圆锥曲线与向量的综合性问题

1、_圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型：在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，例 1 、设 F (1,0) ， M 点在 x 轴的负半轴上，点P 在 y 轴上，且 MPPN,PMPF 当点 P 在 y 轴上运动时，求点N 的轨迹 C 的方程；解：（解法一）MPPN ，故 P 为 MN 的中点设 N (x, y) ，由 M 点在 x 轴的负半轴上，则M (x,0) , P(0,y0) , ( x2又 F (1,0) ，PM( x,yy),

2、PF(1,222又PMPF ，PMPFxy04所以，点 N 的轨迹 C 的方程为 y24 x (x0)（解法二）MPPN ，故 P 为 MN 的中点设 N ( x, y) ，由 M 点在 x 轴的负半轴上，则M (x,0) , P(0,y0)-) , (x2又由 MPPN,PMPF ，故 FNFM22，可得 FNFM由 F (1,0) ，则有 ( x22( x2，化简得： y20)1)y1)4 x (x所以，点 N 的轨迹 C 的方程为 y24 x (x0)例 2、已知椭圆的方程为x2y21(ab0) ，它的一个焦点与抛物线y28x 的焦点a2b2重合，离心率25F 作与坐标轴不垂直的直线l

3、，交椭圆于e，过椭圆的右焦点5A、 B两点（ 1 ）求椭圆的标准方程；（ 2 ）设点 M (1,0) ，且 ( MAMB )AB ，求直线 l 的方程；精品资料_解：（）设椭圆的右焦点为 (c,0)，因为 y28x 的焦点坐标为(2,0) ，所以 c 2因为 ec2 5 ，则 a25 ， b21a5故椭圆方程为：x2215y（）由（ I）得 F (2,0) ，设 l 的方程为 yk( x2) （ k0 ）x2y21，得，代入5设 A( x , y ), B(x, y ), 则xx20k 2, x x20k25 ，1 1225k 215k 211212y1 y2k ( x1x24), y1y2k

4、 ( x1x2 )MA MB ( x1 1, y1) (x2 1, y2) (x1x22, y1y2 ), AB (x2 x1, y2 y1 )(MA MB) AB0,(x1x2 2)(x2x1)( y2y1)( y1y2 ) 020k 224k 20,3k 210, k35k 215k 213所以直线l 的方程为 x3y20 或 x3y 20（ 2 ）所求问题以向量的形式呈现例 3、已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y24 5x 的焦点，离心率是63（ 1）求椭圆E 的方程；（ 2）过点 C（ 1， 0 ），斜率为 k 的动直线与椭圆E 相交于 A、 B 两点，请问x 轴上是否存在点 M，

5、使 MAMB 为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（ 1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且 a5, 又 c ea6530 ,33故 ba2c25 105 ,33精品资料_22故所求方程为xy1,即 x23y25 ，5 53（ 2 ）假设存在点M 符合题意，设AB ： yk( x1), 代入 E : x 23 y 25得： (321)x26 2x3k25 0kk设 A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), M (m,0) 则 x1x26k23k 253k2, x1 x23k 211MA MB( k21)x1x2 ( k2m)( x1x1)k2m2m22m16

6、m 1433(3k 21)要使上式与 k 无关，则有6m140,解得 m7，存在点 M (7 ,0) 满足题意。33例 4 、线段 AB 过 y 轴上一点 N 0,m， AB 所在直线的斜率为k k 0，两端点 A、B到 y 轴的距离之差为4k .()求出以 y 轴为对称轴，过A 、 O 、 B 三点的抛物线方程；( )过该抛物线的焦点F 作动弦CD ，过 C 、 D 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M ，求点 M 的轨迹方程，并求出FC FD 的值.FM 2解： ()设 AB 所在直线方程为 ykx m ，抛物线方程为x22 py ，且 A x1, y1，B x2 , y2，不妨设 x1

7、0 ， x2 0x1x24k即 x1 x2 4k把 y kxm 代入 x22 py 得 x22 pkx2 pm0x1x22 pk ，2 pk 4kp2故所求抛物线方程为 x24 y精品资料_()设 C x3 , 1 x32， D x4 , 1 x4244则过抛物线上 C 、 D 两点的切线方程分别是y1 x3 x1 x321 x4x 1 x42， y2424两条切线的交点M 的坐标为x3x4 , x3 x424设 CD 的直线方程为ynx1，代入 x24y 得 x24nx 40x3 x44故 M 的坐标为x3x4 , 1点 M 的轨迹为 y12FCx3 , 1 x321FDx4 , 1 x42

8、144FC FD x3 x41 x3 2 1 x421 x32x421444x3x411 x32x4211 x3 2x42244而FM2x3x42x32x4 22x3 x 41 x01 1 2432x422244故FA FB12FM(3) 问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现例 5 、在直角坐标系xOy 中，长为21 的线段的两端点C、 D 分别在x 轴、 y 轴上滑动， CP2 PD 记点 P 的轨迹为曲线E （ I）求曲线E 的方程；（ II ）经过点（ 0， 1 ）作直线 l 与曲线 E 相交于 A、 B 两点， OMOA OB, 当点M 在曲线 E 上时，求 cosOA, OB 的

9、值解：（）设 C ( m， 0) ，D (0 ， n)， P (x， y) x， n y)，由CP2PD ，得 (x m， y) 2(精品资料_x m 2x，m (2 1) x，2 1得ny，y 2( ny)，222 (21)2，由|CD| 2 1，得 m n(21)2( 2 1) 2x22y2 (21)2，y2整理，得曲线E 的方程为 x2 1 2（）设 A (x1， y1)， B (x2，y2)，由 OM OA OB ，知点 M 坐标为 (x1 x2 ， y1 y2 )设直线 l 的方程为 y kx1 ，代入曲线 E 方程，得 (k2 2) x22 kx 1 0 ，2 k1则 x1 x2

10、k2 2， x1x2 k2 24y1 y2 k(x1 x2 ) 2 k2 2 ，( y1 y2 )2由点 M 在曲线 E 上，知 (x1 x2)2 1，24k28即 1，解得 k2 2(k2 2) 2(k2 2) 23这时 x1x2 y1y2 x1 x2 (kx1 1)( kx2 1) (1 k2) x1x2 k(x2 x2 ) 1 ，4(12 12 )(2222) (212)(2 22 ) 42(x1222) ( 1 2)2xy xyxxxx x33 4 2(x1x2)2 2 x1x2 (x1 x2 )2 ， 16 x1x2 y1y233cos OA ，OB (x1 y1)(x2 y2)11

11、2222精品资料_二、针对性练习1. 已知圆 M： ( x5) 2y 236 及定点 N ( 5,0) ，点P是圆 M上的动点，点Q在NP 上，点 G在MP 上，且满足 NP2NQ, GQ NP0.（ 1 ）求点 G 的轨迹 C 的方程；（ 2 ）过点 K（ 2，0 ）作直线 l , 与曲线 C 交于 A 、B 两点，O 是坐标原点，设 OS OA OB ,是否存在这样的直线 l , 使四边形 OASB 的对角线相等？若存在，求出直线l , 的方程；若不存在，说明理由.解：（ 1 ）由NP2 NQQ 为 PN 的中点，且 GQPNGQ 是 PN 的中垂线，0GQ NPPGGN ， PMGMGP

12、GMGN6 25.点G 的轨迹是以 M、 N 为焦点的椭圆，又a 3, c5b2.x2y21.94（2） .OSOAOB四边形 OASB 为平行四边行，假设存在直线1，使 OSAB四边形 OASB 为矩形OAOB.若1 的斜率不存在，则1 的方程为 x2,x2x 2OA OB 16由x2y2y2 5 0.9439这与OA OB0相矛盾，1 的斜率存在 .设直线 1 的方程 y kx 2, A x1, y1, Bx 2 , y 2 .精品资料_yk x29 2222x2y2，化简得：4x36x36k10.1kk94x1x236k 2, x1 x236 k 21 ,9k 249k24y1 y2k

13、x12 .k x22k 2 x1 x22 x1x2420k 249k 2由 OA OB 0 x1 x2y1 y2036 k 2120k20 k3249k 24.9k2存在直线 1： 3x 2 y60 或 3x2y60 满足条件 .二、针对性练习1.已知过抛物线 y 22 px p0的焦点，斜率为22 的直线交抛物线于A( x1 , y2 ) ,B x2 , y2 （ x1x2 ）两点，且 AB9 （ 1 ）求该抛物线的方程；（ 2 ） O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OCOAOB ，求的值解：（ 1）直线 AB 的方程是 y2 2( xp22 px 联立，) ,与 y2消去 y ，得 4

14、x25 pxp20 ，所以 x1 x25 p ，4由抛物线定义得：ABx1x2 p9 ，所以 p=4 ，抛物线方程为：y28x（ 2 ）由 p=4 ， 4x 25 pxp20, 化简得 x25x40，从而 x11, x24, y122, y2 42,从而 A(1,22 ),B(4, 42 )设 OC(x3, y3 ) (1,22)(4,42)= (14,22 4 2) ，又因为 y328x3 ，即 2 2 228（ 41），1即 ( 21) 241 ，解得0, 或2精品资料_2 、在平面直角坐标系内已知两点A( 1,0) 、 B(1,0) ，若将动点P( x, y) 的横坐标保持不变，纵坐标扩

15、大到原来的2 倍后得到点 Q( x, 2 y) ，且满足 AQ BQ1 .（）求动点 P 所在曲线 C 的方程；（）过点 B 作斜率为20 ，的直线 l 交曲线 C 于 M 、 N 两点，且 OM ON OH2又点H关于原点 O 的对称点为点 G ，试问M、G 、 四点是否共圆？若共圆，NH求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.解（）设点 P 的坐标为 ( x, y) ，则点 Q 的坐标为 (x,2 y) ，依据题意，有AQ( x1,2 y), BQ( x1,2 y).AQBQ 1, x21 2 y21.动点 P 所在曲线 C 的方程是 x2y21.2（）因直线 l 过点 B ，且斜率为 k2 ，故有 l : y2 ( x 1).22x2y21联立方程组2，消去 y ，得 2x22 x1 0.y 2 ( x 1)2x1x21x1x2 1设 M ( x1 , y1 ) 、 N( x2 , y2 ) ，可得1 ，于是2 .x1 x22y1y22又 OMON OH 0 ，得 OH ( x1x2 , y1y2 ), 即 H ( 1,2 )2而点 G 与点 H 关于原点对称，于是，可得点G(1,2).2若线段 MN 、 GH 的中垂线分别为l 1 和 l2