圆的总复习-圆、与圆有关的位置关系复习

1、圆、与圆有关的位置关系（圆、与圆有关的位置关系（1）、圆的基本元素、圆的基本元素: 圆心、半径圆心、半径、圆的对称性、圆的对称性: 圆的旋转对称性、圆的旋转对称性、圆是中心对称图形、圆是轴对称图形圆是中心对称图形、圆是轴对称图形.圆的相关概念圆的相关概念4、过三点的圆、过三点的圆: (1)定理定理:不在同一直线上的三点确不在同一直线上的三点确定一个圆定一个圆. (2)三角形的外接圆的圆心是三边的三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点垂直平分线的交点.5、垂径定理、垂径定理:垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.圆的相关概念圆的相关概念一、

2、一、垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM, 若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且平分并且平分弦所的两条弧弦所的两条弧. . 直径直径 (过圆心的线过圆心的线)； (2)垂直弦；垂直弦； (3) 平分弦平分弦 ； (4)平分劣弧；平分劣弧； (5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三OABCDM3、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关系系:定理定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,相等的圆心角所相等的圆心角所对的弧相等对的弧相等, 所对的弦、所对弦心距的所对的弦、所对弦心

3、距的也相等也相等.推论推论:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果两个圆心角如果两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦、两条弦心距中有一组两条弦、两条弦心距中有一组量相等量相等,那么它那么它 们所对应的其余各组量们所对应的其余各组量都分别相等都分别相等.圆的相关概念圆的相关概念填空、填空、 1、 在同圆或等圆中，如果圆心角在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，那么它所对的弧_，所对的，所对的弦弦_； 2、在同圆或等圆中，如果弧相等，、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么那么_相等，相等，_相等；相等； 填空、填空、 3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么么_相等，

4、相等，_相等；相等；、垂径定理：、垂径定理：_。、半圆或直径所对的圆周角都是、半圆或直径所对的圆周角都是_。、的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_。、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角周角_，都等于该弧所对的，都等于该弧所对的_的的一半，相等的圆周角所对的一半，相等的圆周角所对的_相等。相等。如图，在如图，在 O中，中，AB是是 O的直径，的直径，AOC130，则，则D的度数为的度数为_ （第 1 题） OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例、例、OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABC

5、DABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ . .2cm或或14cm练习练习2:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。10DOAECB例例3：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圆，且圆O的半径为的半径为 10，CD=16 ，求，求AE-BF的长。的长。GECAOFDB练习练习3:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦A

6、B的的长。长。DOEABC 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,如果如果两个圆两个圆心角心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦两条弦心距中心距中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那么它们所那么它们所对应的其余各组量都分别相等对应的其余各组量都分别相等. .OABDABD二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 90 90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 . .OABCOBACDEOABC 定理定理: : 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧同弧或等弧所对的圆周角相等或等弧所对的圆周角相等, ,都等于这都等于这弧

7、所对的圆心角的一半弧所对的圆心角的一半. . 推论推论: :直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 . .2、已知、已知、 AB 、AC是同圆的两段是同圆的两段弧，且弧弧，且弧AB等于等于2倍弧倍弧AC，则弦，则弦AB与与CD之间的关系为（之间的关系为（ ）；）； A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定不能确定(2009年南充年南充)如图如图,AB是是 O的直径，的直径，点点C、D在在 O上上,BOC110，ADOC,则则AOD（ ） A70B60C50D40如图，如图，A、B、C是是 0上的三点，以上的三点，以BC为一边，作为一边，作CBDABC，过，过BC上一点上一点P，作，作PEA

8、B交交BD于点于点E若若AOC60，BE3，则点，则点P到弦到弦AB的距离为的距离为_ 如图所示，圆如图所示，圆O O是是ABCABC的外接圆，的外接圆，BACBAC与与ABCABC的平分线相交于点的平分线相交于点I I，延，延长长AIAI交圆交圆O O于点于点D D，连结，连结DBDBDCDC（1 1）求证：）求证：BD=DC=DIBD=DC=DI；（2 2）若圆）若圆O O的半径为的半径为10cm10cm， BAC =120BAC =1200 0， 求求BDCBDC的面积的面积已知：如图，已知：如图， O的直径的直径AD2， ，BAE90(1)求求CAD的面积；的面积；(2)如果在这个圆形

