高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修5

1、第2课时一元二次不等式的应用学习目标：1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式>0(<0)法一：或法二：f(x)·g(x)>0(<0)0(0)法一：或法二：>a先移项转化为上述两种形式思考：>0与(x3)(x2)>0等价吗？将>0变形为(x3)(x2)>0，有什么好处？提示等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集

2、为r(或恒成立)的条件不等式ax2bxc>0ax2bxc<0a0b0，c>0b0，c<0a0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f(x)a恒成立f(x)maxaf(x)a恒成立f(x)mina思考：x1>0在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式x1>0的解集有什么关系？提示x1>0在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在x轴上方区间2,3内的元素一定是不等式x1>0的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x1>0的解集的子集3从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤：(1)阅读理解，认

3、真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解基础自测1思考辨析(1)不等式>1的解集为x<1.()(2)求解m>f(x)恒成立时，可转化为求解f(x)的最小值，从而求出m的范围()答案(1)×(2)×提示：(1)>11>0<0x|0&

4、lt;x<1故(1)错(2)m>f(x)恒成立转化为m>f(x)max，(2)错2不等式5的解集是_原不等式0解得0<x.3已知关于x的不等式x2ax2a>0在r上恒成立，则实数a的取值范围是_.【导学号：91432292】(0,8)因为x2ax2a>0在r上恒成立，所以a24×2a<0，所以0<a<8.4.在如图3­2­1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是_图3­2­110,30设矩形高为y，由三角形相似得：，

5、且x>0，y>0，x<40，y<40，xy300，整理得yx40，将y40x代入xy300，整理得x240x3000，解得10x30.合 作 探 究·攻 重 难分式不等式的解法解下列不等式：(1)<0；(2)1.【导学号：91432293】解(1)<0(x3)(x2)<02<x<3，原不等式的解集为x|2<x<3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x<或x4，原不等式的解集为.规律方法1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不

6、等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解跟踪训练1解下列不等式：(1)0；(2)<3.解(1)根据商的符号法则，不等式0可转化成不等式组解这个不等式组，可得x1或x>3.即知原不等式的解集为x|x1或x>3(2)不等式<3可改写为3<0，即<0.可将这个不等式转化成2(x1)(x1)<0，解得1<x<1.所以，原不等式的解集为x|1<x<1一元二次不等式的应用国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(

7、称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【导学号：91432294】思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(12x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)·(8x)%m(x242x400)(0<x8)依题意，得y2 400m×8%

8、×78%，即m(x242x400)2 400m×8%×78%，整理，得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知0<x8，所以x的范围为(0,2跟踪训练2某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)×800×600，整理得x2700x600&#

9、215;1000，即(x600)(x100)0，所以0<x100或x600，x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0,100 m.不等式恒成立问题探究问题1若函数f(x)ax22x2对一切xr，f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a0，显然f(x)>0不能对一切xr都成立所以a0，此时只有二次函数f(x)ax22x2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>.2若函数f(x)x2ax3对x3，1上恒有f(x)<0成立，如何求a的范围？提示：要使f(x)<0在3，1上恒成立，则必使函数f(x)x2ax

10、3在3，1上的图象在x轴的下方，由f(x)的图象可知，此时a应满足即解得a<2.故当a(，2)时，有f(x)<0在x3，1时恒成立3若函数yx22(a2)x4对任意a3,1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令g(a)2x·ax24x4.要使对任意a3,1，y<0恒成立，只需满足即因为x22x4<0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4对任意a3,1，y<0恒成立已知f(x)x2ax3a，若x2,2，f(x)0恒成

11、立，求a的取值范围.【导学号：91432295】思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解设函数f(x)x2ax3a在x2,2时的最小值为g(a)，则(1)当对称轴x<2，即a>4时，g(a)f(2)73a0，解得a，与a>4矛盾，不符合题意(2)当2,2，即4a4时，g(a)3a0，解得6a2，此时4a2.(3)当>2，即a<4时，g(a)f(2)7a0，解得a7，此时7a<4.综上，a的取值范围为7a2.母题探究：1.(变结论)本例条件不变，若f(x)2恒成立，求a的取值范围解若x2,2，f(x)2恒成

12、立可转化为：当x2,2时，f(x)min2或或解得a的取值范围为5，222(变条件)将例题中的条件“f(x)x2ax3a，x2,2，f(x)0恒成立”变为“不等式x22xa23>0的解集为r”求a的取值范围解法一：不等式x22xa23>0的解集为r，函数f(x)x22xa23的图象应在x轴上方，44(a23)<0，解得a>2或a<2.法二：令f(x)x22xa23，要使x22xa23>0的解集为r，则a满足f(x)mina24>0，解得a>2或a<2.法三：由x22xa23>0，得a2>x22x3，即a2>(x1)24，要

13、使该不等式在r上恒成立，必须使a2大于(x1)24的最大值，即a2>4，故a>2或a<2.规律方法1不等式ax2bxc>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c>0；当a0时，2不等式ax2bxc<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c<0；当a0时，3f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.当 堂 达 标·固 双 基1若集合ax|12x13，b，则ab等于()ax|1x<0bx|0<x1cx|0x<2 dx|0x1bax|1x1，bx|0<x2，abx|0

14、<x12若集合ax|ax2ax1<0，则实数a的取值集合是() 【导学号：91432296】aa|0<a<4 ba|0a<4ca|0<a4 da|0a4da0时符合题意a>0时，相应二次方程中的a24a0，得a|0<a4，综上，得a|0a4，故选d.3不等式>0的解集为_x|4<x<3或x>1原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)>0，根据数轴穿根法，解集为4<x<3或x>1.4设x22xa80对于任意x(1,3)恒成立，则a的取值范围是_.【导学号：91432297】(，5原不等式x22xa80转化为ax22x8对任意x(1,3)恒成立，设f(x)x22x8，易知f(x)在1,3上的最小值为f(3)5.a(，55某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x