《高考导航》新课标数学（理）一轮复习讲义专题讲座一范围与最值问题

1、专题讲座一范围与最值问题最值、范围问题是历年高考的热点问题，经久不衰最值与范围问题多在函数与导数、数列、立体几何、圆锥曲线中考查解题的关键是不等关系的建立，其途径很多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数性质法，数形结合法等等下面介绍一下函数与导数中的最值与范围问题函数的最值函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等(1)对 a， br， 记 maxa， ba，ab，b，ab，函数 f(x)max|x1|， |x2|(xr)的最小值是_；(2)

2、已知函数 y(exa)2(exa)2(ar，a0)，则函数 y 的最小值是_解析(1)由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得 x12.所以 f(x)|x1|，x12，|x2|，x12，其图象如图所示由图形，易知当 x12时，函数有最小值，所以f(x)minf12 |121|32.(2)y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令 texex，则 f(t)t22at2a22.因为 t2，所以 f(t)t22at2a22(ta)2a22 的定义域为2，)因为抛物线 yf(t)的对称轴为 ta，所以当 a2 且 a0 时，yminf(2)2(a1)2；当 a2 时，y

3、minf(a)a22.又 f(t)的定义域为2，)，故 y 的最小值是 a22.答案(1)32(2)a22规律方法第(1)题是将问题转化为分段函数的最值问题后， 再利用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是先画出图形，从而借助图形直观地解决问题第(2)题首先利用换元法转化为二次函数， 再利用二次函数的性质求最值， 求解中要特别注意自变量的取值范围实际问题中的最值在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值(2015江苏徐州检测)现有一张长为 80 cm，宽为 60 cm 的长方形铁皮 abcd，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求

4、材料利用率为 100%，不考虑焊接处损失，如图，若从长方形 abcd 的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为 x(cm)，高为 y(cm)，体积为 v(cm3)(1)求出 x 与 y 的关系式；(2)求该铁皮盒体积 v 的最大值解(1)由题意得 x24xy4 800，即 y4 800 x24x，0 x60.(2)铁皮盒体积 v(x)x2yx24 800 x24x14x31 200 x，v(x)34x21 200.令 v(x)0，得 x40，因为 x(0，40)时，v(x)0，v(x)是增函数；x(40，60)时，v(x)0，v(x

5、)是减函数，所以 v(x)14x31 200 x 在 x40 时取得极大值， 也是最大值， 且最大值为 32 000 cm3.所以该铁皮盒体积 v 的最大值是 32 000 cm3.规律方法本题是求几何体体积的最值，求解思路是构建目标函数，再利用导数研究函数的最值参数范围的确定函数的最值多与参数范围结合命题，求最值时，多利用分类讨论思想，由最值问题求参数可转化为恒成立问题求解(2015陕西西安模拟)已知函数 f(x)xax23a2(a0，ar)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a1 时，若对任意 x1，x23，)，有 f(x1)f(x2)m 成立，求实数 m 的最小值解f(x)（xa

6、） （x3a）（x23a2）2.令 f(x)0，解得 xa 或 x3a.(1)当 a0 时，f(x)，f(x)随着 x 的变化如下表：x(，3a)3a(3a，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值函数 f(x)的单调递增区间是(3a，a)，函数 f(x)的单调递减区间是(，3a)，(a，)当 a1 时，f(x)x1x230，所以 f(x)在3，)上的最小值为 f(3)16，最大值为 f(1)12.所以对任意 x1，x23，)，f(x1)f(x2)f(1)f(3)23.所以对任意 x1，x23，)，使 f(x1)f(x2)m 恒成立的实数 m 的最小值为23.规律方法恒成立问题可以转化为

7、我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，如本题中求 m 的最小值，转化为求 f(x1)f(x2)的最大值1(2014高考浙江卷改编)已知函数 f(x)x33|xa|(a0)，若 f(x)在1，1上的最小值记为 g(a)求 g(a)解：因为 a0，1x1，所以(1)当 0a1 时，若 x1，a，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(a，1)上是增函数所以 g(a)f(a)a3.(2)当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1，1)上是减函数，所以 g(a)f(1)23a.综上，g(a)a3，0a1，23a，a1.2某集团为了获得更

8、大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费 t(百万元)，可增加销售额为t25t(百万元)(0t3)(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造经预算，每投入技术改造费 x(百万元)， 可增加的销售额约为13x3x23x(百万元) 请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大解：(1)设投入广告费 t(百万元)后由此增加的收益为 f(t)(百万元)，则f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)所以当 t2 时，f(t)max4，即

9、当集团投入两百万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大(2)设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)13x3x23x(3x)25(3x)313x34x3(0 x3)对 g(x)求导，得 g(x)x24，令 g(x)x240，得 x2 或 x2(舍去)当 0 x2 时，g(x)0，即 g(x)在0，2)上单调递增；当 2x3 时，g(x)0，即 g(x)在(2，3上单调递减当 x2 时，g(x)maxg(2)253.故在三百万元资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益

10、为253百万元3(2015贵州省六校联盟第一次联考)已知函数 f(x)2ln xx2ax(ar)(1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(x)f(x)axm 在1e，e上有两个零点，求实数 m 的取值范围解：(1)当 a2 时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率 kf(1)2，则切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则 g(x)2x2x2（x1） （x1）x，x1e，e，当 g(x)0 时，x1.当1ex0；当 1xe 时，g(x)0.故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(

11、1)m1.又 g1e m21e2，g(e)m2e2，g(e)g1e 4e21e20，则 g(e)0g1e m21e20，解得 1m21e2，实数 m 的取值范围是1，21e2.4(2015河南省洛阳市统考)已知函数 f(x)1xaxln x1.(1)若函数 f(x)在1，2上单调递减，求实数 a 的取值范围；(2)若 a1，kr 且 k1e，设 f(x)f(x)(k1)ln x1，求函数 f(x)在1e，e上的最大值和最小值解：(1)由题设可得 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1ax2.显然 a0.函数 f(x)在1，2上单调递减，当 x1，2时，不等式 f(x)ax1ax20 恒成立，即1ax 恒成立1a2，0a12，实数 a 的取值范围是0，12 .(2)a1，kr，f(x)1xxln x1，f(x)f(x)(k1)ln x11xxkln x，f(x)x（1x）x2kxkx1x2.若 k0，则 f(x)1x2，在1e，e上，恒有 f(x)0，f(x)在1e，e上单调递减，f(x)minf(e)1ee，f(x)maxf1e e1.若 k0，f(x)kx1x2