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1、人教版数学九年级上册期中试卷检测题(WORD版含答案)一S初三数学一元二次方程易错题压轴题(难)1 阅读下面材料:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母表示,我们可以用公 式S =M +巴匸UXd来计算等差数列的和(公式中的n表示数的个数,a表示第一个2数的值,)例如:3 + 5 + 7+9÷ll + 13÷15 + 17÷19÷21 = 10×3+ "U ×2 = 120.2用上而的知识解决下列问题(1)计算:2+8+14+
2、20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116(2)某县决泄对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树 后坡荒地的实际而积按一圧规律减少,下表为2009、2010、2011. 2012四年的坡荒地面 积的统计数据问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木.2009 年2010 年2011 年2012 年植树后坡荒地的实际而积(公顷)25 20024 00022 40020400【答案】(1)X80;(2)到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【解析】【分析】(1)根据题意,由公式S = &quo
3、t;d +空匸U(来计算等差数列的和,即可得到答案:2(2)根据题意,设再过X年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.列出方程,解方程即 可得到答案.【详解】解:(1)由题意,得d = 6, n = 20 d = 2,' S = 2 X 20 +20(20 1)2×6 =40+1140=1180:1200×+2(2)解:设再过X年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木根据题意.得WT)X 400 = 25200,整理得:(x-9)(x+14) =0.,.× = 9或x=-14 (负值舍去).A 2009+9-1=2017:答:到2017年,可以将全县所有的坡荒地
4、全部种上树木.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,以及计算等差数列的和公式,解题的 关键是熟练掌握题意,正确找出等量关系,列出方程进行解题.2. 问题提出:(1)如图 1,在四边形 ABCD中,已知:D/BC, Z£> = 90% BC = 4, ABC 的 而积为8,求BC边上的高.问题探究(2)如图2在(1)的条件下,点E是CD边上一点,且CE = 2, ZEAB = ZCBAf连 接BE,求AABE的而积问题解决连接AE > BE,若求出最小值:若不存在;请(3)如图3,在(1)的条件下,点E是CD边上任意一点,ABE的而积是否存在最小值:若存在,
5、EAB = ZCBA,说明理由.【答案】(i) 4:【解析】【分析】(1)作BC边上的髙AM,利用三角形面积公式即可求解:(2)延长DA,过B点作BF丄DA于点F,作BH丄AE于点H,易得四边形BCDF为矩形, 在(1)的条件下BC=CD=4,则BCDF为正方形,由AEAB = ZCBA、结合ZFAB=ZCBA 可得ZFAB=ZEABt 从而推出 BF=BH=4,易证 RtBCERtBHE,所以 EH=CE=2,设 AD = a,则AF=AH=4-a,在RtADE中利用勾股上理建立方程可求岀a,最后根据S土 AEBH即可求解:(3)辅助线同(2),设AD二a, CE=m.则DE=4-m,同(2
6、)可得出m与3的关系式,设 ABE的而积为y,由y= IAE-BH得到m与y的关系式,再求y的最小值即可.【详解】(1)如图所示,作BC边上的髙AM,B XrXvs'BC=iBC#AM=84即BC边上的高为4:(2)如图所示,延长DA,过B点作BF丄DA于点F,作BH丄AE于点H,9: AD/BC9 ZZ) = 90°ZBCD=ZD=90o=ZF.四边形BCDF为矩形,又 VBC=CD=4四边形BCDF为正方形,ADF=BF=BC=4.又 V AD BC ZFAB=ZCBa又 VZEAB=ZCBA ZFAb=ZEABTBF丄AF, BH丄AEBH=BF=4,在 RtBCE 和
