第三章3.1-3.4圆;圆的对称性;垂径定理;圆周角和圆心角的关系

1、初中数学第三章 3.13.4 圆；圆的对称性；垂径定理；圆周角和圆心角的关系编稿老师董志臣一校程文军二校杨雪审核杨国勇圆与圆的对称性一、考点突破1. 掌握圆及与圆有关的定义，对某些易混定义加以区分。2. 理解圆的对称性，应用相关知识解决问题。二、重难点提示重点：区分定义，理解相似与不同的定义。难点：应用有关知识解决相关问题。1. 圆的有关概念 （1）定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O为圆心的

2、圆，记作“O”，读作“圆O”。注意：圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小。（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫直径。注意：直径为圆最大的弦。 （3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。（4）圆弧： 圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”。以A，B两点为端点的弧，记作，读作“弧AB”。 小于半圆的弧叫做劣弧，记作（用两个字母）；大于半圆的弧叫作优弧，记作（用三个大写字母）。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。 能够重合的两个圆叫作等圆。注意：半径相等的圆也是等圆。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。2. 圆的对称性及特性：（1）圆是轴

3、对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。（2）圆也是中心对称图形，它的对称中心就是圆心。（3）一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。这是圆特有的一个性质：圆的旋转不变性。注意：圆有无数条对称轴。例题1 如图所示，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BCa，EFb，NHc，则a、b、c的大小是 。思路分析：连接OA，OD，OM，根据矩形的对角线相等，即可证明a，b，c都等于圆的半径。答案：解：连接OA，OD，OM，四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形，OABC，ODEF，OMHNBCEFHN即abc，故答案是：abc。技巧点拨

4、：本题考查了圆的认识和矩形的性质。技巧性较强，要把分散的条件集中到一点或一个图形中。例题2 （凤冈县二模）如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A. 15 B. 155 C. 20 D. 155思路分析：连接AD，BP，PA，由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到ABD为等腰直角三角形，则ADBD，由于ABC为等边三角形，所以ACBCAB5，BDBP5，当点P与点D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值为ACBCBDAD155。答案：解：连接AD，BP，PA，弧AD是以等

5、边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，ABD90°，ADAB，ABC为等边三角形，ACBCAB5，BDBP5，当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为ACBCBDAD5555155，故选B。技巧点拨：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等），也考查了等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质。【综合拓展】圆是一个很完美的几何图形，从其基本概念，我们不难看出，圆包含了有关线段，角度，位置关系，数量关系等很多几何问题，因此一些综合性较强的几何题，经常以圆为载体进行探究，所以熟练地掌握圆的基本概念及性质，会为我们解决几何

6、综合题拓宽思路，打开视野。例题 （广州）如图，扇形OAB的半径OA3，圆心角AOB90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DGGHHE。（1）求证：四边形OGCH是平行四边形； （2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度； （3）求证：CD23CH2是定值。思路分析：（1）连接OC，容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形，然后利用其对角线互相平分和DGGHHE可以知道，四边形CHOG的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；（2）由于四边形ODCE是矩形，而矩

7、形的对角线相等，所以DEOC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变；（3）过C作CNDE于N，设CDx，然后利用三角形的面积公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理，就可以求出CD23CH2的值了。答案：（1）证明：连接OC交DE于M，由矩形得OMCM，EMDM，DGHE，EMEHDMDG，HMGM，四边形OGCH是平行四边形；（2）解：DG不变，在矩形ODCE中，DEOC3，DG1；（3）证明：设CDx，则CE，过C作CNDE于N，由DECNCDEC得CN，DN，HN31，3CH23（）2（）212x2，CD23CH2x212x212。技巧点拨：本题主要考查

8、圆、矩形、平行四边形、直角三角形等基础图形的性质与判定，考查计算能力、推理能力和空间观念。（答题时间：40分钟）*1. 如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 10*2. 如图，在半圆的直径上依次作4个正三角形，如果这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A. C1C2 B. C1C2 C. C1C2 D. 不能确定*3. 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大

9、小随之变化，则PA2PB2的值（）A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 不能确定*4. 如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DCOE，若C20°，则EOB的度数是（）A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°*5. 如图，AB为O直径，点C、D在O上，已知AOD50°，ADOC，则BOC 度。*6. 如图是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图，挖去22个半径为（）2的圆得到图，则第n（n1）个图形阴影部分的面积是 。*7. 如图，点A、B、C是O上的三点，BO平分A

