解析几何经典例题集

1、l教学计划与策略教学计划与策略 熟悉：熟悉：1、数学课程标准、教材内容、数学课程标准、教材内容2、学科指导意见、学科指导意见3、 考试说明、样卷（抽测卷）考试说明、样卷（抽测卷） 4、高考试卷、高考试卷 破解：破解：1、教学时段的安排（如何处理内容分散问题）、教学时段的安排（如何处理内容分散问题） 重点中学考虑重点中学考虑IB：坐标系与参数方程教学：坐标系与参数方程教学 2、建立知识体系、建立知识体系知识系统化知识系统化 3、如何落实教学中的双基、如何落实教学中的双基 4、如何把握以下几块内容的教学要求和教学目标、如何把握以下几块内容的教学要求和教学目标 求轨迹：难易标准；求轨迹：难易标准；

2、圆锥曲线第二定义圆锥曲线第二定义 文理中对直线与圆锥曲线内容的不同要求文理中对直线与圆锥曲线内容的不同要求5、关注与圆锥曲线相联系的综合问题（问题的方向性）、关注与圆锥曲线相联系的综合问题（问题的方向性） l教学的实施和形式教学的实施和形式 1、学情分析、学情分析 ，策略教学（一步到位，逐步推进），策略教学（一步到位，逐步推进）2、课堂教学形式是否可以有多种？、课堂教学形式是否可以有多种？3、如何评价课堂教学的有效性？、如何评价课堂教学的有效性？4、如何减轻学生的作业负担？（精讲精练，作业布置的有效性）、如何减轻学生的作业负担？（精讲精练，作业布置的有效性）5、全面提高解几解题能力、全面提高解

3、几解题能力l解几教学的研究与创新解几教学的研究与创新 1、挖掘解几内容中的数学本质问题和一般规律、挖掘解几内容中的数学本质问题和一般规律2、解题指导中的如何体现数学思想方法、解题指导中的如何体现数学思想方法3、教材教法研究：问题链（情景教学，变式教学，设计与评价）、教材教法研究：问题链（情景教学，变式教学，设计与评价）4、探究性问题，开放题、探究性问题，开放题5、高考研究：欣赏，改编，重组，本源创作、高考研究：欣赏，改编，重组，本源创作6、解几中的数学教学创新、解几中的数学教学创新附：一个问题的探究实例附：一个问题的探究实例数学第二册数学第二册(上上)(人民教育出版社人民教育出版社)中关于抛物

4、线过焦点的弦有这样两个结果中关于抛物线过焦点的弦有这样两个结果:经过抛物线经过抛物线y2= 2px的焦点的焦点F，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于相交于P1,P2两点，线段两点，线段P1P2叫做抛物线的通径，则通径的长是叫做抛物线的通径，则通径的长是2p. 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为的焦点一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为yA , yB，求证，求证. yA yB=p2. 1.1题精心设计情境，帮助学生感知和发现问题题精心设计情境，帮助学生感知和发现问题教师教师:同学们，题同学们，题、题、题

5、分别是关于通径的长度分别是关于通径的长度;过焦点的弦过焦点的弦(称之为焦点称之为焦点弦弦)两端点坐标与参数两端点坐标与参数p之间的关系之间的关系.现在请你们思考哪些元素可确定一条焦现在请你们思考哪些元素可确定一条焦点弦点弦? 教师呈现上述两个结果作为探究情境，把学生引入情景，增强学生的探究欲望。教师呈现上述两个结果作为探究情境，把学生引入情景，增强学生的探究欲望。学生众学生众:焦点弦两个端点的坐标焦点弦两个端点的坐标(xA,yA),(xB ,yB);或焦点弦或焦点弦|AB|的长度的长度及它与及它与x轴所成的倾斜角轴所成的倾斜角.教师教师:在这些量中，能建立一些什么关系呢在这些量中，能建立一些什

6、么关系呢?学生学生A : tan，|AB|都能用坐标表达。都能用坐标表达。教师教师:既然两者都与坐标有关，那么既然两者都与坐标有关，那么|AB|与与能否建立直接的关系能否建立直接的关系呢呢?你能从题你能从题的结论中受到启示吗的结论中受到启示吗?请大家分组讨论请大家分组讨论. 教师向学生布置任务，在情景中催发思想。教师向学生布置任务，在情景中催发思想。1.2紧紧围绕目标，激励学生大胆猜想和假设紧紧围绕目标，激励学生大胆猜想和假设教师引导学生善于运用直觉思维，大胆猜测，积极假设。教师引导学生善于运用直觉思维，大胆猜测，积极假设。学生学生B:当当AB在通径的位置时，由于在通径的位置时，由于= 900

7、 , |AB|=2P,pAB2ABp2因此猜测因此猜测:sin=(1)或者或者sin= (2)教师在边上作适时引导：两式右边具备什么特征，两式会同时成立吗？教师在边上作适时引导：两式右边具备什么特征，两式会同时成立吗？对此，有一部分同学发表了看法对此，有一部分同学发表了看法.认为结论认为结论(1是错误的，因为对于是错误的，因为对于(1),随着焦点弦随着焦点弦绕着焦点向右旋转，观察到绕着焦点向右旋转，观察到越来越小，而越来越小，而|AB|越来越大，特别当越来越大，特别当=00时，时，|AB|的长为无限长，看来情形的长为无限长，看来情形(2)可能是正确的可能是正确的. 教师教师:很好，同学们根据特

8、殊情形猜出了一个结论很好，同学们根据特殊情形猜出了一个结论,而猜想不一定正确而猜想不一定正确.接接下去请同学们着手寻找证实下去请同学们着手寻找证实(或证伪或证伪)的依据，从哪些角度人手呢的依据，从哪些角度人手呢?同学们继续讨论同学们继续讨论教师激励同学大胆尝试教师激励同学大胆尝试1.3引导方案设计，鼓励学生参与分析和讨论引导方案设计，鼓励学生参与分析和讨论教师让学生自由讨论。（需教师让学生自由讨论。（需5分钟时间）分钟时间） 某小组的一位学生某小组的一位学生C代表小组表达了他们思考的结果。代表小组表达了他们思考的结果。学生学生C:从抛物线的定义出发，由于从抛物线的定义出发，由于|AB|=|AF

9、|+|BF|= xA,+xB+p直线方程和抛物线方程联立，由韦达定理得到直线方程和抛物线方程联立，由韦达定理得到 21k2sin2p|AB|=xA+xB+p=2(1+)p=当然，在上述的推导过程中，要注意当然，在上述的推导过程中，要注意k0，并且，并且k要存在。要存在。特别当特别当k不存在，即不存在，即=00,AB恰为通径，此时，恰为通径，此时，|AB|=2p,上述公上述公式仍然成立式仍然成立.教师教师:同学们从特殊情况人手，猜想了公式，并经过修正得出了正确结论，充同学们从特殊情况人手，猜想了公式，并经过修正得出了正确结论，充分体验了数学发现的过程分体验了数学发现的过程.你们刚才所经历的也就是

10、数学家们探究问题所经历你们刚才所经历的也就是数学家们探究问题所经历的的.希望大家平时要多注意一些看似简单的问题，以培养自己的观察、思考能希望大家平时要多注意一些看似简单的问题，以培养自己的观察、思考能力力.受到了老师的鼓励，学生受到了老师的鼓励，学生D D也争着把自己在探索中碰到的障碍向大家反映了也争着把自己在探索中碰到的障碍向大家反映了出来出来: :对于刚才的问题，由于有角度对于刚才的问题，由于有角度，我想到了面积，从而作，我想到了面积，从而作AOB，而，而且求得且求得SAOB|OF|AF|sin 若能求出面积，则若能求出面积，则|AB|与与的关系也解决了的关系也解决了21。21k21k而而

11、SAOB|OF|(| yA|+| yB|) (3) 到了这里以后，就继续不下去了到了这里以后，就继续不下去了.因为我不知道该怎样转换掉因为我不知道该怎样转换掉对对(3)式两边平方得式两边平方得（yA|+|yB|）2=(y2A+2 yA yB+y2B)=2p(xA+xB)-2p2下面同他们的解法相同，利用韦达定理可得：下面同他们的解法相同，利用韦达定理可得：（yA|+|yB|）2=4p2此时教师没有回避学生的质疑，先在态度上给予鼓励，也没有直接指出此时教师没有回避学生的质疑，先在态度上给予鼓励，也没有直接指出学生的错误。而是用赞赏的语气说：显然你引用了学生的错误。而是用赞赏的语气说：显然你引用了

12、yAyB=p2这个结论这个结论很好，这个结论还说明一个什么问题呢很好，这个结论还说明一个什么问题呢?学生学生D终于想到：终于想到：yAyBp20。 21k2122sin4psin22p2sin2sin|2pOFSAOB于是大家动手求得于是大家动手求得（yA|+|yB|）2=(y2A2yAyB+y2B)=2p(xA+xB)2p2=4p2（ 1）SAOB|OF|(| yA|+| yB|)，从而，从而AB|1.4构建知识网络，促进能力内化和提升构建知识网络，促进能力内化和提升教师教师:很好，同学很好，同学D从另外的角度得到焦点弦长的计算公式，而且不经意间还从另外的角度得到焦点弦长的计算公式，而且不经

13、意间还求出了焦点弦与原点所构成三角形面积的计算公式求出了焦点弦与原点所构成三角形面积的计算公式.从上述两个公式中大家还从上述两个公式中大家还有其它可发现吗有其它可发现吗?教学进行到此时，问题似乎已圆满解决。但是教师没有让教学活动停止，而是教学进行到此时，问题似乎已圆满解决。但是教师没有让教学活动停止，而是适时提问引导，将探究活动引向高潮，学生的思维火花再一次被点燃，他们认适时提问引导，将探究活动引向高潮，学生的思维火花再一次被点燃，他们认真思考，深度剖析，用简洁的语言概括出下列结论。真思考，深度剖析，用简洁的语言概括出下列结论。学生学生E:说明说明|AB|和和的值随的值随变化而变化变化而变化.

14、显然，当显然，当90时时AB取到最取到最小值，此时小值，此时SAOB也取到最小值也取到最小值.因而有结论因而有结论:通径是所有焦点弦中长为最短的通径是所有焦点弦中长为最短的;通径与原点所构成的三角形是所有焦点弦与原点所构成的三角形中面积最小的通径与原点所构成的三角形是所有焦点弦与原点所构成的三角形中面积最小的.教师教师:同学们在刚才的探索过程中，不仅得到了一些数学结论，更重要的是通过同学们在刚才的探索过程中，不仅得到了一些数学结论，更重要的是通过探索掌握了数学思维方法，培养了数学学习的能力，也享受到了成功的喜悦探索掌握了数学思维方法，培养了数学学习的能力，也享受到了成功的喜悦.望望同学们多注意

15、这样的例题、习题，它是你们进行再创造的好素材同学们多注意这样的例题、习题，它是你们进行再创造的好素材. 纵向剖析，即分析例题涉及到哪些知识点？重点、难点和疑点在哪里？解题纵向剖析，即分析例题涉及到哪些知识点？重点、难点和疑点在哪里？解题所涉及的数学思想和数学方法是什么等等所涉及的数学思想和数学方法是什么等等一一.梳理解几教学中本源性知识梳理解几教学中本源性知识解几特点：通过代数运算，解决几何问题。解几特点：通过代数运算，解决几何问题。1.代数运算性特点：代数运算性特点：计算公式解释几何基本公式计算公式解释几何基本公式向量工具起点向量工具起点两点间距离公式两点间距离公式定比分点坐标公式定比分点坐

16、标公式斜率公式斜率公式（到角公式）（到角公式）点线距离公式点线距离公式弦长公式弦长公式关键：如何通过分析几何特点，转化到可利用解几基本公式来计算。关键：如何通过分析几何特点，转化到可利用解几基本公式来计算。实施几何问题数字化实施几何问题数字化建立坐标系（坐标法建立坐标系（坐标法.解释法）解释法）2.方程组讨论法方程组讨论法几何图形方程化（点坐标、直线、曲线方程）交点相关问题公共点、公共解几何量相等问题列方程方程有解的讨论（代数形式、 数形结合）例例1.09浙江理浙江理21（本题满分（本题满分15分）已知椭圆分）已知椭圆 的右顶为的右顶为 ，过，过 的焦点且垂直长轴的弦长为的焦点且垂直长轴的弦长

17、为1（I）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线）设点在抛物线 上，上， 在点在点 处的切线与处的切线与 交于交于点当线段点当线段 的中点与的中点与 的中点的横坐标相等时，求的中点的横坐标相等时，求 的最小值的最小值22221(0)yxabab:1c2()yxh hR:2c2CP1C,M NAPMNh(1,0)A1C212,121babba2214yx解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21122( , ), ( , ), (,),M x y N x y Pt th2C（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为 2x tyt， 直线MN的方

