(0,；当a0时,f (x) 增区间为 (, 1a) ， a(a,) ，减区间为( 1,a) a；当a0时,1增区间为 (a, )a，减区间为 (,a)，(1, a).4.已知函数 f(x)2 axbx cx