10、BC，求证：BABC。*8. 如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是其内接正方形。（1）求证：OCOF。（2）在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上。若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积。1. C 解析：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上正好滚动一周，在五条边上共滚动了5周。另外五边形的外角和是360°，所以小圆在五个角处共滚动一周。因此，总共是滚动了6周。故选C。2. B 解析：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：a，4个正三角形的周长和C2为：3a，a3a，C1C2故选B。3. C 解析：在直角PAB

11、中，AB2PA2PB2，又在矩形PAOB中，OPAB，PA2PB2AB2OP2，故选C。4. C 解析：CDODOE，CDOC20°，EDOE40°，EOBCE20°40°60°，故选C。5. 65 解析：ODOA，DA，而AOD50°，A（180°50°）65°，又ADOC，BOCA65°，故答案为65。6. （1）解析：图中阴影部分的面积为：×12×（）2×2（1）；图中阴影部分的面积为：×12×（）22×22（1）；图是半径为1的

12、圆，在其中挖去23个半径为（）3的圆得到的，则图中阴影部分的面积为：×12×（）32×23（1）；，则第n（n1）个图形阴影部分的面积为：×12×（）n12×2n1（1），故答案为：（1）。7. 证明：连接OA、OC，如图， OAOB，OBOC，ABOBAO，CBOBCO，B0平分ABC，ABOCBO，BAOBCO，OABOCB，ABBC。8.（1）证明：连接OD，OE，则ODOE，四边形CDEF为正方形CDFE，DCOEFO90°，在RtDOC和RtEOF中：ODOE，CDFERtDOCRtEOF，OCOF。（2）解：连接

13、OH，设正方形FGHK的边长为x，由已知及（1）可得EF2，OF1，在RtOEF中，OE2OF2EF212225，在RtOHG中，OH2OG2GH2，OEOH，5（1x）2x2，整理得x2x20，解得x12（不合题意，舍去），x21，x21正方形FGHK的面积为1。垂径定理一、考点突破1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。2. 应用垂径定理解决问题。二、重难点提示重点：理解垂径定理与推论的关系。难点：应用知识解决实际问题。垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，

14、并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素，知二推三。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。如果ABCD，则。【要点诠释】如果直径平分的弦是直径，则会出现如图所示的情况，直径不一定垂直弦。例题1 （凉山州）已知O的直径CD10cm，AB是O的弦，AB8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）A. 2cm B. 4cm C. 2cm或4cm D. 2cm或4cm思路分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论。答案：解：连接AC，AO，O的直径CD10cm，ABCD，A

15、B8cm，AMAB×84cm，ODOC5cm，当C点位置如图1所示时，OA5cm，AM4cm，CDAB，OM3cm，CMOCOM538cm，AC4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM3cm，OC5cm，MC532cm，在RtAMC中，AC2cm，故选C。技巧点拨：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。例题2 （安顺）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为（）A. B. 1 C. 2 D. 2思路分析：作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、

16、AB，根据轴对称确定最短路线问题可得AB与MN的交点，即为PAPB的值最小时的点，根据外角知识求出AON60°，然后求出BON30°，再根据对称性可得BONBON30°，然后求出AOB90°，从而判断出AOB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得ABOA，即为PAPB的最小值。答案：解：作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，则AB与MN的交点即为PAPB的最小时的点，PAPB的最小值AB，AMN30°，AMNA，AON2AMN2×30°60°，点B为劣弧AN的中点，BONAON×

17、60°30°，由对称性，BONBON30°，AOBAONBON60°30°90°，AOB是等腰直角三角形，ABOA×1，即PAPB的最小值。故选A。技巧点拨：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到AOB是等腰直角三角形是解题的关键。1. 与垂径定理有关的计算中，连接半径构建直角三角形，利用勾股定理求解是常用的方法。例题 如图，AB是O的弦，OCAB于点D，交O于点C，若AB8，CD2，求半径的长。答案：解：连接OA，OCAB，AB8，AD4，DC2，ODOC2

