圆锥曲线知识点例题练习附答案解析

1、圆锥曲线一、椭圆：（ 1 ）椭圆的定义：平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数（大于| F1 F2 |）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 2a| F1F2 | 表示椭圆； 2a | F1F2 | 表示线段 F1 F2 ； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2 ）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，焦点在 y 轴上标准方x2y2y2x21( ab0)1(a b 0)a 2b 2a2b2程yB 2yPF2图形PB 2A 1A 2xxA 1OF1A 2FO F21B 1B 1顶点A1 (a,0), A2 (a,0)A

2、1 ( b,0), A2 (b,0)B1 (0,b), B2 (0, b)B1(0,a), B2 (0, a)对称轴x 轴， y 轴；短轴为 2b ，长轴为 2a焦点F1 (c,0), F2 (c,0)F1 (0, c), F2 (0,c)焦 距| F1 F2 | 2c(c 0)c2a 2b 2离心率ec (0e1) （离心率越大，椭圆越扁）a通径2b2a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3 常用结论：（1 ）椭圆 x 2y21(ab 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ，过 F1的直线交椭圆于 A, B 两a 2b 2点，则ABF 2 的周长 =（2 ）设椭圆 x 2y21(ab

3、0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ，过 F1且垂直于对称轴的直线a 2b2交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |二、双曲线：（1 ）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1 F2 |）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： | PF1 | PF2 |2a 与 | PF2 | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表示双曲线的一支。2a| F1 F2 |表示两条射线； 2a| F1F2 |没有轨迹；（2 ）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，

4、焦点在 y 轴上标准x 2y22x21( a 0,b 0)y1(a 0, b 0)a 2b 2a 2b 2方程图形顶点yPxF1A1O A2F2A1 ( a,0), A2 ( a,0)P y F2 B 2xOB1F1B1(0, a), B2 (0, a)对称轴焦点焦距x 轴， y 轴；虚轴为 2b，实轴为2aF1 ( c,0), F2 (c,0)F1 (0,c), F2 (0, c)| F1F2 | 2c(c 0)c 2a 2b2离心率ec (e1) （离心率越大，开口越大）a渐近线yb xya xab通径（3 ）双曲线的渐近线：2b2a求双曲线 x2y21的渐近线，可令其右边的 1 为 0

5、，即得 x2y 20 ，因式分解得到 xy0 。a2b2a2b 2ab与双曲线x2y 21 共渐近线的双曲线系方程是x2y2a2b 2a 2；b 2（4 ）等轴双曲线为 x 2y 2t 2 ，其离心率为2（4 ）常用结论：（ 1 ）双曲线 x22y1(a 0, b0)的两个焦点为 F , F，过 F的直线交双曲线a2b 2121的同一支于 A, B 两点，则ABF 2 的周长 =（2 ）设双曲线 x2y 21(a0, b 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ，过 F1 且垂直于对称轴的b 2a 2直线交双曲线于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是|PQ |三、抛物线：（1 ）抛物线

6、的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2 ）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0焦点在 x 轴上，焦点在 x 轴上，焦点在 y 轴上，焦点在 y 轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下标准x2x2y 22 pxy 22 px2 py2 py方程lyPPyylylO图形xxPF xxOFFOPFOl顶点O(0,0)对称轴x 轴y 轴焦点F ( p ,0)F (p ,0)F ( 0, p)F(0,p )2222离心率e1准线xpxpypyp2222通径焦半径焦点弦2 pp| PF | | y0p| PF | | x0 |22焦

7、准距p四、弦长公式： | AB | 1 k 2 | x1x2 | 1 k 2( x1 x2 ) 24x1 x21 k 2| A |其中 , A, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 x2 的系数求弦长步骤：（ 1 ）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2 ）联立两方程，消去y, 得关于 x 的一元二次方程 Ax 2Bx C0, 设 A( x1 , y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，由韦达定理求出12B ，xxAC ；（ 3 ）代入弦长公式计算。x1 x2A法（二）若是联立两方程，消去x, 得关于 y 的一元二次方程 Ay 2ByC0,则相应的弦

