MATLAB函数的迭代、混沌与分形

1、实验四函数的迭代、混沌与分形实验目的理解迭代的基本含义掌握迭代数列的系列图形表示方法以一类特殊二次函数（Logistic函数）为例, 掌握二次函数迭代数列的收敛性分析方法熟悉编写函数迭代的Matlab程序 了解二元函数迭代的方法及其图形特征实验四 函数的迭代、混沌与分形1、定义给定某个初值，反复作用以同一个函数的 过程祿另遙代，一般形处为兀 0，兀1 =/（兀 0），% =/（兀1），兀“ =/*（£1），它生成了一个序列儿,称为迭代序列2、迭代序列的收敛性设函数才满足:对任意x w(a,b),f(x)w(a,b);(2)几兀疵(°,b)内可导，且存在常数厶使得fx)<

2、;L<l则当初值Jr。时，由才(兀)生成的迭代序 列收敛.问题1：如果迭代序列收敛，收敛点会满足怎样 的条件?53 分式线性函数的迭代例：f(x)= 25x-85先取初值5=5.5% + 3f= inEne( * (25*x-85) / (x+3)1);% 先定义函数 x0=5.5;for i= 1:1:20x0=f(x0);fprintf(*%g5%gnf 丄xO );end迭代次数迭代序列£迭代次数n迭代序列心16.176471116.988427.56411216.995439.854371316.9981412.55291416.9993514.71251516.999

3、7615.96681616.9999716.56421717.816.82181817.916.92811917.1016.97112017.#取其它的初值做试验初值收敛性得到收敛点的迭代次数-40000收敛于1716-500收敛于1716-20收敛于17160收敛于17174收敛于17174.9收敛于17195收敛于505收敛于17196收敛于171720收敛于1712100收敛于17141000收敛于17147结论：只要初值不取为5，迭代序列总收敛 于17。易知，f(x)的不动点恰好是17与5。5称为排斥 点,17麻另吸引点。问题2为何17是吸引点，5是排斥点？例1用分式函数的迭代法近似计

4、算血4迭代的可视化（蜘蛛网图）11Xf= inline (! (25*x-85)/ (x+3)1);x=linspace (1,202,202) ;y=linspace (1,202,202); x(l)=5.5;y(l)=0;x(2)=x(l);y(2)=x(l); for i=1:100x(l+2*i)=x(2*i); y(l+2*i)=f(x(l+2*i);x (2+2*i)=y(l+ 2*i);y(2+2*i)=y(l+2*i);endplot(x,y；rf);hold on;syms x y;y=x；ezplot(x,0,20);ezplot (f (x), 0,20);axis (

5、0,20,0,20);hold off5.认识混沌迭代序列如果不收敛，会出现什么情况？1迭代次数充分大时，迭代序列出现周期性 重复兀 0,兀卩，兀N，%N+1，,1 XN , %N+1，">XN+k- k称为该序列的周期2.序列没有规律、杂乱无章，称之为混沌.例 /(x) =(xr(l - x) (0 < x < 1)6人口增长的Logistic模型£+1 =心1£)/(%)二 ca(l - x) (0 < x < 1) 称为Logistic映射15#7. Feigenbaum®对于Logistic映射，取a二2.5,我们通

6、过离 散图形观察迭代的收敛情况。syms x;f=inline(t2.5*x*(l-x)1);%i换成25会怎样？进一步的,此句前加上“if i>50"，后加 上 “end;”x0=0.12; for i=l:l:10plot(i,f(xO),''); xO=f(xO);hold on; end; hold off一个试验：首先取a的值为3,在(0, 1)中随 机取一数必作为初值进行迭代，共迭代300次 左右，丢弃起始的100次迭代的数据，在图趕加畑聽 骤，一直增加到a = 4为止，这样得到的图形,称为 Feigenbaum 图.logis tic=inline

7、 (!u*x*( 1-x)1); x0=0.5;for u=3.0:0.01:4for i= 1:300xO=logis tic (u,x0);if i>100plot(u,x0/k1 / linewidth1,1); hold on;end;end; end; hold off17133.13.23.33.43.53.63.73.83.94.二维迭代与分形由两个二元函数/（兀丿）与g（兀）取初值 （兀00）构成的迭代I 儿+i 二 g（£，y“）称为一个二维迭代.例 1 函数 y) = y-sinx 与 g(x,a) = a-x , 取0=3.1、初值为(12,0)a=3.1;xn= 1.2;yn=0;for n= 1: