高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的综合应用学案 新人教A版必修5

1、第2课时等差数列前n项和的综合应用学习目标：1.掌握an与sn的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前n项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)自 主 预 习·探 新 知1sn与an的关系an2等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中，其前n项和为sn，则an中连续的n项和构成的数列sn，s2nsn，s3ns2n，s4ns3n，构成等差数列(2)数列an是等差数列snan2bn(a，b为常数)思考：如果an是等差数列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列吗？提示(a11a12a20)(a1a

2、2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，类似可得(a21a22a30)(a11a12 a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列3等差数列前n项和sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得sn的最小值(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得sn的最大值特别地，若a1>0，d>0，则s1是sn的最小值；若a1<0，d<0，则s1是sn的最大值思考：我们已经知道当公差d0时，等差数列前n项和是关于

3、n的二次函数snn2n，类比二次函数的最值情况，等差数列的sn何时有最大值？何时有最小值？提示由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，sn取到最值基础自测1思考辨析(1)若sn为等差数列an的前n项和，则数列也是等差数列()(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中，sn是其前n项和，则有s2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n

4、等于()a9b10c11 d12b，.n10.故选b项3等差数列an中，s24，s49，则s6_.15由s2，s4s2，s6s4成等差数列得2(s4s2)s2(s6s4)解得s615.4已知数列an的通项公式是an2n48，则sn取得最小值时，n为_.【导学号：91432176】23或24由an0即2n480得n24.所有负项的和最小，即n23或24.合 作 探 究·攻 重 难等差数列前n项和的性质(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和s3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为sn和tn，已知，求的值解(1)在等差数列中，sm，s2

5、msm，s3ms2m成等差数列30,70，s3m100成等差数列2×7030(s3m100)，s3m210.(2).规律方法等差数列前n项和计算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式sn，设法求出整体a1an，再代入求解.( (2)待定系数法：利用sn是关于n的二次函数，设snan2bn(a0)，列出方程组求出a，b即可，或利用是关于n的一次函数，设anb(a0)进行计算.跟踪训练1(1)等差数列an中，a2a7a1224，则s13_.【导学号：91432177】(2)等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为sn，则数列的前10项和为_(1)104(2)75(1)由a2a7a

6、1224，得a78，所以s13×13a7·13104.(2)因为an2n1，所以a13.所以snn22n，所以n2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10×175.等差数列前n项和sn的函数特征探究问题1将首项为a12，公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？提示：首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为sn2nn2n，显然sn是关于n的二次型函数且常数项为0，二次项系数为，一次项系数为a1；如果一个数列的

7、前n项和为sn3n2n，那么当n1时，s1a14.当n2时，ansnsn16n2，则该数列的通项公式为an6n2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述特征，该数列一定是等差数列2已知一个数列an的前n项和为snn25n，试画出sn关于n的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？提示：snn25n2，它的图象是分布在函数yx25x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前n项为负数由sn的图象可知，sn有最小值且当n2或3时，sn最小，最小值为6

8、，即数列an前2项或前3项和最小数列an的前n项和sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和sn.【导学号：91432178】思路探究：(1)利用sn与an的关系求通项，也可由sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当n2时，ansnsn1342n， 又当n1时，a1s132342×1满足an342n.故an的通项公式为an342n.

9、法二：(结构特征法)由snn233n知sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an<0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an<0.所以当n17时，snb1b2bn|a1|a2|an|a

10、1a2ansn33nn2.当n18时，sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)s17(sns17)2s17snn233n544.故sn母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“sn33nn2”变为“在等差数列an中a125，s17s9”求其前n项和sn的最大值解法一：s9s17，a125，9×25d17×25d，解得d2.sn25n×(2)n226n(n13)2169.当n13时，sn有最大值169.法二：同法一，求出公差d2.an25(n1)×(2)2n27.a125>0，由得又nn*，当n13时，sn有最大值16

11、9.法三：s9s17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a1>0，d<0.a13>0，a14<0.当n13时，sn有最大值169.法四：设snan2bn.s9s17，二次函数对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，sn取得最大值169.2(变条件)将例题中的条件“sn33nn2”变为“snn”求数列|an|的前n项和tn.解a1s1×12×1101.当n2时，ansnsn13n104.n1也适合上式，数列an的通项公式为an3n104(nn*)由an3n1040，得n34.7.即当n34时，an>0；当n35时，an&

12、lt;0.(1)当n34时，tn|a1|a2|an|a1a2ansnn2n；(2)当n35时，tn|a1|a2|a34|a35|an|(a1a2a34)(a35a36an)2(a1a2a34)(a1a2an)2s34sn2n2n3 502.故tn规律方法1在等差数列中，求sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图象及性质求最值2寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找(2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称

13、的两个整数对应项即为正、负项的分界点3求解数列|an|的前n项和，应先判断an的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题.裂项相消法求和等差数列an中，a13，公差d2，sn为前n项和，求.思路探究：根据an为等差数列求出其前n项和，根据的通项特征，利用裂项相消法求和解等差数列an的首项a13，公差d2，前n项和snna1d3n×2n22n(nn*)，.规律方法裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和.跟踪训练2已知数列an的通项公式为an，求数

14、列an的前n项和sn.【导学号：91432179】解an，sn，sn.当 堂 达 标·固 双 基1已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()a5b4c3 d2c由题知s偶s奇5dd3.2已知sn是等差数列an的前n项和，且s6>s7>s5，有下列四个命题：d<0；s11>0；s12<0；数列sn中的最大项为s11，其中正确命题的序号是()【导学号：91432180】a bc dbs6>s7，a7<0，s7>s5，a6a7>0，a6>0，d<0，正确又s11(a1a11)11a6>

15、;0，正确s12(a1a12)6(a6a7)>0，不正确sn中最大项为s6，不正确故正确的是.3已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d>0，则使得前n项和sn取得最小值的正整数n的值是_6或7由|a5|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故s6s7且最小4数列an的通项公式an，其前n项和sn9，则n_.99an，sn(1)()()19.n99.5已知数列an的前n项和公式为snn230n.(1)求数列 an的通项公式an；(2)求sn的最小值及对应的n值.【导学号：91432181】解(1)snn230n，当n1时，a1s129.当n2时，ansnsn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也适合，an2n31，nn