18、，OAOC，解得OA5。2. 在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时，连接圆心与这些中点，是常用的辅助线的作法。【针对训练】（宁波）如图，半径为6cm的O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，BCEBDF60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为_cm2。思路分析：作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积。答案：解：如图，作DBF的轴对称图形HAG，作AMCG，ONCE，DBF的轴对称图形HAG，由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合ACGBDF，ACGBDF60°，ECB60

19、6;，G、C、E三点共线，AMCG，ONCE，AMON， 在RtONC中，OCN60°，ONsinOCNOCOC，OCOA2，ON， AM2，ONGE，NEGNGE，连接OE，在RtONE中，NE，GE2NE2，SAGEGEAM×2×26，图中两个阴影部分的面积为6，故答案为6。技巧点拨：本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用。（答题时间：30分钟）1. 如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论正确的是（）A. OEBE B. C. BOC是等边三角形 D. 四边形ODBC是菱形2. 温州是著名的水乡，河流遍布整个城市，某河流上建有一座美丽的石

20、拱桥（如图），已知桥拱半径OC为5m，水面宽AB为4m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A. 4m B. 7m C. 5m D. 6 m*3. 在ABC中，ABAC5，sinB，O过B、C两点，且O半径r，则OA的长为（）A. 3或5 B. 5 C. 4或5 D. 4*4. 如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数yx的图象被P截得的弦AB的长为4，则a的值是（）A. 4 B. 3 C. 3 D. 3*5. 如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB8，CD6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PAPC的最小值为 。*6

21、. 如图，O的半径是4，ABC是O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG1，则EF为 。*7. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）。（1）求证：ACBD；（2）若大圆的半径R10，小圆的半径r8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长。*8. 如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），ODBC，OEAC，垂足分别为D、E。（1）当BC4时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由。1

22、. B 解析：ABCD，AB是O的直径，DECE，根据已知不能推出OEBE，BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形。故选B。2. D 解：连接OA，如图，CDAB，ADBDAB42，在RtOAD中，OA5，OD1，CDOCOD516（m），故选D。3. A 解析：如图，作ADBC于D，ABAC5，AD垂直平分BC，点O在直线AD上，连接OB，在RtABD中，sinB，AB5，AD4，BD3，在RtOBD中，OB，BD3，OD1， 当点A与点O在BC的两侧时，OAADOD415；当点A与点O在BC的同侧时，OAADOD413，故OA的长为3或5。故选A。4. B 解析：作PCx轴于C，交AB于

23、D，作PEAB于E，连接PB，如图，P的圆心坐标是（3，a），OC3，PCa，把x3代入yx得y3，D点坐标为（3，3），CD3，OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形，PEAB，AEBEAB×42，在RtPBE中，PB3， PE1，PDPE，a3，故选B。 5. 7 解析：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H，连接BC。根据垂径定理，得到BEAB4，CFCD3，OE3，OF4，CHEFOEOF347，BHBEEHBECF437，在RtBCH中，根据勾股定理得到BC7，则PAPC的最小值为7，故答案为7。6. 解析：连接OC，如图， OGAC，CGAG，在RtOCG中

24、，CG，AC2CG2，OEAB，OFBC，AEBE，BFCF，EF为BAC的中位线，EFAC。故答案为。 7.（1）证明：过O作OEAB于点E，则CEDE，AEBE，BEDEAECE，即ACBD；（2）解：由（1）可知，OEAB且OECD，连接OC，OA，OE6，CE2，AE8，ACAECE82。8. 解：（1）ODBC，BDBC2，OD2；（2）存在，DE是不变的， 理由是：如图，连接AB，过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，则OM平分AOB与弧AB，AOF60°，在RtAOF中，AOF60°，OA2，AFOA3，AB2AF6，由垂径定理可知，点D

25、、E分别是BC和CA的中点，DE是ABC的中位线，DEAB3。圆周角与圆心角一、考点突破1. 理解圆心角、圆周角定义，掌握圆周角定理。2. 掌握弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。3. 掌握圆内接四边形的相关定理，利用圆周角定理及推论解决相关问题。二、重难点提示重点：掌握同弧所对的圆周角与圆心角度数关系。难点：利用圆周角定理及推论解决问题。1. 圆周角与圆心角定义圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫作圆心角。圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。注意：圆周角、圆心角与弧的对应关系。 2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，