8、长公式是： | AB | 1(1) 2 | y1y2| 1 (1)2( y1 y2 )24 y1 y21 (1)2| A |kkk注意（ 1 ）上面用到了关系式 | x1 x2 | ( x1 x2 ) 24x1x2和| A |y1 y2( y1y2 ) 24 y1 y2| A |注意（ 2 ）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（ 1 ）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2 ）联立两方程，消去y, 得关于 x的一元二次方程 Ax 2Bx C 0,

9、 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) ，由韦达定理求出 x1 x2B ；（3）A设中点 M ( x0 , y0 ) ，由中点坐标公式得 x0x1 x2 ；再把 x x0 代入直线方程求出 yy0 。2法（二）：用点差法，设A(x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，中点 M (x0 , y0 ) ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式， 过 A 、B 两点斜率公式，列出 5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 x0 , y0 。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式法二、建立 a,b,c满足的关系，消去 b, 再化为关于 e 的方程，最后解方程

10、求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0 e1 ，而双曲线离心率取值范围是e1)例 1 ：设点 P 是圆 x2y24 上的任一点，定点D的坐标为（ 8 ，0 ），若点 M满足uuuuruuuurPM2MD 当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程解 设点 M 的坐标为 x, y，点 P 的坐标为 x0 , y0uuuuruuuur，由 PM2MD ，得 x x0 , y y02 8x, y ，即 x03x16 ， y03y 因为点 P x0 , y0在圆 x2y24 上，所以 x02y024 即 3x23y2164 ，24 ，这就是动点 M 的轨迹方程即 x16y239例 2 ：

11、已知椭圆的两个焦点为（ -2 ， 0），（ 2,0 ）且过点 ( 5 ,3) ，求椭圆的标准方程22解法 1因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x2y2b 0) ，a2b2 1(a由椭圆的定义可知： 2a52325232210(2） （20）(2） （20）22a10 又 c2,b2a2c26 所以所求的标准方程为x2y21106解法 2Q c2,b22c22x2y21，将点 (5 ,3)aa 4 ，所以可设所求的方程为a2a2422代人解得： a10所以所求的标准方程为x2y21106例 3.例 4.高二圆锥曲线练习题 11、F1 ，F 2 是定点，且 |F 1 F 2|=6 ，

12、动点 M 满足 |MF 1 |+|MF2 |=6 ，则 M 点的轨迹方程是 ()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D) 线段2、已知ABC 的周长是 16 ， A(3,0) ，B (3,0) , 则动点的轨迹方程是 ()(A) x2y 21(B) x 2y21( y0)(C) x2y21(D) x 2y 21( y0)25162516162516253、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A 1B 3C 1D 333224、设椭圆 C1 的离心率为 5，焦点在 x 轴上且长轴长为 26 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两13个焦点的距离的差的绝对值等于8 ，则曲线 C2 的标

13、准方程为（）A x2y 21x2y21Cx2y21x2y222B 2222D 221431353413125、设双曲线 x2y21 a0 的渐近线方程为 3x2 y 0，则 a 的值为（） .a29（A）4（B ）3（C）2（D）16、双曲线 2x2y 28的实轴长是（）（A）2（B）2 2（C） 4（D）4 27 、双曲线 x2y2=1 的焦点到渐近线的距离为（）412A2 3B 2C 3D 18 、以双曲线 x2y 21的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）916A x2y210x90B x2y210x 160C x2y210x160D x2y210x 9 09 、过椭圆 x2y