9、区域中，随机确如果在这个圆形区域中，随机确定一个点定一个点P，那么点，那么点P落在四边形落在四边形ABCD区域的概率是多少？区域的概率是多少？ BCCDDE如图如图,在在 O中中,点点P在直径在直径AB上运动上运动,但与但与A,B两点不重合两点不重合,过点过点P作弦作弦CEAB, 在在 O上任取一点上任取一点D,直线直线CD与直线与直线AB交于点交于点F,弦弦DE交直线交直线AB于于点点M,连接连接CM.（1）如图，当点）如图，当点P运动运动到与到与O点重合时，点重合时，求求FDM的度数的度数. CAB(P)EOMFD（2）如图）如图1 图图2，当点，当点P运动到与运动到与O点不重合时，求证：

10、点不重合时，求证：FMOB=DFMC.OCABPEFDMCABPEOFDM已知：如图已知：如图,ABC内接于内接于 O，AB为直径为直径,弦弦CDAB于于F,C是是AD弧的中弧的中点点,连结连结BD并延长交并延长交EC的延长线于点的延长线于点G,连结连结AD,分别交分别交CE,BC于点于点P,Q （1）求证：）求证：P是是ACQ的外心；的外心； （2）若）若CF=8 , 求求CQ的长；的长；（3）求证：）求证：332BF2()FPPQFP FG四、点和圆的位置关系四、点和圆的位置关系Opr 点点p在在 o内内Op=r 点点p在在 o上上Opr 点点p在在 o外外圆内接四边形的性质：圆内接四边形

11、的性质：（1）对角互补；对角互补；（2）任意一个外任意一个外角都等于它的内对角角都等于它的内对角1、 O的半径为的半径为R，圆心到点，圆心到点A的距离为的距离为d，且，且R、d分别是方程分别是方程x26x80的两根，则点的两根，则点A与与 O的位的位置关系是（置关系是（ ）A点点A在在 O内部内部 B点点A在在 O上上C点点A在在 O外部外部 D点点A不在不在 O上上2、M是是 O内一点，已知过点内一点，已知过点M的的 O最长的弦为最长的弦为10 cm，最短的弦长为，最短的弦长为8 cm，则，则OM=_ cm.3、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，A B C D可以是（可以是（ ）A、

12、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 34.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点的距上一点的距离最长为离最长为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O的的半径为半径为_.2或或4cm1 1、直线和圆相交、直线和圆相交d d r;r;nd d r;r;2 2、直线和圆相切、直线和圆相切3 3、直线和圆相离、直线和圆相离d d r.r.五五. .直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd切线的判定定理切线的判定定理 定理定理 经过半径的外端经过半径的外端, ,并且垂直于这并且垂直于这条半径的直线是圆的切线条半径的直线是圆的切线.

13、 .CDOA如图如图OAOA是是OO的半径的半径, , 且且CDOA,CDOA, CD CD是是OO的切线的切线. .切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径. .CDCD切切OO于于, , OA OA是是OO的半径的半径CDOACDOA.从圆外一点向圆从圆外一点向圆所引的两条切线所引的两条切线长相等长相等; ;并且这并且这一点和圆心的连一点和圆心的连线平分两条切线线平分两条切线的夹角的夹角. .ABPO12切线长定理及其推论切线长定理及其推论:PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=2ABCODEFABCOODEF.21cbarS.2cbar直角

14、三角形的直角三角形的内切圆半径与内切圆半径与三边关系三边关系.三角形的内切圆三角形的内切圆半径与圆面积半径与圆面积.各边都和圆相切的四边形叫做圆的各边都和圆相切的四边形叫做圆的外切四边形，外切四边形，这个圆叫做四边形的这个圆叫做四边形的内内切圆切圆性质：性质：圆的外切四边形的两圆的外切四边形的两组对边的和相等组对边的和相等实质实质性质性质三角形的外三角形的外心心三角形的内三角形的内心心三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的到三角形各边的距离相等距离相等到三角形各顶点到三角形各顶点的距离相等的距离相等锐角三角形的外心

15、位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内, ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点, ,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .ABCOABCCABOO三角形的外心是否一定在三角形的内三角形的外心是否一定在三角形的内部？部？交点个数交点个数 名称名称0外离外离1外切外切2相交相交1内切内切0内含内含同心圆是内含的特殊情况同心圆是内含的特殊情况d , R , r 的关系的关系dR rd R + rd = R + rR-r d R+ rd = R - rd R - r六六.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系2、一个三角形、一个三角形,它的

16、周长为它的周长为30cm,它它的内切圆半径为的内切圆半径为2cm,则这个三角形则这个三角形的面积为的面积为_1选择题：选择题：下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ）A,三角形外心到三边距离相等三角形外心到三边距离相等B,三角形的内心不一定在三角形的内部三角形的内心不一定在三角形的内部C,等边三角形的内心、外心重合等边三角形的内心、外心重合D,三角形一定有一个外切圆三角形一定有一个外切圆1、两个同心圆的半径分别为、两个同心圆的半径分别为3 cm和和4 cm，大圆的弦，大圆的弦BC与小圆相切，则与小圆相切，则BC=_ cm；2、如图、如图2，在以，在以O为圆心的两个同为圆心的两个同心圆中，大圆的

17、弦心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线，P为切点，设为切点，设AB=12，则两圆构成圆环，则两圆构成圆环面积为面积为_；A B P O 3、下列四个命题中正确的是（、下列四个命题中正确的是（ ）与圆有公共点的直线是该圆的切线与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； 垂直于圆的半径的直线是该圆的切垂直于圆的半径的直线是该圆的切线线 ； 到圆心的距离等于半径的直线到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线是该圆的切线 ；过圆直径的端点，过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线垂直于此直径的直线是该圆的切线 A. B. C. D.1.已知已知,如图如图,D(0,1), D交交y轴于轴于A、B两

18、点两点,交交x轴负半轴于轴负半轴于C点点,过过C点点的直的直线线:y=2x4与与y轴交于轴交于P.试猜想试猜想PC与与 D的位置关系，并说明的位置关系，并说明理由理由.2.如图，如图， I是是ABC的内切圆，与的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点分别相切于点D、E、F，DEF50，求，求A的度数的度数(第 2 题) 3.如图，如图， O是是ABC的外接圆，且的外接圆，且AB=AC=13,BC=24，求求 O的半径的半径 ABCO4.如图，如图，PA、PB分别与分别与 O相切于相切于点点A、B， O的切线的切线EF分别交分别交PA、PB于点于点E、F，切点，切点C在上，若在上，若PA长为长为

19、2，则，则PEF的周长是的周长是_ 5.如图，如图， O是是ABC的外接圆，的外接圆，已知已知ACO30，求，求B的度数的度数第 3 题 6.如图如图，ABCABC是是 O的内接三角形，的内接三角形，AC=BC，D为为 O中弧中弧AB上一点，延上一点，延长长DA至点至点E，使，使CE=CD（1）求证：）求证：AE=BD；（2）若）若ACBCCBC， 求证：求证：AD+BD=2CD7.如图，如图，ABC内接于半圆，内接于半圆，AB是是直径，过直径，过A作直线作直线MN，若，若MACABC （1）求证：）求证：MN是半圆的切线；是半圆的切线；（2）设）设D是弧是弧AC的中点，连结的中点，连结BD交

20、交AC 于于G，过，过D作作DEAB于于E，交，交AC于于F 求证：求证：FDFG（3）若）若DFG的面积为的面积为4.5，且，且DG3，GC4，试求，试求BCG的面积的面积8.如图，在平面直角坐标系中，半径为如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于轴分别交于A,B,C,D四点抛物线四点抛物线y=ax2+bx+c与与y轴交于点轴交于点D，与直线，与直线y=x交于点交于点M,N，且，且MA,NC分别与圆相分别与圆相切于点切于点A和点和点C（1）求抛物线的）求抛物线的 解析式；解析式；（2）抛物线的对称轴交）抛物线的对称轴交X轴于

