金融时间序列分析

1、金融时间序列分析第一章 绪论第一节 时间序列分析的一般问题人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价 格、债券的收益等等， 例 某支股票的价格。 。 如何从这些数据中总结、发现其变化规律， 如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行 从这些数据中总结 为，这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。 研究方式数据 建立模型 预测 数据数据的类型。横剖面数据：由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横 剖面数据， 剖面数据，又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存 在的内在数值联系。 例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻

2、的价格；某一时刻全国各省会城 市的温度，都是横剖面数据； 研究方法：多元统计分析 。纵剖面数据：由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据， 称为纵剖面数据， 纵剖面数据， 又称为动态数据。 它反映的是现象与现象之间关系的发展变化 规律。 例如，南京市 1980 年至 2005 年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票 在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据 研究方法：时间序列分析 时间序列概念 时间序列概念 。时间序列： 简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其 中每一项的取值是随机的。 严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。 设 (?, , P ) 是一个概率空间，其

3、中 ? 是样本空间， 是 ? 上的 -代数，P 是 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 上的概率测度。又设 T 是一个有序指标集。 概率空间 (?, , P ) 上的随机变量 X t : t T 的全体称为随机过程。 随机过程。 注： 指标集T 可以是连续的也可以是离散的，相应地，随机过程也有连续和离 散之分。 定义： 定义：若 t i 是 R 中的一个离散子集，则称随机过程 X t : t t i = X ti 是一个 时间

4、序列。简言之，一个离散随机过程被称为一个时间序列。 注： 1、从统计意义上说，时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值，按照 时间顺序排成的数列，由于统计指标数值受到各种偶然因素影响，因此 这数列表现出随机性。 2、从系统论上说，时间序列是某一系统在不同时刻的响应，是系统运行的 历史行为的客观记录。 。时间序列的特点: (1) 序列中的数据依赖于时间顺序； (2) 序列中每个数据的取值具有一定的随机性； (3)序列中前后的数值有一定的相关性-系统的动态规律 (4) 序列整体上呈现某种趋势性或周期性。 。研究时间序列的意义 通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期 波动

5、的周期、振幅，等等） ；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来 行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。 时间序列分析 根据时间序列所包含的历史行为的信息， 寻找相应系统的内在统计特征和发 时间序列分析。 展变化规律性的整个方法，称为时间序列分析 注： 时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法， 是统计学的一个分支。 。时间序列分析的类型(详见 P7) 。确定性时序分析：设法消除随机型波动，拟合确定型趋势，形成长期趋势 分析、 季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法， 称为确定性时序分析 。随机时序分析：对许多偶然因素共同作用的随机型

6、波动，运用随机理论来 研究分析，找出其中的规律性，称为随机时序分析 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第二节 列的预测技术 第二节 时间序列的预测技术 本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列， 这些时间序列具有一些典 型特征。 时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研 究其变化趋势。 时间序列的基本变动 。长期趋势变动：指序列朝一定方向持续上升或持续下降，或停留在某一水 平上的倾向。 例如，1950 年

7、至 2000 年我国人口数一直保持增长的趋势；2000 年至 2005 年人口数量稳定在 13 亿。 。季节变动：指在一年或更短的时间内，由某种固定周期性因素（如自然、 生产、消费等季节性因素）的影响而呈现出有规律的周期性波动。 例如，雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高，而在冬夏两季较低。 。循环变动：指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波型相似的 波动。 例如，经济的过热或经济的萧条；股票市场大约每四年一次的牛市等。 。不规则变动：由许多不可控的偶然因素（如战争、自然灾害或其它社会因 素等）和随机变动（即由大量随机因素产生的宏观影响）所共同作用的结果 例如，黎巴嫩今年的经济因以色列突然

8、入侵而蒙受重大损失；我国 7 月份福 建、浙江因台风遭受重大损失等。 几种常见的预测模型 几种常见的预测模型 如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差 2 较小，并且有 理由认为过去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来， 可以用如下一些经验方 法来进行预测。 ? 。简单预测模型：用现象的现在值作为其下一时刻的预测值，即 xt +1 = xt 。移动平均模型（滑动平均，Moving Average Model） ： 当预测目标出现某些不规则的变化，如特大值或特小值，用简单预测法将会 产生较大偏差， 可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的 影响。 设观察值序列 x1 ,