26、所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。12345推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：圆内接四边形的对角互补。（四个顶点在圆上的四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。） 13180°，24180°例题1 （盘锦）已知，AB是O的直径，半径OCAB，点

27、D在O上，且点D与点C在直径AB的两侧，连接CD，BD，若OCD22°，则ABD的度数是 。思路分析：按点D在直线OC左侧、右侧两种情形分类讨论，利用圆周角定理求解。答案：解：由题意，当点D在直线OC左侧时，如答图1所示，连接OD，则1222°，COD180°12136°，AODCODAOC136°90°46°，ABDAOD23°；当点D在直线OC右侧时，如答图2所示，连接OD，则1222°，并延长CO，则31244°，AOD90°390°44°134°，

28、ABDAOD67°，综上所述，ABD的度数是23°或67°，故答案为23°或67°。技巧点拨：此题考查圆周角定理及分类讨论的数学思想，画出图形，直观解决问题。例题2 （毕节地区）如图是以ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于D，已知cosACD，BC4，则AC的长为（）A. 1 B. C. 3 D. 思路分析：由以ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于D，易得ACB90°，ACDB，又由cosACD，BC4，即可求得答案。答案：解：AB为直径，ACB90°，AC

29、DBCD90°，CDAB，BCDB90°，BACD，cosACD，cosB，tanB，BC4，tanB，AC，故选D。技巧点拨：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。例题3 （德阳）如图，在O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：O半径为，tanABC，则CQ的最大值是（）A. 5 B. C. D. 思路分析：根据圆周角定理的推论，由AB为O的直径得到ACB90°，再根据正切的定义得到tanABC，然后根据圆周角定理得到AP，则可证得ACBPCQ，利用相似比得CQPCPC，

30、PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC5代入计算即可。答案：解：AB为O的直径，AB5，ACB90°，tanABC，CPCQ，PCQ90°，而AP，ACBPCQ，CQPCPC，当PC最大时，CQ最大，即PC为O的直径时，CQ最大，此时CQ×5，故选D。技巧点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了三角形相似的判定与性质。在圆中找等角的依据：1. 连接半径，组成等腰三角形，找两个底角相等；2. 利用等弧、等弦、等弦心距找角的等量关系；3. 利用同角或等角的余角相等（多以直角三角形为载体）

31、；4. 利用同角或等角的补角相等（多以圆内接四边形为载体）。【针对训练】（泸州）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2CECA。（1）求证：BCCD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AFCD交CD的延长线于点F，若PBOB，CD2，求DF的长。思路分析： （1）求出CDECAD，CDBDAC得出结论。（2）连接OC，先证ADOC，由平行线分线段成比例性质定理，求得PC4，再由割线定理PCPDPBPA求得半径为4，根据勾股定理求得AC2，再证明AFDACB，得，则可设FDx，AFx，在RtAFP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF。答案：（

32、1）证明：DC2CECA，CDECAD，CDBDAC，又BDCBAC，CADBAC，BCCD；（2）解：如图，连接OC，BCCD，DACCAB，又AOCO，CABACO，DACACO，ADOC， PBOB，CD2，PC4又PCPDPBPA4（42）OB3OBOB4，即AB2OB8，PA3OB12，在RtACB中，AC2， AB是直径，ADBACB90°FDABDC90°CBACAB90°BDCCAB，FDACBA，又AFDACB90°，AFDACB，在RtAFP中，设FDx，则AFx， 在RtAPF中，有（x）2（x6）2122，求得DF。技巧点拨：本题

33、主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解。（答题时间：30分钟）1. 如图，在O中，ODBC，BOD60°，则CAD的度数等于（）A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°2. 如图，有一圆通过四边形ABCD的三顶点A、B、D，且此圆的半径为10，若AB90°，AD12，BC35，则四边形ABCD的面积为（）A. 288 B. 376 C. 420 D. 4703. 如图，四边形ABCD内接于O，若它的一个外角DCE70°，则BOD（）A. 35° B. 70° C. 110° D. 140°*4. 如图，AB为O直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，BAC20°，则DCA的度数是（）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°5. 如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA、CB的延长线交于点P，P30°，ABC100