7、 RtBHE 中,VBE=BE, BH=BC=4RtBCERtBHE (HL)EH=CE=2同理可证 RtBAFRtBAH (HL)AAF=AH设 AD二a,则 AF=AH=4-a在 RtZkADE 中,AD=a, DE=2, AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得 AD2+DE2=AES 即 2+22=(6-)2Q解得310AE=6a=-3C _ 1 AC D1 10 .20Sy4ABE AtiBH × × 4 2233(3)存在,如图所示,延长DA,过B点作BF丄DA于点F,作BH丄AE于点H,BC同(2)可得 CE=EH, AF=AH,设 AD=a, CE=
8、EH=m,贝J DE=4-m, AF=AH=4-a在 RtAADE 中,ADz+DE2=AE 即2+(4-n)2 =(4- + h)2整理得卫_设AABE的面枳为y,则y=丄AEBH二丄川十“22 加+ 4 . y(? + 4) = 2(+16)整理得:2n2 + >7 + 32-4y = 0Y方程必有实数根. =y2 -4×2×(32-4y)0整理得 y2+32y-2560.y-(-162-16)y-(162-16)0 (注:利用求根公式进行因式分解) 又T面积y 20 y162-16即AABE的面积最小值为162-16【点睛】本题考查四边形综合问题,正确作出辅助线
9、,得出AB平分ZFAC,利用角平分线的性质泄 理得到BF=BH,结合勾股定理求出AE是解决(2)题的关键,(3)题中利用一元二次方程 的判别式求最值是解题的关键.3. 在等腰三角形AABC中,三边分别为a、b、c,其中a=4,若b、C是关于X的方程x?-(2k+l) x+4 Ck- - ) =O的两个实数根,求MBC的周长.2【答案】&3C的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求岀k值,将 k值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出AABC的周长;当a=4为底 边长时,由根的判别式=()可求岀k值,将北代入原方
10、程利用根与系数的关系可求岀b+c 的值,由b+c=a可得出此种情况不存在.综上即可得出结论.【详解】( 1、当=4为腰长时,将x=4代入原方程,得:4?4(2R + l) + 4 k- =0X2)解得:&2当k =时,原方程为x2-6x+8=0,2解得:x=2t X2=A,此时ZMBC的周长为4+4+2 = 10:当 =4 为底长时, = - (2c+l) 2-4×1×4 (k -丄)=(2k-3) 2=0,23解得:k=,2' b+c=2k+l=4.T b+c=4=,此时,边长为, b, C的三条线段不能围成三角形.ABC的周长为10.【点睛】本题考查了根
11、的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三 角形的三边关系,分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.4. 已知:如图,在平而直角坐标系中,矩形AOBC的顶点C的坐标是(6, 4),动点P从 点&出发,以每秒1个单位的速度沿线段AC运动,同时动点Q从点B岀发,以每秒2个 单位的速度沿线段30运动,当Q到达o点时,P, Q同时停止运动,运动时间是r秒(r>0).(1) 如图1,当时间r=_秒时,四边形APQO是矩形;(2) 如图2,在P, Q运动过程中,当PQ=S时,时间t等于_秒;(3) 如图3,当P, Q运动到图中位巻时,将矩形沿PQ折叠,点&
12、,O的对应点分别是D, E,连接OP, 0E,此时ZPoF=45° ,连接PE,求直线OE的函数表达式.图1图2图3【答案】(1) r=2;(2) 1 或 3:(3) y =丄x.2【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长.(1) 由四边形APQO是矩形可得AP=OQ,列得方程即可求出t.(2) 过点P作X轴的垂线PH,构造直角APQH,求得HQ的值.由点H、Q位置不同分两 种情况讨论用t表示HQ,即列得方程求出t.根据t的取值范囤考虑t的合理性.(3) 由轴对称性质,对称轴PQ垂直平分对应点连线0C,得OP = PE, QE = OQ.由ZPOE =45。可得A
13、OPE是等腰直角三角形,ZOPE = 90。,即点E在矩形AoBC内部,无须分类讨 论.要求点E坐标故过点E作X轴垂线MN,易证AMPE9AA0P,由对应边相等可用t表 示EN, QN.在直角AENQ中利用勾股泄理为等疑关系列方程即求出t.【详解】T矩形 AOBC 中,C (6, 4).0B = AC=6, BC=OA=4依题意得:AP=t, BQ=2t (0<t3)PC=AC-AP=6-t, OQ=OB-BQ=6-2t(1) T四边形APQO是矩形AAP = OQt=6 - 2t解得:t=2 故答案为2.(2) 过点P作PH丄X轴于点H四边形APHO是矩形PH=0A=4, OH=AP
14、= t, ZPHQ=90°,. PQ=5.hq= Jpq 匚 ph? =3如图1,若点H在点Q左侧,则HQ=OQ-OH = 6-3t6 - 3t=3解得:t=如图2,若点H在点Q右侧,则HQ=OH-OQ=3t-63t- 6=3解得:t=3故答案为1或3.(3过点E作MN丄X轴于点N,交AC于点M.四边形AMNO是矩形AMN = OA=4, ON = AM矩形沿PQ折叠,点A, 0的对应点分别是D, EPQ垂直平分OE EQ=OQ= 6 2t, PO = PEVZPOE=45°ZPEO=ZPOE=45oAZOPE = 90°,点E在矩形AOBC内部I ZAPO+ZM
15、PE=ZAPO+ZAOP=90oZMPE= ZAOPMPE 与ZkAOP 中ZPME = ZOAP = 90°< ZMPE = ZAOPPE = OPMPEAOP (AAS)PM = 0A=4t ME=AP=t0N=AM = AP+PM=t+4, EN = MN - ME=4 - tAQN = ON - 0Q=t+4- (6-2t) =3t - 2T 在 RtENQ 中,EN2+QN2=EQ2(4t) 2+ (3t - 2) 2= (6 - 2t) 24解得:U= - 2 (舍去),t2= 一3AAM= +4= , EN=4 -=-33336 Q点E坐标为(y, P【点睛】本题
16、考查了矩形的判定和性质,勾股左理,轴对称的性质,全等三角形的判立和性质,解 一元一次和一元二次方程.在动点题中要求运动时间t的值,常规做法是用t表示相关线 段,再利用线段相等或勾股立理作为等量关系列方程求值.要注意根据t的取值范羽考虑 方程的解的合理性.5. 如图,某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个 而积为12/2的矩形园子.设园子中平行于墙而的篱笆长为Wn (其中y4),另两边的篱 笆长分别为×m.(1)求y关于X的函数表达式,并求X的取值范用.(2)若仅用现有的Ilrn长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设讣用制方案.SXXy【答案】(2)y=匕1.
17、5<x<3;(2)长为8m,宽为1.5m.X【解析】【分析】(1)由矩形的而积公式可得出y关于X的函数表达式,结合4y8可求岀X的取值范围:(2)由篱笆的长可得出y= (M-2x) m,利用矩形的而积公式结合矩形园子的而积,即 可得出关于X的一元二次方程,解之取其较小值即可得岀结论.【详解】(1)T矩形的面积为12m2,.y=2XV4y8,1.5x3.(2)T篱笆长Ilm,"= (11 2x) m依题意,得:Xy=I2,即X (ll2x) =12,解得:x=1.5, X2=4 (舍去),.9.y=ll - 2x=8答:矩形园子的长为8m,宽为1.5m.【点睛】本题考查了一
18、元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的 而积公式,找岀y关于X的函数表达式:(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程二. 初三数学二次函数易错题压轴题(难)6. 已知.抛物线y=-丄X2 +bx+c交y轴于点C (0,2),经过点Q (2,2) 直线y=x+4分 2别交X轴、y轴于点B、A.(1)直接填写抛物线的解析式;(2)如图1,点P为抛物线上一动点(不与点C重合),PO交抛物线于M, PC交AB于N,连 MN.求证:MNy轴:(3)如图,2,过点A的直线交抛物线于D、E, QD、QE分别交y轴于G、H.求证:CG -CH为定值(2)见详解;(3)见详解.【解
19、析】【分析】(1)把点C、D代入y=*2+bx+c求解即可;(2)分别设PM、PC的解析式,由于PM. PC与抛物线的交点分别为:M、N.,分别求出 M、N的代数式即可求解:(3)先设G、H的坐标,列出QG、GH的解析式,得出与抛物线的交点D、E的横坐标, 再列出直线AE的解析式,算岀它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达立理即可求证.【详解】 详解:(1) .y=.*2+bx+c 过点 C (0,2),点 Q (2,2),2=-×21 + 2b + c2c = 2解得:. y二丄 2+x+2;(2设直线PM的解析式为:y=mx,直线PC的解析式为:y=+2 y = kx + 2由1
20、.y = -+x+22得 ×z+ (k-l) =0,解得:Xi =0,2 =2-2k ,XP= Xp = 2_2ky = InX 由1 ,y=-+22得×2+(m-l)×.2=0,"卩 ×p×mx-4t一4 2V Am-.XP k_ly = kx+2由y = x+4得 XN= =Xm,K-X. MNIl y 轴.(3) 设 G (O, m) ,H (O, n). 设直线QG的解析式为y = lcx + m , 将点(2,2)代入y =也+ IH 得 2 = 2k+m.k4h2直线QG的解析式为y =2 ?2(1)求点B的坐标.(2)若
21、BC的而积为6 求这条抛物线相应的函数解析式. 在拋物线上是否存在一点P,使得ZPoB = ZCBO?若存在,请求出点P的坐标:若不 存在,请说明理由.【答案】(I) (1> 0) :(2) y = + 2x-3:存在,点P的坐标为1 + 13 3 + 313 '22J"-5 + 57 15-337L 2, 2【解析】【分析】(1直接令y = o,即可求出点B的坐标;(2)令x=0,求岀点C坐标为(0, a),再由AABC的而积得到y (l-a)(-a) = 6即可求 a的值,即可得到解析式;当点P在X轴上方时,直线OP的函数表达式为y=3x,则直线与抛物线的交点为P:
22、当 点P在X轴下方时,直线OP的函数表达式为y=-3×,则直线与抛物线的交点为P;分别求 出点P的坐标即可.【详解】解:(1)当 y = 0时,X2-(a + )x+a = 0y 解得 X =1*2 =CL点A位于点B的左侧,与y轴的负半轴交于点c,.a. a < 0, 点B坐标为(1,0)(2)由可得,点A的坐标为仏0),点C的坐标为(OQdV0, . AB = -a,OC = -UABC的而枳为6、.*(1 - )(-) = 6, 乙.d =-3,a2 =4 . U < 0, . a = 3 y = x2 +2x-3.点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,3),
23、设直线BC的解析式为y = ALV- 3,则 0 = A:-3,:.k=3. ZPOB = ZCB(9, 当点P在X轴上方时,直线OP/直线BG直线OP的函数解析式y = 3如为y = 3x.y = X2 +2x-3,1 + 133 + 3B'1-13一 L(舍去),3-313Z1=点的P坐标为U + 13 3 + 3P当点P在X轴下方时,直线OP'与直线OP关于X轴对称, 则直线OP9的函数解析式为y = -3俎y = -3 俎y = X2 +2x-3,'-5-37v, = 2r-(舍去b15 + 337-5 + 3715-337点Pf的坐标为f-5 + 37 15-
24、357综上可得,点P的坐标为3 + 3I7)f-5 + 37 15-3371或【点睛】本题考査二次函数的图象及性质,一次函数的性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,结 合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键.1 38.如图.直线y=-2与X轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=ax2 - -×÷c经过2 2A, B两点,与X轴的另一交点为C.(I)求抛物线的解析式:MN 3(2)"为抛物线上一点直线AM与X轴交于点N,当求点M的坐标;(3)P为抛物线上的动点,连接AP,当ZPAB与AAOB的一个内角相等时,直接写出点P2 2(2)点M的坐标为:(5, 3
25、)或(-2, 3)或(2,-3 2517 503)或(1,3):(3)点P的坐标为:(-It 0)或(一,-)或(一,一)或2 839(3, -2)【解析】【分析】(1)根据题意直线y =x-2与X轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0, -2)、(4, 0),即可求解:1 34MN(2)由题意直线MA的表达式为:y= (-m - -) x-2,则点N (,0),当=72 2m - 3AN3飞时则NHON进行分析即可求解:(3)根据题意分ZPAB=ZAOB=90°、ZPAB=Z OAB. ZPAB=Z OBA三种情况,分别求解 即可.【详解】 解:(I)直线y=-2
26、与X轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0, -2)、(4, 0),则C=-2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=丄.21 3故抛物线的表达式为:Y=-X2-X-2®:3严 2)、点 A(。,2),将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx÷b并解得:直线MA的表达式为:y=当空ANNHON32解得:m = 5或-2或2或故点M的坐标为:(5, 3)或(-2,3)或(2, -3)或(2, -3):(3)ZPAB=ZAoB = 90。时,则直线AP的表达式为:y=-2x-2, 联立并解得:X= - 1或0(舍去0), 故点 P ( - It 0):当