9、 x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ，一次移动平均模型 为 x (1) t = 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 我们用此值作为下一时刻的预测值，即令 xt +1 = x (1) t 。 注：1、移动平均的特点是“修匀”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化， 并使趋势倾向更加明显。 2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可

10、以用移动平均模型 来作预测。 3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常采用二次移动平均 模型，即 1 (1) ? x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt + x (1) t ?1 + ? ? ? + x (1) t ?( n?1) ) 。 n 4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时，可用趋势移动平均模型 ? xt + j = at + bt j ， j = 1,2,? ? ? ? ? 其中： at = 2 x (1)t ? x ( 2 )t ， bt = 2 ? ? ( x (1) t ? x ( 2) t ) ， n 为周期长度。该模型在数 n ?1 据处理

11、中常用来作为预处理， 消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有 效的。 。指数平滑模型（Exponential Smoothing Model） ： 观察移动平均模型可知，我们实际上是作了以下两个假定： （1）下一期的预测值只与前 n 期的历史数据有关，而与前 n 期以前的历史 记录无关； （2）前 n 期的历史数据对预测值的影响是相同的， 即都加权数 1 n 。 然而，这两条假定是存在一定缺陷的：假定（1）限制我们不能充分利用数据带 来的信息；假定（2）与实际情况不相符合，因为一般说来距离预测期越远的数 据对预测的影响应当越小。 为了克服移动平均模型的缺点， 更好地符合实际情况， 我们应当对

12、各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。 设观察值序列为 x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ， 由移动平均模型有 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n 1 1 1 = xt + ( xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) + xt ? n ) ? xt ? n n n n 1 1 = xt + x (1) t ?1 ? xt ? n n n 1 如用 x (1) t ?1 代替 xt ?n ，并记 = ，则上式可以写成 n x (1) t = x (1) t = xt + (1 ? ) x (1) t

13、?1 一般地，一次指数平滑模型 为 S (1 ) t = x t + (1 ? ) S (1 ) t ?1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 其中 （ 0 < < 1 ）为加权系数。 利用上述递推公式，我们可以进一步得到 St (1) = xt + (1 ? )xt ?1 + (1 ? ) S (1) t ?2 = xt + (1 ? ) xt ?1 + (1 ? ) 2 xt ? 2 + (1 ? ) S (1)

14、t ?3 = ? = (1 ? ) j xt ? j j =0 注：1、上式中加权系数呈指数函数衰减，加权平均能消除或减弱随机干扰的影 响。 2、指数平滑模型是以当前时刻 t 为起点，综合历史数据的信息，来对未来进 行预测的。其中加权系数 的选择是提高预测精度的关键。根据经验， 的取值 范围一般为 0.10.3。 3、类似地，我们也有如下的二次、三次平滑公式，等等 St St ( 2) = S (1) t + (1 ? ) S ( 2) t ?1 ， = S ( 2) t + (1 ? ) S (3) t ?1 ( 3) 加权系数 的作用：由一次指数平滑公式有 ? (1) ? ? xt +1

15、= S (1) t = S (1) t ?1 + ( xt ? S (1) t ?1 ) = x (1) t + ( xt ? x (1) t ) 其中最后一个括号表示对上期预测误差的修正，因此， 的大小反映了对上期预测误差修正的幅度 的大小反映了对上期预测误差 对上期预测误差修正的幅度 值越大，加权系数的序列衰减速度就越快，采用的历史数据就越少。由此可以 得到 取值的一般原则： （1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则 值应取小些，以减少修正幅度，使预测模型包含更多历史数据的信息； （2）如果预测目标的基本趋势发生系统变化，则 值应取大些，可以偏重新 数据的信息队原来模型进

16、行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。 金融时间序列及其特征 第三节 金融时间序列及其特征 金融时间序列分析研究的是资产价值随时间演变的理论和实践。 它是一个带 有高度经验性的学科， 但也像其它科学一样，理论是形成分析推断的基础。然 而，金融时间序列分析有一个区别于其它时间序列分析的主要特点：金融理论及 其经验的时间序列都包含不确定因素。例如，资产波动率有各种不同的定义，对 一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。正因为带有不确定性，统计 理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjin

17、g University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 资产收益率 多数的金融研究是针对资产收益率而不是资产价格。Campbll, Lo 和 MacKinlay (1997) 给出了两个使用收益率的主要理由： 第一， 对普通的投资者来说， 资产收益率的高低完全反映了投资机会的大小； 第二，收益率序列比价格序列有更好的统计性质，因而更容易处理。 设 Pt 是资产在 t 时刻的价格，假定资产不支付分红。 。单周期简单收益率 若从第 t ? 1 天到第 t 天这一个周期持有某种资产，则单周期的简单毛收益率 单周期的简单毛收益率 定义为 1 + Rt

18、= Pt Pt ?1 或 Pt = Pt ?1 (1 + Rt ) 对应的单周期简单净收益率 或 称简单收益率 为 Rt = Pt P ? Pt ?1 ?1 = t Pt ?1 Pt ?1 。多周期简单收益率 若从第 t ? k 天到第 t 天这个 k 个周期内持有某种资产， k 周期简单毛收益率 则 定义为 1 + Rt k = Pt P P P = t × t ?1 × ? ? ? × t ? k +1 Pt ? k Pt ?1 Pt ? 2 Pt ?k k ?1 j =0 = (1 + Rt )(1 + Rt ?1 ) ? ? ? (1 + Rt ?k +1

19、 ) = (1 + Rt ? j ) k 周期简单毛收益率也称为复合收益率。由上式可见， k 周期简单毛收益率恰是 k 个单周期简单毛收益率的乘积 k 周期简单净收益率 为 Rt k = Pt P ? Pt ? k ?1 = t Pt ?k Pt ?k 注：在实践中，实际的时间区间对讨论和比较收益率很重要的，例如是月收益率 还是年收益率。若时间区间没有明确给出，那么一般认为隐含假定时间区间 为一年。 如果持有资产年限为 k 年，则年度化的平均收益率定义为 ? k ?1 ? 年度化的 Rt k = ? (1 + Rt ? j )? ? j =0 ? 即为 k 个单周期简单毛收益率的几何平均。 1

20、 k ?1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 由于算术平均要比几何平均容易计算， 所以年度化的平均收益率也可以用算 术平均来表示为： ? 1 k ?1 ? 年度化的 Rt k = exp? ln(1 + Rt ? j )? ? 1 ? k j =0 ? 注意到单周期收益率一般很小，利用一阶 Taylor 展开式 e x 1 + x 与 ln(1 + x) x ，年度化的平均收益率又可以进一步近似地表示为： 年度化的 Rt k 1

21、 k ?1 Rt ? j k j =0 。连续复合收益率 连续复合的含义：例 假定银行存款的年利息为 10%，最初存款为 1 美元。假如该银行每年支 付一次利息，那么一年之后存款的额度变为 1+0.1=1.1 美元。假如该银行每半年 支付一次利息，六个月的利息率是 10%/2=5%，第一年之后存款的额度为 1(1 + 0.1 / 2) 2 = 1.1025 美元。一般地，假如该银行一年支付 m 次利息，那么每次支 付的利息率为 10%/m，一年后存款的额度变为 1(1 + 0.1 / m) m 美元。 下表给出一些常用的时间间隔下年利率为 10%时存款 1 美元的结果 类型 支付次 数 每周期

22、 利率 净值（美 元） 一年 1 0.1 1.1 半年 2 0.05 1.1025 季度 4 0.025 1.10381 月 12 0.0083 1.10471 周 52 0.1/52 1.10506 天 365 0.1/365 1.10516 连续地 无穷多 1.10517 可见，净值趋于 1.1052 exp(0.1) ，这个值就是连续复合的结果。 一般地，连续复合的净资产值为： A = C exp(r × n) 其中 r 是年利率， C 是初始资本， n 是年数。由此式我们可以得到 C = A exp(? r × n) 称为 n 年后价值为 A 的资产的现值 连续复合

23、收益率： 资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率 或 对数收益率（log-return）: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 rt = ln(1 + Rt ) = ln Pt = pt ? pt ?1 Pt ?1 其中 pt = ln Pt 注： 连续复合收益率 rt 与简单净收益率 Rt 比较有一些优点： 1、对多周期收益率，我们有 rt k = ln(1 + Rt k ) = ln(1 + Rt )(1 + Rt ?

24、1 ) ? ? ? (1 + Rt ? k +1 ) = ln(1 + Rt ) + ln(1 + Rt ?1 ) + ? ? ? + ln(1 + Rt ? k +1 ) = rt + rt ?1 + ? ? ? + rt ?k +1 即， 连续复合多周期收益率恰是各连续复合单周期收益率之和 2、对数收益率有更容易处理的统计性质。 3、根据泰勒公式，我们有如下有关系式 ln Pt P ? Pt ?1 P ? Pt ?1 = ln(1 + t ) t ， Pt ?1 Pt ?1 Pt ?1 即毛收益率的对数近似等于净收益率。 。资产组合收益率 由 N 个资产组成的一个资产组合的简单净收益率是它

25、所包含的各资产的简 单净收益率的加权平均， 其中每个资产的权重是资产组合的总价值中该资产的价 值所占的百分比。 设 p 是一个资产组合，其在资产 i 上的权重为 i ，那么 p 在时刻 t 的简单收 益 R p ,t = i Rit ， i =1 N 其中 Rit 是资产 i 的简单收益率。 收益率分布的假定 收益率分布的假定 分布 。正态分布 金融研究中传统的假设是：简单收益率 Rit | t = 1, ? , T 是相互 独立的，且都服从一个固定均值为 ? 、方差为 2 的正态分布。 这个假设使得资产收益率的统计性质变得可以处理，但它遇到几个麻烦： 第一，简单资产收益率的下界为-1，而正态

26、分布的支撑是没有下界，它可以 取到实直线上的任何值； 第二，如果 Rit 是正态分布的，那么多周期的简单收益率 Rit k 就不是正态分 布的，因为它是单周期收益率的乘积； 第三，经验结果不支持正态性假设，很多资产收益率数据表明它具有正的超 出峰度，即具有厚尾性。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。对数正态分布 金融研究中另一个常用的假设是：资产的对数收益率 rt 是 相互独立的，且都服从一个均值为 ? 、方差为 2 的正态分

27、布。 此时，简单收益率 Rt 就是独立同分布的对数正态的随机变量，由 Rt =exp rt , 容易计算得到 Rt 的均值和方差分别为 E ( Rt ) = exp(? + 2 2 ) ? 1， Var ( Rt ) = exp(2 ? + 2 )exp( 2 ) ? 1 这两个式子在研究资产收益率是有用的。 如果简单收益率 Rt 服从对数正态分布，均值和方差分别为 m1 ， m2 ，通过计 算可以得到其对数收益率 rt 的均值和方差分别为 ? ? m1 + 1 E (rt ) = ln ? ? m2 ? 1+ (1 + m1 ) 2 ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? m2 ? Var

28、 (rt ) ln ?1 + 2 ? ? (1 + m1 ) ? *第四节 随机变量的矩 第四节 随机变量的矩 最近的理论研究和实证结果表明：对收益率的两个传统假定并不成立，即收 益率序列并不是服从正态分布的，实际上它存在着尖峰厚尾现象。为描述这一现 象，我们需要下面矩的概念。 。随机变量的矩 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) ，则 X 的 l 阶矩 定义为 ml = E ( X l ) = ? x l f ( x)dx 一阶矩称为 X 的均值 或 期望， 它表示的是分布的中心位置， 记为 ? x 。X 的 l 阶 中心矩 定义为 ml = E( X ? ? x ) l = ?

29、(x ? ? x ) l f ( x)dx 二阶中心矩称为 X 的方差，它表示 X 取值变化的程度，记为 2 x 。方差的算术根 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 x 称为 X 的标准差注：1、三阶中心矩度量 X 关于其均值的对称性；四阶中心矩度量 X 的尾部。 X 的偏度(skewness)定义为标准化的三阶矩， 即 ? ( X ? ? x )3 ? S ( x) = E ? ? 3 ? x ? X 的峰度(kurtosis)

30、定义为标准化的四阶矩， 即 ?( X ? ?x )4 ? K ( x) = E ? ? 4 ? x ? 量 K ( x) ? 3 称为超出峰度， 具有正的超出峰度的分布称为具有厚尾性 。 注 ： 2 、所谓“超出峰度”是以正态分布为标准比较而言的。正态分布的峰度 K ( x) = 3 ，故其超出峰度为 0。分布具有“厚尾性”意即该分布在其支撑 的尾部有比正态分布更多的“质量” 。在实际中，这意味着来自于这样一 个分布的随机样本会有更多的极端值。 注：3、在应用中，偏度和峰度可以由它们对应的样本偏度和样本峰度来估计。 设 x1 , x 2 ,? ? ?, xT 是 X 的 T 个观察值的随机样本

31、，样本的均值为 ? ?x = 1 T xt T t =1 样本方差为 ? 2x = 1 T ? ( xt ? ? x ) 2 T ? 1 t =1 样本偏度为 ? S ( x) = 1 ? (T ? 1) 3 x (x t =1 T T 3 t ? ? ?x ) 样本峰度为 ? K ( x) ? 3 = 1 ? (T ? 1) 4 x (x t =1 4 t ? ? ?x ) ? ? 注：在正态分布假定下， S ( x) 和 K ( x) 均渐近正态分布，均值为零，而方差分别 为 6 / T 和 24 / T 。 （参见 Snedecorhe Cochran(1980), P.78） 注：4、

32、类似地，我们也可以给出离散随机变量的偏度和峰度的定义。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第二/三 线性时间序列模型 第二 三章 线性时间序列模型 时间序列列的一个重要特征是它的前后数据之间具有相关性，这反映系统 的现在行为与历史行为是有关联的，也就是说系统对过去行为具有记忆性，也叫 做系统的动态性。 记忆性（动态性） 记忆性（动态性） 。记忆性 指某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的发生影响的性质。 输入 系统 输出（响应）

33、 。动态性 指系统现在行为与历史性为的相关性，即在时间序列中，观察值之 中蕴含有相关关系。从系统观点来看，动态性即指系统的记忆性。 若某输入只影响系统的下一时刻的行为，而对其后的行为不发生作用，则称 系统有一期记忆性 或 一阶动态性 。 类似可以定义系统的 n 阶记忆性。 阶记忆性。 例：一个病人服用镇痛药，在时刻 t 服用，相当于在时刻 t 进入神经系统的一个 输入-镇痛药，结构图如下： 输入 神经系统 镇痛药 ? t 精神状态 X t 输出（响应） 如果此药仅在下一个时刻有效，此后无效，该系统具有一期记忆性，其动态性可 用下图表示： ? ? T T +1 ? T +2 假如服药后四小时内有

34、效，且药力递减，第五个小时后无效，则系统的动态性图 示如下： Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 T T +1 T +2 T +3 T +4 T +5 注：如何定量描述系统的记忆性，这是时间序列分析的主要内容，时间序列模型 就是系统记忆性的具体描述，建模过程驾驶记忆的定量描述过程。 例如，若某系统的输入和输出为： 时间 t 1 2 输入 输出 则模型为 X t = 0Wt 。 若某系统的输入和输出为： 时间 t 1 输入 输出 则

35、模型为 X t = 1Wt ?1 。 若某系统的输入和输出为： 时间 t 1 输入 输出 Wt Xt 0 0 2 0 0 2 0 0 3 4 0 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 0 0 c 0c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 c 0 1c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 c 0c 1c 则模型为 X t = 0Wt + 1Wt ?1 。 一般地，系统的记忆性可以用如下模型表示： X t = 0Wt + 1Wt ?1 + 2Wt ? 2 + ? 其中 j 表示在 t 时刻系统对输入 Wt ? j 的记忆程度， 或者输入 Wt ? j 对系统输出 X

36、t 的 影响程度。称 j 为系统的记忆函数。 实际上，我们所掌握系统的信息总是有限的，因此描述系统的记忆性的模型 一般为有限形式： X t = 0Wt + 1Wt ?1 + 2Wt ? 2 + ? + t 其中的 t 是一个随机误差。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。线性时间序列 若时间序列 xt 能够写成 xt = ? + i at ?i ， i =0 其中 ? 是 xt 的均值， 0 = 1 ， a t 是零均值、独立同

37、分布的随机变量序列（即白 噪声） ，则称 xt 为线性时间序列。 。线性时间序列理论 。经济计量模型 包括平稳性、动态相依型、自相关函数、建模和预测 （1）简单自回归（AR）模型； （2）简单滑动平均（MA）模型； （3）混合的自回归滑动平均（ARMA）模型； （4）季节模型。 第一节 平稳性 。严平稳 对时间序列 xt ，若对所有的 t 、任意正整数 k 和任意 k 个正整 数 t1 , t 2 , ? , t k ， 随 机 变 量 组 (rt 1 , rt 2 , ?, rt k ) 的 联 合 分 布 与 随 机 变 量 组 (rt1 + t , rt2 + t , ? , rtk +

38、 t ) 的联合分布均是相同的，即满足关系式： Fk (rt1 , rt2 , ? , rtk ; t1 , t 2 , ? , t k ) = Fk (rt1 , rt2 , ? , rtk ; t1 + t , t 2 + t , ? , t k + t ) 则称 rt 是严平稳的。 换言之，严平稳性要求 (rt , rt ,?, rt ) 的联合分布在时间的平移下是不变。 1 2 k 注：严平稳性的条件是相当强的，根据定义很难验证。稍微弱一点平稳性是如下 的定义。 。弱平稳 对时间序列 xt ，若 （2） Cov( xt , xt ?l ) = l 仅与 l 有关， （1） E ( xt

39、 ) = ? = const. ； 则称 xt 是弱平稳的 或 宽平稳的。 换言之，若 xt 和 xt 与 xt ?l 的协方差均不随时间变化，则 xt 是弱平稳的。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 注：1、弱平稳性意味着数据的时间图显示出其值在一个常数水平上下以相同幅 度波动； （请读者 2、在弱平稳性的条件中，隐含地假定了 rt 的头两阶矩均是有限的； 验证） 3、弱平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的头两阶矩上，严平稳

40、对时 间推移的不变性表现在统计平均的概率分布上，二者的要求不同。 。严平稳与弱平稳的关系 命题 1.1 若时间序列 rt 是严平稳的，且它的头两阶矩是有限的，则 rt 也是若 平稳的。反之一般不成立， 命题 1.2 若时间序列 rt 是正态分布的，则严平稳与弱平稳时等价的。 。白噪声序列：若时间序列 xt 是一个有有限均值和有限方差的、独立同分 布的随机变量序列，则称 xt 为白噪声序列，否则称为有色噪声。 白噪声序列 若 xt 还服从均值为 0、方差为 2 的正态分布，则称 xt 为高斯白噪声。 注： 白噪声与白色光有相似的特性：白色的光谱在各频率上有相同的强度；白 噪声的谱密度在各频率上的

41、值也相同。 例 1 高斯白噪声序列是弱平稳的。 设高斯白噪声序列 xt ，即它们是独立同分布的随机变量且 E ( xt ) = 0 ，又 E ( xt ) = 2 。故 2 ? E ( xt 2 ) = 2 E( xt +l ? 0)( xt ? 0) = E ( xt +l xt ) = ? 0 ? 所以 xt 是弱平稳的。 若l = 0 若l 0 。 注：平稳性条件是难以验证的。在实际中，如果某过程前后的环境和主要条件够 不随时间变化，就可以认为是平稳的。如在工业生产中，原料质量、机器性能、 工艺过程、工人技术、自然条件（气温、雨量等）没有剧烈变化，就可以认为其 过程是平稳的。 若进行了工

42、艺革新、设备改造、工人岗位变动等，则这一工业生产过程就是 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 非平稳的了。 。 自协方差 对弱平稳时间序列 xt ， 协方差 Cov( xt , xt ?l ) = l 称为间隔为 l 的 自协方差。 自协方差。命题 1.3 设弱平稳时间序列 xt ，则自协方差具有如下性质： （1） 0 = Var ( xt ) ； （2） ?t = t 。 第二节 相关系数和相关函数 对资产收益率 rt ，我们希

43、望用简单模型来刻画 rt 与 t 时刻之前所拥有的信息 之间的线性关系。 这里的信息可以包括 rt 的历史值和决定资产价格的经济环境的 状态。所以，相关系数在理解这些模型中起着重要作用，所研究的变量与其过去 值的相关系数是线性时间序列分析的重点。 这些相关系数被称为自相关系数， 它 们是研究平稳时间序列的基本工具。 随机变量的相关性 随机变量的相关性 两个随机变量 X , Y 的相关系数为： xy = Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y ) = E( X ? ? x )(Y ? ? y ) E ( X ? ? x ) 2 E (Y ? ? y ) 2 其中 ? x 和 ?

44、 y 分别是 X , Y 的均值，并且假定方差是存在的。 注：1、相关系数 xy 度量的是随机变量 X , Y 线性相关的程度。我们知道有以下 性质： （1） ? 1 xy 1 且 xy = yx ； （2）若 xy = 0 ，则随机变量是不相关的； （3）若 X , Y 都是正态随机变量，则 xy = 0 ? X , Y 是互相独立的。 2、如果有样本 ( xt , y r )T=1 ，相关系数可以由它所对应的样本相关系数来估 t 计： Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Ec

45、onomics, 2006 金融时间序列分析 T ? xy = (x t =1 T t =1 t ? x )( y t ? y ) T ( xt ? x ) 2 ( y t ? y ) 2 t =1 其中 x = xt / T ， y = y t / T 分别为 X , Y 的样本均值。 t =1 t =1 T T 自相关函数（ 自相关函数（ACF） 函数 ） 。自相关函数 设时间序列 xt ，xt 与 xt ?l 的相关系数称为 xt 的间隔为 l 的 自相关系数，记为 l (t ) ，即 l (t ) = Cov( xt , xt ?l ) Var ( xt )Var ( xt ?l )

46、注：当时间序列 xt 是弱平稳时，自相关系数 l 与时间 t 无关，而只是间隔 l 的 函数，此时由于 Var ( xt ) = Var ( xt ?l ) ，我们有 l = 进一步还有，(1) 0 = 1 ； Cov( xt , xt ?l ) l = Var ( xt ) 0 (2) 弱平稳序列 xt 是前后不相关 ? 对所有 l > 0 ， l = 0 。 例2 设高斯白噪声 xt ，由例 1 已经算得 ? 2 , 若l = 0 ( ) = Cov( xt , xt +l ) = ? ? 0, 若l 0 故高斯白噪声的自相关函数为： ( 0) = 2 (l ) = ? ?1, 若l

47、 = 0 。 ?0, 若l 0 例3 设 X 是随机变量，Var ( X ) = 2 。记 x1 = x 2 = ? = X ，则时间序列 xt 有 (l ) = Cov( xt , xt +l ) = Cov( X , X ) = 2 ，又 (0) = 2 。所以对任意 l 1 ， (l ) = 1 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 注：例 3 的结论表明时间序列 xt 具有极强的相关性。实际上，该序列的每一项 是相同的，

48、因而也是严平稳的。与例 2 比较可知，白噪声是另一个极端的情形。 。样本自相关函数（ACF） 假定有样本 xt T=1 ，则 xt 的间隔为 1 的样本自 t 相关系数为 ? 1 = (x t =1 T t ? x )( xt ?1 ? x ) t (x t =1 T ? x) 2 一般地， xt 的间隔为 l 的样本自相关系数定义为 T ? l = t = l +1 (x t ? x )( xt ? l ? x ) , t (x t =1 T 0 l < T ?1 ? x) 2 ? 注：1、若 xt 是独立同分布(iid)序列，且 E ( xt ) < ，则对任意固定的 l ，

49、l 是 2 渐近地服从均值为 0、方差为 1 / T 的正态分布（见 Brockwellhe 和 Davis(1991)） 。 此结果可以用来检验原假设 H 0 : 1 = 0 对备选假设 H a : 1 0 。 检验统计量 ? 为通常的 t 比，即 T 1 ，它渐近地服从标准正态分布。 q 2、若 xt 是一个弱平稳序列，满足 xt = ? + i at ?i ，其中 0 = 1 ， a j 是 i =0 ? 高斯白噪声序列，则对于 l > q ， l 渐近地服从均值为 0、方差为 (1 + 2 i ) / T 2 i =1 q 的正态分布（见 Box, Jenkins 和 Reins

50、el(1994)） 。 ? 3、对于有限样本， l 是 l 的有偏估计。 T 事实上，若记 ?l = ( xt ? x )( xt ?1 ? x ) ，称其为样本自协方差。因为对于 t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 0 l < T ?1， E (?l ) = t = l +1 E( xt ? x )( xt ?l ? x ) = T t =l +1 T l = (T ? l ) l l ? 所以， ?l 是 l

51、的有偏估计。又由于 l = ?l ? ，所以 l 也是 l 的有偏估计。 ?0 4、由于偏差的阶为 1 / T ，因此，在样本容量 T 较小时是不容忽视的。但在 大多数金融应用中， T 都是相当大的，故这个偏差影响并不大。 ? ? 定义 称函数 1 ， 2 ,? 为 xt 的样本自相关函数注：自相关函数（ACF）在线性时间序列分析中起着重要作用。事实上，线性时 线性时间序列的建模就是用样本 ACF 来 间序列模型可以完全由其 ACF 所决定， 刻画数据的线性动态关系的。 第三节 滑动平均模型 在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是滑动平均模型， 它可以看作是 白噪声序列的简单推广。 滑动平均