18、程为22ytxth， 1C1C2224(2)40 xtxth将上式代入椭圆的方程中，得， 即222224 14 ()()40txt th xth因为直线MN与椭圆有两个不同的交点， 所以有4221162(2)40thth ，3x21232()22(1)xxt thxt设线段MN的中点的横坐标是，则设线段PA的中点的横坐标是4x， 则412tx， 由题意得34xx， 即有2(1)10th t ， 22(1)40,1hh 3h 其中的或；3h 220,40hh4221162(2)40thth 当时有，因此不等式不成立； 1h 1h 2(1)10th t 1t 因此，当时代入方程得h1,1ht 42

19、21162(2)40thth 将代入不等式成立，因此的最小值为1二二.熟悉韦达定理在解几中的应用熟悉韦达定理在解几中的应用2212221121122222121222212121114,0,1ABkxxkxxx xf x yykxmA x yB xyABxxyyxxkxkxkxx例1 弦长公式 曲线，直线相交于两点则 例2：浙江省2009年考试说明编写前的测试卷（理21题，文22题，满分15分） 22(0)3122pxpPykxbCABLybMAMBL 已知抛物线C：y上横坐标为的一点，与其焦点的距离为4.求 的值设动直线与抛物线 相交于 ，两点，问在直线 ：上是否存在与 的取值无关的定点，使

20、得被直线 平分？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。ABMXY（韦达定理应用，方程组法）（韦达定理应用，方程组法） 213,34,2,42pxpx 解：抛物线：y 1211221212211122121222222,220,t+2+b24044044t+2+b4840t+8=012AMBMkyyA x yB xytxtxytxytxxyb xybyyy ybykxbyybyxtbb 由已知平分，则k设则即又代入得4t-由方程组即8，t=-1与b值无关，定点M，注：角的计算用平面向量注：角的计算用平面向量例3：宁波市2008学年度第一学期期末试卷 （理21题，文22题，满分15分）如图，

21、椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为H，直线L交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线L使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线L的方程：若不存在，请说明理由11AF FBOF ，ABOFXYABOFXY 222222222110111212xyababcAF FBacacacaxy 解： 记椭圆方程为由题意又，即故椭圆的方程为 1122222212212112212122,(0,1),(1,0)13422012,011210PQLP QFPQMP x yQ xyMFkLykxmxmxmxyPFMQ QFMP MP FQxxyyy

22、kxmykxmx xxxmmm 假设存在直线 交椭圆于两点，且 恰为的重心，则设，故设直线 ：椭圆：又，由韦达定理代入解得4433mLyx 或m=1 舍 ，则直线 ：ABOFXY（韦达定理应用，方程组法）（韦达定理应用，方程组法）例4：已知椭圆 的右准线为L，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，经过点B与x轴平行的直线交右准线于C点，求证：直线AC过一定点.(双曲线，抛物线都有类似的命题) 2212xyABOFXYCABOFXYC 2222122122112222121211121121()221010222212,22,22112xmyxmymyFxymyymy ymA x yB xyC

23、yyyxACyyxxymyxmyyyyym 分析：设AB的方程为不包括 轴，另一方面，设，则，准线方程直线方程注意到：，如果令y=0，得x=2+必须寻得： 与 沟通的式子：21212122222132222330022yyyyy ymyACyyyxyyxxyAC代入得到直线：即时，直线过定点，说明：如何设计构造12121212,xx x xyyy y或21211222112222212121121211xxxxxxxxx xxxxxxx x如：关系式为，则如：关系式为，则1、根据已知条件，建立平面曲线的方程（求轨迹）。、根据已知条件，建立平面曲线的方程（求轨迹）。2、通过方程，研究平面曲线的性

24、质（解析法，坐标法）、通过方程，研究平面曲线的性质（解析法，坐标法）用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论，最后再把几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论，最后再把代表运算结果代表运算结果“翻译翻译”成相应的几何结论，这就是用坐成相应的几何结论，这就是用坐标法解决平面几何问题的标法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”。 关键词：选系、运算、数形结合关键词：选系、运算、数形结合 1、直接法（定义法）、直接法（定义法）2、转移法、转移法3、参数法、参数法4、点差法、点差法例例5.09广东理广东理19（本小题满分14分）2:C yx:20l xy(,)AAA xy(,)BBB xy已知曲线已知曲线与直线与直线交于两点交于