高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的通项与递推公式学案 新人教A版必修5

1、第2课时数列的通项与递推公式学习目标：1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会求数列中的最大(小)项(易错点)自 主 预 习·探 新 知1数列递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前n项)；从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式思考：所有数列都有递推公式吗？提示不一定例如精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，没有递推公式2数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an

2、与它的前一项an1(或前几项)之间的关系f表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列an的关系式anan12(n2，nn*)就能确定这个数列吗？提示不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的基础自测1思考辨析(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()答案(1)(2)(3)(4)×提示：并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递推公式2符

3、合递推关系式anan1的数列是()a1,2,3,4，b1, ，2,2，c.，2, ，2， d0, ，2,2，b3数列an中，an1an2an，a12，a25，则a5()【导学号：91432124】a3 b11c5 d19da3a2a1527，a4a3a27512，a5a4a312719，故选d.4已知a11，an1(n2)，则a5_.a21112，a311，a411，a511.合 作 探 究·攻 重 难由递推关系写出数列的项已知数列an中，a11，a22，以后各项由anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn，写出数列bn的前4项. 【

4、导学号：91432125】解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4项依次为b1，b2，b3，b4.规律方法由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的

5、形式，如an1.跟踪训练1已知数列an的第1项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.数列的最大(小)项的求法已知数列an的通项公式为an(n1)n，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由.【导学号：91432126】思路探究：an1an等于多少？n为何值时，an1an>0？an1an<0?解法一：(单调性法)an1an(n2)n1(n1)·nn·，当n<9时，an1an>0，即an<an1；当n9时，an1an0，即anan1；当n>

6、9时，an1an<0，即an>an1；故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9a10.法二：(最大项法)设ak是数列an的最大项则，即，整理得，得9k10，k9或10，即数列an中的最大项为a9a10.规律方法求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有对任意的kn*且k2都成立，解不等式组即可.跟踪训练2已知数列an的通项公式为ann2

7、5n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nn*，n2,3，数列中有两项是负数(2)法一：ann25n42，可知对称轴方程为n2.5.又nn*，故n2或3时，an有最小值，且a2a3，其最小值为225×242.法二：设第n项最小，由得解这个不等式组，得2n3，n2或3，a2a3且最小a2a3225×242.由递推公式求数列的通项公式探究问题1某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？提示：由a1

8、20，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)·22n18.即an2n18(nn*，n30)2对于任意数列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立吗？若数列an满足：a11，an1an2，你能求出它的通项an吗？提示：等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若数列an中的各项均不为0，等式a1····an成立吗？若数列an满足：a13，2，则它的通项an是什么？提示

9、：等式a1····an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得····2·2··2.则2n1，所以an3·2n1(nn*)(1)已知数列an满足a11，an1an，nn*，求通项公式an；(2)设数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.【导学号：91432127】思路探究：(1)先将an1an变形为an1an，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解(2)先将anan1(n2)变形为，按此递推关系，写出

10、所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana111.an11，an(n2)又n1时，a11，符合上式，an(nn*)(2)a11，anan1(n2)，an××××××a1××××××1.又n1时，a11，符合上式，an(nn*)母题探究：1.(变条件)将例题(2)中的条件“a11，anan1(n2)”变为“a12，an13an(nn*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明解由a12，an13

11、an，得：a23a13×2，a33a23×3×232×2，a43a33×32×233×2，a53a43×33×234×2，猜想：an2×3n1，证明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.将上面的n1个式子相乘可得····3n1.即3n1，所以ana1·3n1，又a12，故an2·3n1.2将例题(1)中的条件“a11，an1an，nn*”变为“a1，anan1an1an(n2)”求数列an的通项公式解anan1an

12、1an，1.2n1.n1，an.规律方法由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式.(2)累乘法：当g(n)时，常用an求通项公式.当 堂 达 标·固 双 基1下列四个命题：如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；数列，的通项公式是an；数列的图象是一群孤立的点；数列1，1,1，1，与数列1,1，1,1，是同一数列其中真命题的个数是()a1b2c3 d4a只有正

13、确中，如已知an2an1an，a11，无法写出除首项外的其他项中an，中1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列2数列2,4,6,8,10，的递推公式是()【导学号：91432128】aanan12(n2) ban2an1(n2)ca12，anan12(n2) da12，an2an1(n2)ca，b中没有说明某一项，无法递推，d中a12，a24，a38，不合题意3数列xn中，若x11，xn11，则x2 018等于()a1 bc. d1bx11，x2，x31，数列xn的周期为2，x2 018x2.4数列an中，an，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()【导学号：91432129】aa1，a50 ba1，a44ca45，a44 da45，a50can1.当n1,44且nn*时，an单调递减，当n45，)且nn*时，an单调递减，结合函数f(x)的图象(图略)，可知(an)maxa45，(an)mina44.5已知数列an中，a12，an1anln，求an.解(1)由题意得an1anln ，anan1ln (n2)，an1an2ln ，a2a1ln .当n2时，ana1lnln n，an2ln n(n2)当n1时，a1