27、Z PAB=Z OAB 时,当点P在AB上方时,无解;当点P在AB下方时,将AOAB沿AB折叠得到厶OTkB,直线OA交X轴于点H、交抛物线为点P,点P为所求,则 BO=OB=4. OA=OA = 2,设 OH=x,jsinZH=OA"Tm解得:,则点2?。,.9.3则直线AH的表达式为:y=-2,3 325HzQ工并解得:X=、故点P , ):2 28 当Z PAB=Z OBA 时, 当点P在AB上方时,贝IJ AH = BH.设 OH = a贝IJ AH = BH = 4 - a, A0=2,3故(4-a) 2 = a2+4> 解得:a=-,23故点 H( , O),24则
28、直线AH的表达式为:y=-x-2®,17联立并解得:X=O或(舍去0) 当点P在AB下方时,同理可得:点P(3, -2):竺)或出,巴)或(3,8393综上,点P的坐标为:(-1> 0)或(一,2【点睛本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解宜角三角形、勾股左理的运用等,要注意分类讨论,解题全而(“为常数)A 2 一 IaX + a2 - 2(x < 0)已知函数y = 5 11 .牙- ax Cr +4(x2 0) 22(1) 若点(1,2)在此函数图象上,求d的值.(2) 当d = -l 时, 求此函数图象与A-轴的交点的横坐标. 若此函数图彖与直线y=加有三
29、个交点,求川的取值范用.(3) 已知矩形ABCD的四个顶点分别为点A(-2,0),点B(3,0),点C(3,2),点D(-2,2),若此函数图象与矩形ABCD无交点,直接写出的取值范国.7【答案】(1) " = 1或d = _3:(2)尤=一1 一血或 = + 2;S加V4或-2<w<-l;(3) <-3-22-2<-1>22【解析】【分析】(1) 本题根据点(1,2)横坐标大于零,故将点代入对应解析式即可求得的取值.(2) 本题将a = 1代入解析式,分别令两个函数解析式y值为零即可求得函数与X轴 交点横坐标:本题可求得分段函数具体解析式,继而求得顶点
30、坐标,最后平移直线A =加观察其与图像交点,即可得到答案.(3) 本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论,第一种为当c<-2,将y = x1 -2ax + a1 -2函数值与2比大小,将y = -Lx2-ax-La2 + 4与0比大小;第二 ' 2 2种为当-2<a<0, y = x2-2ax + a2-2函数值与0比大小,且该函数与y轴的交点和0 比大小,y =-丄X2-UX-Ct2 + 4函数值与2比大小,且该函数与y轴交点与2比大2 2小:第三种为y = X'-2v + -2与y轴交点与2比大小,y =-丄2-OX- a + 4与 2 2y轴交点与0比
31、大小.【详解】(1)将(1,2)代入 y = _ f _dA_/+4 中,+ 2x 19(2)当d=-l时,函数为y = 1 .7_Jr +牙+ 得2 =-丄一丄/+4 ,解得“=或 2 2(XVo)(0, 令+2-1=0,解得X = -I-或x = -i + (不合题意,舍去)17_令一-x2+x + - = 0f解得 = l + 2j或x = l-2(不合题意,舍去)综上,X = -I-2x = l + 2>. 对于函数y = F+2x-1(xvO),其图象开口向上,顶点为(一1,2):对于函数y = -x2+x+(xO),其图象开口向下,顶点为(1,4),与$轴交于点7综上,若此函
32、数图象与直线有三个交点,则需满足尹<4或-257尸宀2姒+宀2对称轴为)一卜一-扣+4对称轴炉 当a<-2时,若使得),=/一2小+ /一2图像与矩形ABCD无交点,需满足当x = -2 时,y = x'-2v + /-2 =4+4“ + /-2>2,解不等式得>0或<-4,在此基础 上若使y = -丄疋-Q一丄“2+ 4图像与矩形ABCD无交点,需满足当x = 3时,2 2y = -x2 -t-62+4 = -×9-3tz-i2+4<0t2 2 2 2解得 w>22-3 或°<-3-2血,综上可得:rt<-3-
33、22 . 当-2a<0时,若使得y = x2-2ax + a2-2图像与矩形ABCD无交点,需满足X =-2时,y=x2-2ax + a2-2 =4+4a + a2 -2<0;当X = O时,$ =牙_2ax + Cr 2=<,r _2 S0 :得52 a < /2 2 »在此基础上若使y = -x2-ax-a2+ 4图像与矩形ABCD无交点,需满足X = O时,2 2y =丄十一ox 丄/ +4=4-6/2 > 2 : = 3时,2 2 2y = -x2 -«a6/2 + 4 = -×9-3iz-+ 4> 2;2 2 2 2求