14、2=1（ ）的左焦点F1 作 x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，a2b2a b0若F1PF260°，则椭圆的离心率为（）A 2B 3C 1D 1232310.“ mn0 ”是“方程 mx2ny21”表示焦点在 y 轴上的椭圆的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件(D) 既不充分也不必要条件11 、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18 ，焦距为 6;.(2)焦点坐标为 (3,0), ( 3,0), 并且经过点 (2 ， 1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为(3,0) , (3,0) , 且短轴是长轴的 1 ;3(4)离心率为

15、3 ，经过点 (2，0);212 、与椭圆x 2y2有相同的焦点 ，且短轴长为 2的椭圆方程是：94113 、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1 , F2 在 x 轴上，离心率为2 过2F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点，且ABF 2 的周长为 16 ，那么 C 的方程为：14 、已知 F1， F2 为椭圆 x2y21的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，若259F2 AF2 B12 ，则 AB15 、 已知 F 、 F2 是椭圆 C ： x2y21（ab0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且1a2b2uuuruuuurPF1PF2

16、，若 PF1F2 的面积是 9 ，则 b16 、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（ 4，3），Q （ 2 2,3）两点的椭圆方程。圆锥曲线练习题21 抛物线 y 210x 的焦点到准线的距离是（）A 5B 515D 102C22 若抛物线 y28x 上一点 P 到其焦点的距离为9 ，则点 P 的坐标为（）。A (7,14)B (14, 14)C (7,214)D (7,214)x2y22的双曲线方程（）3 以椭圆1 的顶点为顶点，离心率为169A x2y 21B x 2y 21C x 2y21或 y2x21D 以上都不对164892716489274 以坐标轴为对称轴， 以原点为顶点且过圆

17、x2y22x6 y90的圆心的抛物线的方程是（）A y 3x2 或 y3x 2B y 3x2C y 29x 或 y 3x 2D y3x 2 或 y 29x5 若抛物线 y 2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）12)12)1212)A( ,4B( ,4C( ,)D( ,4484486 椭圆x2y21上一点 P 与椭圆的两个焦点F1 、F2 的连线互相垂直， 则 PF1 F2 的面积为 （）4924A 20B 22C 28D 247 若点A 的坐标为 (3, 2) ， F 是抛物线 y 22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使MFMA 取得最小值的M 的坐标为

18、（）A 0,0B 1,1C 1,2D 2,228 与椭圆 x 2y 21共焦点且过点 Q (2,1) 的双曲线方程是（）4A x2y 21 B x 2y21 C x 2y 21 D x 2y 21243329 若椭圆 x2my21 的离心率为3，则它的长半轴长为 _.210双曲线的渐近线方程为x2 y0 ，焦距为 10，这双曲线的方程为_ 。11抛物线 y26x 的准线方程为 .12椭圆 5x 2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k。13x2y21的离心率为1椭圆89，则 k 的值为 _。k214双曲线 8kx 2ky 28的一个焦点为(0,3)，则 k 的值为 _ 。15若直线

19、xy2 与抛物线 y24x 交于 A 、 B 两点，则线段AB 的中点坐标是 _。16 k 为何值时，直线ykx2 和曲线 2x23y 26 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？17 在抛物线y4x2 上求一点，使这点到直线y4x5 的距离最短。x 2y2( 15, 4) ，求其方程。18 双曲线与椭圆1 有相同焦点，且经过点273619 设 F1,F2是双曲线 x 2y 21 的两个焦点，点P 在双曲线上，且F1PF2 600，916求 F1 PF2 的面积。高二圆锥曲线练习题1、F1，F2 是定点，且|F 1 F2 |=6，动点 M 满足 |MF1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方

20、程是 ( D )(A)椭圆(B)直线(C)圆(D) 线段2、已知ABC 的周长是 16 ， A( 3,0) ，B (3,0) , 则动点的轨迹方程是 ( B)(A) x2y 21(B) x 2y21( y 0) (C) x 2y21 (D) x 2y 21( y0)25162516162516253 、已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（D）A 1B 3C 1D 333224、设椭圆 C1 的离心率为 5，焦点在 x 轴上且长轴长为26 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两13个焦点的距离的差的绝对值等于8 ，则曲线 C2的标准方程为（A ）A x2y 21B x2y2Cx