21、点轴于点E，连，连结结DE并延长交圆并延长交圆O于于F,求求EF的长的长（3）过点）过点B作圆作圆O的切线交的切线交DC的延长的延长线于点线于点P，判断点，判断点P是否在抛物线上，是否在抛物线上，说明理由说明理由三三.正多边形正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径这个正多边形的半径.中心：一个正多边形外中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多接圆的圆心叫做这个正多边形的中心边形的中心3.中心角中心角:正多边形每一边所对的外接圆正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边

22、形一边的距边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距离叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG1. 1.圆的周长和面积公式圆的周长和面积公式2. 2.弧长的计算公式弧长的计算公式3. 3.扇形的面积公式扇形的面积公式S=360nr2L L=180nr=12l lr rS或或四四.圆中的有关计算圆中的有关计算:周长周长C=2r面积面积s=r2Or4.圆柱的展开图圆柱的展开图:DBCArhS侧侧 =2r hS全全=2r h+2 r25.圆锥的展开图圆锥的展开图:底面底面侧面侧面aahrS侧侧 =r aS全全=r a+ r21.已知两圆半径分别为已知两圆半径分别为2和和3，圆心距，圆心

23、距为，若两圆没有公共点，则下列结论为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（正确的是（ ）A BC 或或 D 或或01d5d 01d5d 01d 5d 2.若若 O1与与 O2相切，且相切，且O1O2=5， O1的半径的半径=2，则则 O2的半径的半径=_ 3.在矩形在矩形ABCD中，中，AB=5,BC=12,如如果分别以果分别以A、C为圆心的两个圆相切，为圆心的两个圆相切，点点D在在 C内内,点点B在在 C外，那么外，那么 A的半径的半径r的取值范围的取值范围_.ADBCCDBA1.（2009年凉山）将年凉山）将ABC绕点绕点B逆逆时针旋转到时针旋转到 使使 在同在同一直线上一直线上,若若

24、则图中阴影部分面积为则图中阴影部分面积为 cm2A BCABC、 、90BCA304cmBACAB ，30CBA30AC2.（2010山东临沂）山东临沂） 如图，直径为如图，直径为6的半圆，绕点的半圆，绕点A逆时针旋转逆时针旋转60，此时点此时点B到了点到了点B/，则图中阴影部，则图中阴影部分的面积是分的面积是_策略策略85.半圆半圆AB平移到半圆平移到半圆CD的位置的位置时所扫过的面积为时所扫过的面积为_3.已知图中各圆两两相切，已知图中各圆两两相切， O的的半径半径 为为 2， O1、 O2的半径为的半径为1， 求求 O3的半径的半径4、如图，已知、如图，已知 O1与与 O2外外切，切都和

25、切，切都和 O内切，内切， O的半的半径为径为 cm，则，则O1O2O的周长的周长为为_.3OO2O15.已知直线已知直线 交坐标轴与交坐标轴与A,B两点，两点， 是是ABO的内切圆，的内切圆， 2与与 ，直线，直线AB及及y轴都相切，轴都相切， 3与与 2，直线，直线AB及及y轴都相切，轴都相切，-则则 2010的半径的半径rn= _233xyO2OO1BA6.、如图，、如图， O1和和 O2相交于点相交于点A、B，过，过点点A的直线分别交两圆于点的直线分别交两圆于点C、D，点，点M是是CD的中点，直线的中点，直线BM分别交两圆于分别交两圆于E、F.（1）求证：）求证：CEDF；（2）求证：

26、）求证：ME=MF.O1O2BFACDME7、在一块长为、在一块长为3米，宽为米，宽为2米的铁板上，米的铁板上，先剪掉一个与三边相切的圆片，之后先剪掉一个与三边相切的圆片，之后再在余料上裁下一个最大的圆，则这再在余料上裁下一个最大的圆，则这个圆的半径是多少米？（结果用根式个圆的半径是多少米？（结果用根式表示）表示）OGFBEAPDO1HC8。如图，。如图，ABCD是是 O的内接正方形，的内接正方形， PQRS是半圆的内接正方形，是半圆的内接正方形， 那么那么 =_SSPQRSABCD正方形正方形:SDRCP OQAB9、已知、已知 O的半径为的半径为R，求它的内，求它的内接正三角形接正三角形A