34、得-2<<-1;纟ZK 上:-JT < 1 当0时,若使函数图像与矩形ABCD无交点,需满足X = O时,V = X2 一2x + / -2=6p 一2二2且y = -x2-ax-a2 +4 =-丄2+4<0 2 2 2求解上述不等式并可得公共解集为:> 22 .综上:若使得函数与矩形ABCD无交点,则6<-3-22或-2<-1或>2.【点睛】本题考查二次函数综合,求解函数解析式常用待定系数法,函数含参数讨论时,往往需要 分类讨论,分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律,继而将规律一般化求解题 目io.如图i,抛物线cl'.y = x
35、2+b交y轴于a(o,i).(1) 直接写出抛物线Cj勺解析式.(2) 如图1, X轴上两动点M,N满足:=若B,C (3在C左侧)为线段MN上的两个动点,且满足:B点和C点关于直线.x = 对称.过B作BB'丄X轴交G 于BX过C作CC'丄X轴交Cl于C',连接BC .求Bc的最大值(用含"的代数式表 示)(3) 如图2,将抛物线G向下平移?个单位长度得到抛物线C?.对称轴左侧的抛物8线上有一点M,英横坐标为加.以OM为直径作OK,记OK的最髙点为Q .若。在 直线y = -2x上,求加的值.【?系】 1) y = “L +1 : (2) 2-5* 1/7
36、11: (3) IfIZ=或/"=2【解析】即可得到抛物线G的解析式;【分析】(i) 将A(OJ)带入抛物线G解析式,求得b的值,得2-ngvl,则当(2) 设 B (q,0),则 C(2 q,0),求(BC ) 并进行化简,由-n<q< 且 1<2 qn, j('C)2"时,取q = qtnm=2,带入(BC',即可求得Lm;iK(BC);/nIaX7(3) 依题意将抛物线G向下平移了个单位长度得到抛物线C.求得G解析式,根拯解8析式特点设耐”“,"+日,得到OM.,IY=nr + nr + 一 8丿,由圆的特性易求得,OK的最
37、高点点0坐标为:一-,-OM 4fHr 4设Vq = k ,贝9 <2 22 V 8丿丿k = -OM +12+1,化简得到f+声+护一”=0,由Q点在y = -2x上,3 111得R=-2Xq=7,继而得到m2 - -77 + - = O,解得也=或2 =4 842【详解】 解:(1)将A(OJ)带入抛物线C1y = x2+/?,得b=l, 则 C1 : y = X2 +1,(2)设B(0),则C(2-g,0),二(BC) =(2-。一0),+(2-§)2-亍 = 20-40q + 20 = 20(g-l)S: 一 S § V 1 且 1V 2-gn,2-7ty &
38、lt; 1,RBC)-I 时,"fin =2一”Lmax即(BC)2 = 20(2 一”一 I)? = 20(« -I)2,:.(BC=25l7-llt/max7(3) 根据题意,将抛物线G向下平移一个单位长度得到抛物线C?,8: OM2 =TW2 + TW2 +-,I 8丿由圆的特性易求得,OK的最髙点点。坐标为: 匸丄M+丄仏2+川U 2 2l 8JJS+丄齐丄2 2l 8化简上式得:R- + ( 广+ §j k 才广=O,。点在=一2/上,则 k = -2Xq = -m ,:.k = m为上述方程的一个解,分析可知(k + n) k-m = O, 1 2 1
39、.m m = Ur + ,4 8 J 3 In nr 一一7 + = 0,48解得:? =-;, m. =-1 (经检验?=-, M=是方程2- +T = 0的4-24248解), 故也=一一或2 = 一.42【点睛】 本题主要考査二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综 合应用、最值求法等知识.解题关键是熟练掌握二次函数的性质,充分利用数形结合的思 想三. 初三数学旋转易错题压轴题(难)11探究:如图和,在四边形ABCD中,AB=ADt ZBAD=90%点E、F分別在BC. CD 上,ZEAF=45°.(1)如图 若ZB、ZADC都是直角,把ZVlBE绕点
40、A逆时针旋转90。至AADG,使 AB与AD重合,则能得EF=BE+DF,请写出推理过程;(2)如图,若ZB、ZD都不是直角,则当ZB与ZD满足数量关系时,仍有EF=BE+DF:(3)拓展:如图,在厶ABC中,ZBAC=90。,AB=AC= 22 ,点D、E均在边BC ±,且 ZDAE=45°.若 BD=I,求 DE 的长.因图【答案】(!)见解析;ZB÷ZD=180.(3) I 【解析】【分析】(1) 根据已知条件证明 EAF幻Agaf,进而得到ef=fg,即可得到答案:(2) 先作辅助线,把AABE绕A点旋转到AADG,使AB和AD重合,根据(1),要使EF=