52、模型概念 滑动平均模型的英文为：Moving-Average Model, 缩写为：MA 模型。 。MA(q)模型 假定 a t 是均值为零、方差为 a 的白噪声序列，则称 2 xt = at ? 1 at ?1 ? ? ? q a t ? q , q>0 为 q 阶滑动平均模型，简记为 MA(q)模型。 注：1、MA 模型是用白噪声序列组成的一个加权平均； 2、MA 模型具有许多吸引人的特点，包括简单的均值和自协方差结构。 MA 模型性质 。MA(1)模型的均值和方差 2 E ( xt ) = 0 ， Var ( xt ) = (1 + 12 ) a 对 MA(1)模型： xt = a

53、t ? 1a t ?1 ，两边取期望可得 E ( xt ) = 0 ；两边取方差可 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 得 2 2 2 Var ( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) ? 2 1 E (at a t ?1 ) + 12 E (a t2 ) = a + 12 a = (1 + 12 ) a 。 一般地，我们有如下命题： 命题 3.1 对 MA 模型，我们有 (1) MA 模型是零均值的； (2)

54、 MA(q)模型的方差为 2 Var ( xt ) = (1 + 12 + ? + q2 ) a 。 。MA 模型的平稳性 因为 E ( xt ) = 0 ，且 MA 模型总是弱平稳的。 总 Cov( xt , xt ?l ) = E ( xt xt ?l ) = E (at at ?l ) ? 1 E (at ?1at ?l ) + E (at at ?l ?1 ) + 1 E (at ?1 at ?1?l ) 2 2 ? 21 a =? ? 0 l =1 。 l >1 。MA(1)模型的自相关函数 在 MA(1)模型 0 = 1 ， 1 = ? 1 ， l = 0 对 l >

55、1 1 + 12 xt = at ? 1a t ?1 。 两端同乘以 xt ?l ，得 xt ?l xt = xt ?l a t ? 1 xt ?l a t ?1 ， 利用 MA(1)模型的递推性质，将上式右端用白噪声表示，有 xt ?l xt = xt ?l at ? 1 (at ?l ? 1 at ?l ?1 )at ?1 = xt ?l at ? 1 at ?l at ?1 + 1 at ?l ?1 at ?1 2 两边取期望，得 l = E ( xt ?l at ) ? 1 E (a t ?l a t ?1 ) + 12 E (a t ?l ?1 at ?1 ) 2 ? 1 a =?

56、? 0 2 由于 Var ( xt ) = (1 + 12 ) a ，故 l =1 l >1 0 = 1 ， 1 = ? 1 ， l = 0 对 l > 1 。 1 + 12 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 类似的计算可以得到（请同学自己验证） ： 。MA(2)模型的自相关函数 对 MA(2)模型 xt = at ? 1 at ?1 ? 2 at ?2 ，有 0 = 1 ， 1 = ? 1 + 1 2 ?2 ， 2

57、 = ， l = 0 对 l > 2 。 2 2 1 + 1 + 2 1 + 12 + 22 注：1、上述自相关函数式表明：MA(1)模型的自相关函数在间隔为 1 以后是截 尾的；MA(2)模型的自相关函数在间隔为 2 以后是截尾的； 一般地，对 MA(q)模型有 q 0 ，但对 l > q 有 l = 0 ，即 MA(q)模 型 的自相关函数在间隔为 l > q 以后是截尾的。因此 MA(q)序列是一个 “有限记忆”模型。 2、 某些金融时间序列有时会有正的均值 ? ， 这时就应当是把这个常数均值 ? 添加入到模型中去，使得 MA(q)模型变为 xt = ? + a t ?

58、 1 a t ?1 ? ? ? q a t ? q 那么，通过计算可以得到 E ( xt ) = ? ，而方差和自相关系数均保持不变。 例 3.1 考虑 MA(1)模型： yt = a t ? 1 1 a t ?1 ，通过计算（同学自己完成）可得 0 = 1 ， 1 = ? 1 ， l = 0 对 l > 1 。 1 + 12 即与上面 MA(1)模型 xt = at ? 1a t ?1 具有相同的自相关函数。 问题： 问题：MA(1)序列 xt 与 y t 具有相同的相关系数，那么选择哪一个模型更为合 适呢？ 为回答这个问题，我们将白噪声 a t 分别用数据 xt 与 y t 表示： at = xt + 1 at ?1 = xt + 1 ( xt ?1 + 1 at ? 2 ) = xt +