27、BC的内切圆的内接正的内切圆的内接正方形方形DEFG的面积的面积.10已知如图已知如图AB弧弧所在圆的半径为所在圆的半径为 R，AB弧的长为弧的长为 R， O和和OA、 OB分别相切于点分别相切于点C、E，且与，且与 O内切于点内切于点D，求求 O的周长的周长311（绵阳市）如图，（绵阳市）如图，ABC是直角边长是直角边长为为a的等腰直角三角形，直角边的等腰直角三角形，直角边AB是半是半圆圆O1的直径，半圆的直径，半圆O2过过C点且与半圆点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是相切，则图中阴影部分的面积是O2O1APBC12如图，如图，OA和和OO1是是 O中互相垂直的中互相垂直的半径，半径

28、，B在弧在弧O1A上，弧上，弧OB的圆心是的圆心是O1，半径是半径是OO1， O2与与 O、 O1、OA都相切，都相切，OO16，求图中阴影部分的，求图中阴影部分的面积。面积。 13.圆锥的轴截面是等腰圆锥的轴截面是等腰PAB，且且PAPB3，AB2，M是是PB上一点，且上一点，且PM2，那么在，那么在锥面上锥面上A、M两点间的最短距离两点间的最短距离是多少？是多少？ 14.如图，一个几何体是从高为如图，一个几何体是从高为4m，底，底面半径为面半径为3cm 的圆柱中挖掉一个圆的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的上底面

29、，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，圆心上， 求这个几何体的表面积求这个几何体的表面积如图，已知：边长为如图，已知：边长为1的圆内接正方形的圆内接正方形ABCD中，中，P为为CD边的中点，直线边的中点，直线AP交交圆于点圆于点E（1）求）求DE弦的长弦的长（2）若）若Q是线段是线段BC上一动点，当上一动点，当BQ长长为何值时，三角形为何值时，三角形ADP与以与以C,P,Q为为顶点的三角形相似顶点的三角形相似BADEPC(2010广州广州)如图如图, O的半径为的半径为1,点点P是是 O上一点上一点,弦弦AB垂直平分线段垂直平分线段OP,点点D是弧是弧AB上任一点上任一点(与端点与端点A,B不重合

30、不重合), DEAB 于点于点E,以点以点D为圆心、为圆心、DE长为半径作长为半径作 D,分别过分别过点点A,B作作 D的切线的切线,两条两条切线相交于点切线相交于点C（1）求弦）求弦AB的长；的长；CPDOBAE（2）判断）判断ACB是否是否为定值，若是，求出为定值，若是，求出ACB的大小；否则，的大小；否则，请说明理由；请说明理由；(2010广州广州)如图如图, O的半径为的半径为1,点点P是是 O上一点上一点,弦弦AB垂直平分线段垂直平分线段OP,点点D是上任一点是上任一点(与端点与端点A,B不重合不重合), DEAB 于点于点E,以点以点D为圆心、为圆心、DE长为半径作长为半径作 D,

31、分别过分别过点点A,B作作 D的切线的切线,两条两条切线相交于点切线相交于点CCPDOBAE（3）记）记ABC的面积的面积 为为S，若，若S/DE2 ， 求求ABC的周长的周长.(2010广州广州)如图如图, O的半径为的半径为1,点点P是是 O上一点上一点,弦弦AB垂直平分线段垂直平分线段OP,点点D是上任一点是上任一点(与端点与端点A,B不重合不重合), DEAB 于点于点E,以点以点D为圆心、为圆心、DE长为半径作长为半径作 D,分别过分别过点点A,B作作 D的切线的切线,两条两条切线相交于点切线相交于点CCPDOBAE34如图，已知如图，已知 O的直径的直径AB2，直线，直线m与与 O相切于点相切于点A，P为为 O上一