21、2y21D x2y24221325213221321221345、设双曲线 x2y21 a0的渐近线方程为3x2 y0，则 a 的值为（ C）.a29（A）4（B ）3（C）2（D）16、双曲线 2x2y 28的实轴长是（ C ）（A）2（B ） 22（C） 4（D）427 、双曲线 x2y2=1 的焦点到渐近线的距离为（A ）412A2 3B 2C 3D 18 、以双曲线 x2y 21的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（A）916A x2y210x90B x2y210x 160C x2y210x160D x2y210x 9 09 、过椭圆 x2y2=1（ ）的左焦点F1 作 x轴的

22、垂线交椭圆于点P，F为右焦点，a2b2a b02若F1 PF260°，则椭圆的离心率为（B）A 2B 3C 1D 1232310.“ mn 0”是“方程 mx2ny21”表示焦点在 y 轴上的椭圆的（C）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析 : 将方程 mx2ny21转化为x2y21 ,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足11mn10, 10,所以 11 ，mnnm11 、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18 ，焦距为 6;) x 2y 21或 x 2y21;.25161625(2)焦点坐标为 (

23、 3,0), ( 3,0) , 并且经过点 (2 ， 1);x 2y 21.63(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 ( 3,0), (3,0) , 且短轴是长轴的 1 ;x2y 21 或 x2y 21 ;39981(4)离心率为3 ，经过点 (2，0);x2y 21或 x 2y 21.2441612 、与椭圆 x 2y2有相同的焦点 ，且短 轴长为 2 的椭圆方程是： x 2y21941613 、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1 , F2 在 x 轴上，离心率为2 过2F 的直线 l 交 C 于 A, B 两点，且ABF 2 的周长为 16 ，那么 C 的方程为：

24、（x 2y 21 ）168114 、已知 F1， F2 为椭圆 x2y21的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，若259F2A F2B 12，则 AB8 15 、 已知 F1 、 F2 是椭圆 C ： x222y2 1（ ab 0 ）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且abuuuruuuur，则 bPFPF，若 12 的面积是9312PF F16 、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（ 4，3 ），Q（ 22,3）两点的椭圆方程。解：设椭圆方程为 x2y 21，将 P，Q 两点坐标代入，解得 a 220, b215a 2b22 2故 xy1为所求。20 15圆锥曲线练习题21

25、 抛物线 y 210x 的焦点到准线的距离是（B）5B 515A C D10222 若抛物线 y28x 上一点 P 到其焦点的距离为9 ，则点 P 的坐标为（C ）。A (7,14)B (14,14)C (7,214)D( 7,214)x2y21的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（C）3 以椭圆1625x2y 21B x 2y 21A 4892716x2y 21x2y 2D 以上都不对C 48或1169274 F1 , F2 是椭圆 x 2y 21 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且 AF1F2450，则AF1F2 的面积为97（ C）A 7B 7C 7D7 54225 以坐标轴为对称轴， 以

26、原点为顶点且过圆 x2y 22x 6y 90 的圆心的抛物线的方程是（ D）A y3x2 或 y3x 2B C y 29x 或 y3x 2Dy3x2y3x2 或 y 29x6 若抛物线 y 2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（B）12121212)A( ,)B( ,) C(,)D( ,444844487椭圆 x2y21 上一点P与椭圆的两个焦点F1F2的连线互相垂直， 则PF1 F2的面积为（D）、4924A 20B 22C 28D248 若点 A 的坐标为 (3, 2) ， F 是抛物线 y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使MFMA 取得最小值的 M 的坐标为（D）A 0,0B 1C1, 2D 2,2,122x29 与椭圆y1共焦点且过点Q(2,1) 的双曲线方程是（A）A x2y 21 B x 2y