41、BE+DF,需证明ZkEAF仝AGAF,因此需证明F、D. G在一条直线上,即ZADG+ ZADF =即ZB + ZD = 180o:(3)先作辅助线,把Aaec绕A点旋转到Aafb,使AB和AC重合,连接df,根据已知 条件证明AFAD旦AEAD,设DE=x,则DF=x, BF=CE=3 - X,然后再RibBDF中根据勾股泄 理即可求出X的值,即DE的长.【详解】(i) 解:如图,把AABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,使AB与AD重合,IAE=AG, ZBAE=ZDAG, BE=DG,T Z BAD二90°, ZEAF=45°,ZBAE+ZDAF=45ZDAG+Z
42、DAF=45%即 ZEAF=ZGAF=45在ZkEAF 和ZkGAF 中AF = AFV ZEAF = ZGAFAE = AGEAFGAF (SAS), EF=GF,VBE=DG,EF=GF=BE+DF:(2) 解:ZB+ZD=180o,理由是:如图,把ZXABE绕A点旋转到AADG,使AB和AD重合, 贝J AE=AGt ZB=ZADG, ZBAE=ZDAG, VZB+ZADC=180%ZADC+ZADG=180o>F、D、G在一条直线上,和(1)类似,ZEAF=ZGAF=45%在AEAF和ZkGAF中AF = AFV ZEAF = ZGAFAE = AGEAFGAF (SAS), E
43、F=GF,VBE=DG,EF=GF=BE+DF:故答案为:ZB+ZD=180o;(3) 解:VABC 中,AB=AC=22 ZBAC=90°, ZABC=ZC=45o,由勾股左理得:BoJAB'+AC?二4,如图,把AAEC绕A点旋转到AAFB,使AB和AC重合,连接DF. 则 AF=AE, ZFBA=ZC=45% ZBAF二ZCAE,VZDAE=45°, Z FAD= Z FAB+ ZBAD=ZCAE+ ZBAD=Z BAC - ZDAE=90° - 45o=45ZFAD=ZDAE=45o,在ZkFAD和AEAD中AD = AD< ZFAD = Z
44、EADAF = AEFADEAD,DF=DE,设 DE=x,则 DF=×,VBD=I,BF=CE=4 -I-X=3 - X,VZFBA=450, ZABC=45°,.ZFBD=90°,由勾股左理得:DFI = BF2 + BD2 x2=(3-x)2+1, 解得:x=»5即 DE=-.3【点睹】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股 定理等知识,解题关键在于正确做岀辅助线得出全等三角形.12.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:操作发现(1) 某小组做了有一个角是120。的等腰三角形DA
45、C和等边三角形GEB纸片,DA = DC,让两个三角形如图放置,点C和点G重合,点D,点E在AB的同侧,AC 和GB在同一条直线上,点F为AB的中点,连接DF, EF,则DF和EF的数量关系与位巻 关系为::数学思考(2) 在图的基础上,将绕着C点按顺时针方向旋转90。,如图,试判断DF和EF的数量关系和位置关系,并说明理由;类比探索(3) 将绕着点C任意方向旋转,如图或图,请问DF和EF的数量关系和位 置关系改变了吗?无论改变与否,选择图或图进行证明:aGEB绕着点C旋转的过程中,猜想DF与EF的数量关系和位置关系,用一句话表述:图閤【答案】(1) EF =羽DF , DF丄EF;(2)EF
46、 = 3DF , DF丄EF,理由见解析;(3)EF = DF,DF丄EF;旋转过程中EF = *DF , QF丄EF始终成立.【解析】【分析】(1)由题意过点D作DM丄AB于点M,过点E作EN丄AB于点N,利用等边三角形 和中点性质设DM=a, GB = 2b,结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解;(2)根据题意要求判断DF和EF的数量关系和位置关系,连接CF, OB与AE交于点M, 并综合利用垂直平分线左理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析:(3)根据题意延长DF并截取TW = DF ,连接NE,连接NB并延长交CE于点P,交 DC的延长线于点0,连接DE,并利用全等三角形
47、判左和性质以及三角函数进行分析证 明;由题意可知结合猜想可知旋转过程中EF = 3DF , DF丄EF始终成立.【详解】解:(1) EF =忑DF , DF 丄 EF ;如解图,过点D作DM丄AB F点、M,过点E作EN丄AB于点N,/. AM = MC, GN = BN.又点F为AB的中点,.AF = BF. A M + MF = CF + NC + TVB = £ (A C + CB) = MC + NC. .MF = NC = NB, CFtCN = FN = AM.设DM=Ut GB = 2b,. ZADC = 120。,DA = DC,:.AM = 3a » FN
48、 = 3a » MF = NC = NB = b.NE = GN tan ZEGB = 3G7 = ®.在aDMF和用VE中,DM _ 6/ _ 37V-T'MF b yIiivF-3-T,又. ZDMF = ZFNE = 90。,:.ADMF silFNE.DF DM sLAMDF = ZNFe, L- = UL =二,即 EF = 3f>FFE FN3. ZMDF+ ZDFM =90。,. ZDFM+ ZWFE = 90。. ZDFE = 90°./. EF = 3DF 且 DF 丄 EF EF = y3DF , DF 1,EF理由如下:如解图,
49、连接CF, OB与AE交于点M,当旋转角是90。时,则ZACB = 90°,在RtAACB中,点F是AB的中点,又.CE = EB,:.EF垂直平分BC.同理,DF垂直平分AC, 四边形LCMF为矩形,. ZDFE = 90°.DF 丄 EF,AC/EF. DA = DC, ZADC = I20。,AZZX½ = 30°.mGEB为等边三角形,AZECB = 60°. Z DCA+Z ACB+Z ECB=I80o. D, C, E三点共线.DCA = ADEF = 30Q.在 RtADEF 中,EF =缶临YDF3EF = *DF,DF丄EF
50、选择题图进行证明:如解图,延长DF并截取FN = DF ,连接NE,连接NB并延长交CE于点P,交DC的延长 线于点O,连接DE,DADF 和 aBM7 中,AF = BF< ZAFD =乙BFN ,DF = NF: ADFNBNF(SAS).:.AD = NB, ZADF =乙BNF. ADHNB.:.ZO = ISOO-ZADC = 60°.又 V ZCPO = ZBPE, ZO = ZCEB = 60。,:.AOCP = ZOBE :.ADCE = ZNBE.又GEB是等边三角形,:.GE = BEt又. AD = BN = CD,.DCE nNBE(SAS).DE =
51、NE, ABEN = ZCED.:.ABEN + ZBED = ZCED+ZBED,即 ZNED = ZBEC = 60。.DEN是等边三角形又.DF = FN,.DF 丄 EF, ZFDE = 60°. EF = DF-tan ZFDE = 3DF 或选择图进行证明,证明如下:I)C(G)如解图,延长DF并延长到点N,使得FN = DF,连接NB, DE, NE, NB与CD交于点O, EB与CD相交于点J,在和aBM7中,AF = BF< ZAFD =乙BFN ,DF = NF.4 ADF nBNF(SAS).:.AD = NB, ZADF =乙BNF :.ADHNB.Z0
52、C = ZADC = 120。. ABOJ = 60o, ZJEC = 60。.又. ZoJB = ZEJC,:.ZOBE = ZECJ.VAD = CD, AD = NB,.CD = NB又mGEB是等边三角形,.CE = BE. .ecENNBE(SAS). .DE = NE, ZBEN = Z CED.:.ABEN - ABED = ZCED - ABED,即 ZNED = ZBEC = a.仏DEN是等边三角形.又. DF = FN,.DF 丄 EF、AFDE = 60°. EF = DF-tan ZFDE = 3DF 旋转过程中EF = 3DF. DF丄EF始终成立.【点睛
53、】本题考查几何图形的综合探究题,难度大,运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全 等三角形判泄和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.错因分析:未掌握旋转的性质,即旋转前后线段、角度均不变;不能合理利用类比关 系,由浅到深解决问题.13. 已知,如图:正方形ABCD,将RtEFG斜边EG的中点与点A重合,直角顶点F落在 正方形的AB边上,RtEFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点,(点P与点F重 合),如图1所示:(1)求证:EP2-GQ2=PQ2:(2)若将RtEFG绕着点A逆时针旋转 (0o<a90o),两直角边分别交AB、AD边于 P、Q两点,如图2所示:判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确泄的相等关 系?若存在,证明你的结论.若不存在,请说明理由:(3)若将RtEFG绕着点A逆时针旋转a (90o<a<180o),两直角边所在的直线分别交 BA、AD两边延长线于P、Q两点,并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确泄的 相等关系?按题意完善图3,请直接写出你的结论(不用证明).【答案】(2)见解析:(2) PF2+FQ2=EP2+GQ2; (3)四条线段EP、PF
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